Оператор момента импульса в координатном представлении
Пусть в каком-то пространстве {

} введен момент импульса

- случайная функция
![$$\vec{M}=[\vec{r},\vec{p}]$$ $$\vec{M}=[\vec{r},\vec{p}]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/7/ef782c6c9b99b4f250a2c66b88ecaa9d82.png)
.
Рассмотрим для примера декартовые координаты и проекцию

. Найдем её среднее (наблюдаемое) значение (ограничимся здесь вычислением её первого слагаемого

). По определению среднего для этого надо перейти в фазовое подпространство {

}, ввести там фазовую плотность - функцию распределения случайной величины

в этом подпространстве

и вычислить это среднее :
(1)

.
Т.к. нас интересует оператор, отвечающий произведению

в данном фазовом подпространстве, в координатном подпространстве {

}, то нам придётся совершить преобразование от координаты

к координате

, с помощью Фурье-преобразования :
(2)

,
где

- Фурье-образ волновой функции

- волновая функция в координатном подпространстве {

}.
Процедура преобразования состоит в следующем. Подставим (2) в (1) :

.
Затащим

под знак третьего по счету слева интеграла, проинтегрируем его по частям (учитывая. что на границах интегрирования функция

и её первая производная обращаются в ноль) и осуществим перегруппировку в последовательности интегрирования :

.
Интегрирование последнего справа несобственного интеграла дает дельта-функцию Дирака

. По определению дельта-функции предпоследний интеграл дает

, так что окончательно получаем :
(3)

,
т.е. искомое среднее первой части х-проекции момента импульса, вычисленное уже в координатном подпространстве. При этом по определению оператором этой части х-проекции момента импульса будет

.
Таким образом в классической кинетике между следующими представлениями :
(4)

,-
существует изоморфизм.
#