2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.
 
 
Сообщение21.07.2008, 20:30 
Заблокирован


26/03/07

2412
Munin писал(а):
pc20b писал(а):
в книге Д.И.Блохинцев. Основы квантовой механики. М., Наука, 1976. Дополнение 1. Преобразования Фурье. С.630.

Ага. Как я и ожидал. В дополнении I нет ни слова про операторы. Вы главу 3 читали вообще?


Нет, не читал. Читать вообще не умею. "Ни слова"? А к чему слова - в Дополнении 1 Блохинцев все сказал шершавым языком математики : физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах.

Они связаны непрерывными преобразованиями, соединенными знаками равенства : ...=...

Версия : если бы он произнес "оператор", то вряд ли издал бы свою книгу - у идеи возникновения квантовой механики из ниоткуда было (и остается) много поклонников.

Цитата:
pc20b писал(а):
Коммутатор? Это ещё проще (Блохинцев, с. 103) :

Рассмотрим произвольное состояние$$\psi (x)$$ и оператор $$\hat p = -i\frac{\partial }{\partial x}$$

Оператор импульса имеет такой вид только в квантовой механике, ни в классической механике, ни в кинетике этого нет.


Только что выше было черным по белому доказано, как в классике оператор импульса возникает путем непрерывных преобразований Фурье от импульсного пространства к координатному.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
pc20b писал(а):
А к чему слова - в Дополнении 1 Блохинцев все сказал шершавым языком математики : физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах.

Шершавым языком математики там рассмотрен оператор в пространственных координатах и соответствующий ему фурье-образ - тоже оператор, только в импульсных координатах. И то и другое - операторы. Видимо, вы просто не знаете линейной алгебры, и для вас непонятна мысль, что функциональный множитель вида $p_x^n$ тоже является оператором.

Читать же вы явно не умеете, поскольку иначе не могли пройти мимо и не обратить внимание на тот факт, что оператор координаты в импульсном представлении не является функциональным множителем. Не говоря уже обо всём, что составлено и из того и из другого, например, об операторе момента.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 09:44 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Мне Блохинцев тоже нравится, наверное самый толковый учебник из древних :) кстати Блохицев тоже пытался подогнать кванты под классич физику, от сюда и его черезмерное внимание к теории измерений наверное.

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

Даже в классическои физике без проблем можно формально ввесть "волновую фучкцию" как корень квадратный из функции распределения физической величины.

Но от этого классич статфизика в КМ не превращается.

"Education is a process of telling a carefully chosen sequence of lies
in which the amount of deliberate deception gradually tends towards zero.
There is a limit to how much truth someone can absorb all at once without
their brain turning to jelly!" J McIrvin :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 10:35 
Заблокирован


26/03/07

2412
Munin писал(а):
pc20b писал(а):
А к чему слова - в Дополнении 1 Блохинцев все сказал шершавым языком математики : физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах.

Шершавым языком математики там рассмотрен оператор в пространственных координатах и соответствующий ему фурье-образ - тоже оператор, только в импульсных координатах. И то и другое - операторы. Видимо, вы просто не знаете линейной алгебры, и для вас непонятна мысль, что функциональный множитель вида $p_x^n$ тоже является оператором.


Ху-ху-ху. Хо-хо-хо. Не знаю я линейной алгебры. Тот, кто говорит, что он что-то знает, глупец. Вот Вы - сопротивляетесь до конца, хотя видите, что я прав : в чем Ваши "слова" противоречат тому, что я сказал : "физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах"?

Вы здесь воспользовались случайным фактом, что в частном случае оператор может быть обычным множителем : да, в данном случае $p_x^n$ является одновременно и физической (случайной) величиной, и оператором одновременно.

Чего Вы сочиняете: :

Цитата:
Читать же вы явно не умеете, поскольку иначе не могли пройти мимо и не обратить внимание на тот факт, что оператор координаты в импульсном представлении не является функциональным множителем. Не говоря уже обо всём, что составлено и из того и из другого, например, об операторе момента.


В примере вообще не рассматривался "оператор координаты". Но с ним ситуация абсолютно такая же (c заменой р на х) :

$$ \psi(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^{ipx}dp\leftrightarrow \phi(p)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(x)e^{-ipx}dx$$,

$$\overline{x^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)x^2\psi(x)dx= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)(i\frac{\partial}{\partial p})^2\phi(p)dp$$


$$x\leftrightarrow \hat x=i\frac{\partial}{\partial p}$$.

#

И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

Таким образом, ещё раз : классика и кванты - два изоморфных представления кинетики.

Добавлено спустя 27 минут 14 секунд:

AlexNew писал(а):
Даже в классическои физике без проблем можно формально ввесть "волновую фучкцию" как корень квадратный из функции распределения физической величины.

Но от этого классич статфизика в КМ не превращается.


Да, плотность вероятности = плотности распределения в соответствующем пространстве - это "квадрат" волновой функции либо её Фурье-изображений в других пространствах.

И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав? Почему КлСтФ от
того не превращается в КвМ? Не находимся ли мы под влиянием эйфории первых интерпретаций квантовых явлений? Ведь против математики не попрешь...

"That is the question" (В.Шекспир)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.07.2008, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
Вот Вы - сопротивляетесь до конца, хотя видите, что я прав : в чем Ваши "слова" противоречат тому, что я сказал : "физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах"?

То есть вы даже не понимаете, в чём противоречат?

pc20b в сообщении #134680 писал(а):
Вы здесь воспользовались случайным фактом, что в частном случае оператор может быть обычным множителем

Это вы им воспользовались. Я как раз обратил ваше внимание на то, что это случайный факт.

pc20b в сообщении #134680 писал(а):
И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".

pc20b в сообщении #134680 писал(а):
Таким образом, ещё раз : классика и кванты - два изоморфных представления кинетики.

От повторения глупость не станет правдой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2008, 01:29 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
pc20b писал(а):
И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав?

дубаль номер 6 :lol:
В классич физике волновая "функция" или "вектор состояния" системы будет зависить от p и q. В КМ либо p либо q достаточно для полного описания системы.

Тоесть p и q представления "изоморфны" в КМ. В клаccической физике это не так! вы не сможете построить изоморфизм p на q

есть разумеется и другие отличия... например тождеств частиц и много чего еще

Ответьте лучше на след вопросы : из какого физич соображения следует
1)коммутация операторов p и q в классич стат физике ?
2)антикоммутац в КМ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2008, 12:51 
Заблокирован


26/03/07

2412
Вывод соотношения неопределенностей (СН) в классике

У Блохинцева он дан в гл.II на с.65. Мы предлагаем ещё один вариант вывода СН.

Пусть $x$ - случайная величина (в общем — набор величин) в пространстве $X$. Пусть $f(x)$ - её распределение — плотность вероятности, нормированная на единицу :

(1) $$\int \limits_{-\infty}^{\infty}fdx=1$$.

Пусть функция $f$ удовлетворяет условиям Дирихле, скажем, принимает ограниченные значения в конечной области шириной

$$\Delta x=L$$.

Проведем отображение $x\leftrightarrow y$, т.е. перейдем к случайной величине $y$ в пространстве $Y$, сопряженном пространству $X$. Для этого разложим $f(x)$ в интеграл Фурье по «гармоникам» с «частотой» $y$ :

(2) $$f(x)=\frac{1}{L}\int \limits _{-\infty}^{\infty}F(y)e^{iyx}dy$$

с плотностью спектра

(3) $$F(y) =\frac{L}{2\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$.

$F(y)$ - плотность вероятности — функция распределения канонически сопряженной $x$ случайной величины $y$ в пространстве $Y$, также удовлетворяющей условию нормировки

(4) $$\int \limits _{-\infty}^{\infty} Fdy=1$$.

Найдем связь величины флуктуаций величины $x$, равной $\Delta x=L$, с величиной флуктуаций сопряженной величины $y$, равной $\Delta y$.

Мы не будем решать точную задачу для среднеквадратичных отклонений (дисперсий распределений $x$ и $y$, как это сделано у Блохинцева, а рассмотрим для упрощения вывода процедуру усреднения.

Аппроксимируем распределение $f(x)$ огибающим его прямоугольником :

(5)$$f(x)=\frac{1}{L}(\eta (x+\frac{L}{2})-\eta (x-\frac{L}{2}))$$.

Тогда из (3) следует усредненный вид Фурье-спектра изображения :

(6) $$F(y) = \frac{L}{2\pi}\frac{sin\frac{yL}{2}}{\frac{yl}{2}}$$.

Ширина первой полосы $\Delta y$ этого усредненного спектра соответствует обращению в нуль синуса в (6), т.е. на границе $y_1$:

$$\frac{y_1L}{2}=\pi$$.

Отсюда, учитывая, что спектр изображения больше своей первой полосы, учитывая, что $L=\Delta x$, а $y_1=\Delta y$, получаем неравенство :

(7)$$\Delta x\Delta y\geq 2\pi$$

Это — соотношение неопределенностей — связь спектров функции распределения $f(x)$ - «волновой функции» - и её Фурье-изображения - «волновой функции» $F(y)$.

Например,
1)если $x=t$, $y=\omega=\frac{E}{\hbar}$, где $E$ - энергия частицы, то из (7) следует :

$$\Delta t\Delta E\geq h$$;

2)если $x=x$ - координате, $y=k=\frac{p}{\hbar}$, где $p$ - импульс частицы, то из (7) следует :

$$\Delta x\Delta p\geq h$$.

#

Добавлено спустя 2 часа 22 минуты 26 секунд:

AlexNew писал(а):
pc20b писал(а):
И всё осталное возникает путем изоморфизмов. Где я не прав?


В классич физике волновая "функция" или "вектор состояния" системы будет зависить от p и q. В КМ либо p либо q достаточно для полного описания системы.


Это уже называется "судебная тяжба". По мне так достаточно для доказательства изоморфизма получить в классике переход к операторам, коммутационное соотношение и соотношение неопределенностей. Вывод $\hbar$ - это ОТО (как, было показано). Это сделано. Всё остальное - детали, не принципиально (две статистики, тождественность, ...). Разве не так? ***

*** Похоже на анекдот : - У вас есть золотой ночной горшок? - Есть. - А с ручкой внутри? Нет?... Будем искать...

Теперь насчет полноты координатного и импульсного пространства в классике : разве эквивалентность вычисления наблюдаемых - средних значений случайных величин - в координатном и импульсном (Фурье-сопряженном) представлениях - в этом Вас не убеждает? :

$$\overline{p^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)p^2\phi(p)dp= ... = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})^2\psi(x)dx$$

(здесь многоточие (...) помечает опущенный вывод). Вот Вам изоморфизм p на q.

Для чего нужно "фазовое" (space) пространство $(p,q)$? Идея проста как помидор : в пространствах $Q$ и $P$ случаются случайные столкновения - точки пересечения траекторий - особенности распределения $\psi (x,t)$ : в них координаты совпадают, НО ИМПУЛЬСЫ - РАЗНЫЕ.

Поэтому, чтобы перейти к гладкому случайному полю без пересечений траекторий, увеличивают размерность пространства, добавляя к координатам $q$ трансверсально координаты $p$ : в этом расширенном пространстве пересечения исчезают, функция распределения $f(p,q)$ становится непрерывной и удовлетворяет уравнению непрерывности, которое, в случае к тому же и несжимаемости, превращается в уравнение Лиувилля и допускает удобное гамильтоново представление. Вот и весь фокус.

Цитата:
есть разумеется и другие отличия... например тождеств частиц и много чего еще

Ответьте лучше на след вопросы : из какого физич соображения следует
1)коммутация операторов p и q в классич стат физике ?
2)антикоммутац в КМ ?


Насчет вывода коммутаторов в классике - это уже вроде бы было продемонстрировано на примере получения коммутатора $[\hat p, \hat q]$. С остальными вопросами, извините, можно попозже (не мой это бизнес, лучше бы помогли)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2008, 13:42 
Заблокирован


26/03/07

2412
Munin писал(а):
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
Вот Вы - сопротивляетесь до конца, хотя видите, что я прав : в чем Ваши "слова" противоречат тому, что я сказал : "физическая величина и соответствующий ей квантовый оператор - это два дуальных представления классической кинетики в двух канонически сопряженных пространствах"?

То есть вы даже не понимаете, в чём противоречат?


Ни в чем : то, что я сказал, не противоречит сказанному Вами :
Цитата:
там рассмотрен оператор в пространственных координатах и соответствующий ему фурье-образ - тоже оператор, только в импульсных координатах. И то и другое - операторы


Например, в приведенном мной примере нахождения среднего квадрата импульса :

$$\overline{p^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)p^2\phi(p)dp= ... = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})^2\psi(x)dx$$

$p^2$ в импульсном представлении - это случайная физическая величина и, одновременно, (алгебраический) оператор умножения, действующий на волновую функцию $\phi (p)$ в импульсном пространстве;
$$(-i\frac{\partial}{\partial x})^2$$ - это его Фурье-образ - оператор квадрата импульса, действующий уже в сопряженном координатном пространстве. И т.д.


Цитата:
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
Вы здесь воспользовались случайным фактом, что в частном случае оператор может быть обычным множителем

Это вы им воспользовались. Я как раз обратил ваше внимание на то, что это случайный факт.


Вот это уже полная бессмыслица. Никакого случайного факта в этом смысле : по определению, при вычислении среднего в собственном представлении любая физическая величина является сама собой, т.е. алгебраическим мультипликативным оператором - умножается на функцию распределения = плотность вероятности = "волнувую функцию" и интегрируется по всему пространству. В других изоморфных представлениях, например, при преобразовании Фурье, образ данной случайной величины становится другим оператором, например, дифференциальным. Только и всего.


Цитата:
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".


Да пожалуйста, к примеру :

$$M_x=[\vec {r}\vec {p}]_x = p_zy-p_yz \leftrightarrow \hat M_x=[\hat {\vec {r}},\hat {\vec {p}}]_x=i(z\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})$$.**

** опечатка исправлена.

Справа - кудри токаря, слева - кузнеца.

Цитата:
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
Таким образом, ещё раз : классика и кванты - два изоморфных представления кинетики.

От повторения глупость не станет правдой.

Повторение - мать. Глупостью как раз являются необосновываемые обвинения в глупости.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2008, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
pc20b писал(а):
Например, в приведенном мной примере нахождения среднего квадрата импульса :

$$\overline{p^2}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\phi*(p)p^2\phi(p)dp= ... = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi*(x)(-i\frac{\partial}{\partial x})^2\psi(x)dx$$

$p^2$ в импульсном представлении - это случайная физическая величина и, одновременно, (алгебраический) оператор умножения, действующий на волновую функцию $\phi (p)$ в импульсном пространстве;

Ой как жалко. $p^2$ в импульсном представлении - это, конечно, оператор, но никак не случайная физическая величина. Случайная физическая величина - это $p^2$ сам по себе, без импульсного представления.

pc20b писал(а):
Цитата:
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же. К чему Вы его привлекли - для красного словца?

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".


Да пожалуйста, к примеру :

$$M_x=[\vec {r}\vec {p}]_x = p_zy-yp_z \leftrightarrow \hat M_x=[\hat {\vec {r}},\hat {\vec {p}}]_x=i(z\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})$$.

Справа - кудри токаря, слева - кузнеца.

Только теперь выражения слева и справа не связаны преобразованием Фурье, а отличаются одно от другого как классическое выражение и квантовое. А раньше вы по одну сторону писали алгебраический оператор и его Фурье-образ. Мухлюете. Оператор момента ни в каком представлении не имеет вида $M_x=p_z y - z p_y$ (у вас опечатка). Видите ли, оператор координаты имеет алгебраический вид $y$ в координатном представлении, оператор импульса вид $p_y$ - в импульсном, а их сумма и произведение - ни в каком.

Слабо взять от выражения слева Фурье-образ и убедиться?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2008, 22:58 
Заблокирован


26/03/07

2412
Munin писал(а):
Ой как жалко. $p^2$ в импульсном представлении - это, конечно, оператор, но никак не случайная физическая величина. Случайная физическая величина - это $p^2$ сам по себе, без импульсного представления.


$p^2$ в импульсном представлении является одновременно случайной величиной и алгебраическим оператором, о чем непосредственно говорит выражение для его среднего значения. Без всяких "ой".

Цитата:
pc20b писал(а):
Цитата:
pc20b в сообщении #134680 писал(а):
И с "моментом" и его "оператором" - абсолютно всё так же.

А вы напишите, и после этого укажите, с какой стороны знака $\leftrightarrow$ у вас стоит "оператор", а с какой - "физическая величина".


Да пожалуйста, к примеру :

$$M_x=[\vec {r}\vec {p}]_x = p_zy-p_yz \leftrightarrow \hat M_x=[\hat {\vec {r}},\hat {\vec {p}}]_x=i(z\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial z})$$.


Только теперь выражения слева и справа не связаны преобразованием Фурье, а отличаются одно от другого как классическое выражение и квантовое. А раньше вы по одну сторону писали алгебраический оператор и его Фурье-образ. Мухлюете. ... Видите ли, оператор координаты имеет алгебраический вид $y$ в координатном представлении, оператор импульса вид $p_y$ - в импульсном, а их сумма и произведение - ни в каком.

Слабо взять от выражения слева Фурье-образ и убедиться?


Тут целая гамма чувств : по-Вашему, выходит :

1) при вычислении средних значений координаты, импульса самим координатам и импульсам можно сопоставить ОПЕРАТОРЫ, не выходя из классики (это очевидно, очевидно стало после внимательного "перепрочтения" Блохинцева), с помощью преобразования Фурье, а вот, начиная с момента импульса, они уже оказываются преобразованиями Фурье не связаны, из классики невыводимыми.

Это почему же так? Что это за качественный скачок, да ещё в линейной теории? Довольно любопытно. Что, именно здесь, с момента импульса, и начинается истинная квантовая теория, изоморфно не сводимая к классике? Хотелось бы услышать Ваше обоснование этого нового квантового эффекта...;

2) второе Ваше утверждение также просьба обосновать (т.к. я этим непосредственно не занимался) : сумма и произведение двух операторов (координаты и импульса), являющихся алгебраическими в разных представлениях (в координатном и импульсном), не является алгебраическим оператором ни в каком представлении.

Вы знаете, я в этом во всем не уверен. И Вы, возможно, тоже. Так бы не вопрошали "слабо" насчет взятия преобразования Фурье.

Я его не брал. Но разобраться в этом надо, т.е. попытаться найти изоморфизм. Вряд ли кванты начинаются с $yp_z-zp_y$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 02:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
Да вы демагог. Только демагог с такой наглостью и уверенностью перевирает слова собеседника и приписывает ему то, чего он не говорил.

pc20b в сообщении #135096 писал(а):
Я его не брал. Но разобраться в этом надо

Вот и разберитесь, и убедитесь в своём непонимании квантовой механики, и изучите её заново. Не мешает ещё перечитать линал и матан.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 07:56 
Заблокирован


26/03/07

2412
Munin писал(а):
Да вы демагог. Только демагог с такой наглостью и уверенностью перевирает слова собеседника и приписывает ему то, чего он не говорил.

pc20b в сообщении #135096 писал(а):
Я его не брал. Но разобраться в этом надо

Вот и разберитесь, и убедитесь в своём непонимании квантовой механики, и изучите её заново. Не мешает ещё перечитать линал и матан.


"Очень жаль, Боб, что твоя гнедая сломала ногу" ** : Вам была предоставлена возможность поучаствовать в нормальной дискуссии, несмотря на ничем не оправданное некультурное поведение. Не выдержали этих рабочих напряжений.

** (с) Лимонадный Джо, к/ф советских времен.

Конечно, я не знаю ни матан, ни линал, ни квамех и т.д. Вы, судя по сообщениям, примерно в том же "положении". Но я сейчас что-то рожу, т.е. разберусь с изоморфизмом классика - кванты, а Вы - нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 07:59 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
pc20b писал(а):
Это уже называется "судебная тяжба". По мне так достаточно для доказательства изоморфизма получить в классике переход к операторам, коммутационное соотношение и соотношение неопределенностей. Вывод - это ОТО (как, было показано). Это сделано. Всё остальное - детали, не принципиально

пардон за грубость но вы ведете себя как ребенок который вдруг понял очевидную вещь! Здорово что вы разобрались с операторами в классич механике и помогаете в этом госпадину Muniny :lol:

Кстати вот еще парачка идей в подкрепление вашеи теории о глубоком единстве квантовой и классич механики:
1) в обоих используют вариационный принцип,
2) дифернциальное исчисление,
3) числа
(да и вообще как не странно математику в том числе и с методом фурье )

осталась самая малость, забыть о различиях и теория готова (см. жирный шрифт в цитатке) :lol:

pc20b писал(а):
С остальными вопросами, извините, можно попозже (не мой это бизнес, лучше бы помогли)

если только господин сверху подсобит, природа мне пока не подвластна

если пофантазировать то мне кажется проблема все в том что в КМ рассматривают на самом деле волны а не частицы. Частицы появлются при измерениях. КМ в вашем смысле будет изорфна скажем классической электридинамике. Ваша проблема в том что вы верите в классическую физику в которои у момента импульса немного другая роль

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 10:17 
Заблокирован


26/03/07

2412
Вывод уравнения Шредингера из уравнения непрерывности*

* Есть ряд попыток "вывести" УШ из "первых принципов", из классики (Блохинцев, Шаляпин, ...). Но в них как правило присутствует некая недоговоренность, которая вуалирует строгий изоморфизм классика - квантовая теория.
Попробуем показать, что УШ - это $\frac{1}{2}$ Фурье-образа УН (уравнения непрерывности) в координатном представлении.

Будем работать в системе единиц $c=e=\hbar=1$. Если $\rho$- плотность заряда, а $\vec {j}=\rho \vec {v}$ - ток, $\vec {v}$ - скорость, то УН :

(1) $$\rho _{,t}+\nabla \vec {j}=0$$.

Т.к. в нерелятивистском случае скорость пропорциональна импульсу,
$$\vec {v}=\frac{\vec {p}}{m}$$,
то уравнение (1), написанное для средних (наблюдаемых) величин, удобно записать в импульсном представлении, выразив эти средние как интеграл от случайных величин, умноженных на функцию распределения = плотность вероятности в импульсном пространстве

(2) $$w=|\varphi (\vec {p})|^2=\varphi \varphi^*$$,

где $\varphi (\vec {p})$ - "волновая функция в импульсном представлении, удовлетворяющая, в силу сохранения заряда, условию нормировки :

(3) $$\int \limits _{-\infty}^{\infty}wd^3p=1$$ :


(4) $$(\int \limits _{-\infty}^{\infty}\varphi^*(\vec{p})\delta(\vec{p})\varphi(\vec{p})d^3p)_{,t}=-\nabla \int \limits _{-\infty}^{\infty}\varphi^*(\vec{p})\frac{\vec{p}}{m}\varphi(\vec{p})d^3p$$.

Здесь$\delta(\vec{p})$ - дельта-функция Дирака - оператор плотности заряда в импульсном пространстве.

Воспользовавшись преобразованием Фурье, связывающим волновые функции в импульсном представлении, $\varphi(\vec{p})$, и волновые функции в координатном представлении, $\psi(\vec{x})$,

(5) $$\varphi(\vec{p})=\int \limits _{-\infty}^{\infty}\psi^*(\vec{x})e^{-i\vec{p}\vec{x}}d^3x$$,

учитывая стандартную связь оригиналов и изображений при преобразовании Фурье :

$$\varphi(\vec{p})\leftrightarrow \psi (\vec{x})$$,
$$\delta (\vec{p})\leftrightarrow 1$$,
$$\vec{p}\leftrightarrow \hat {\vec{p}}=-i\nabla$$,

убрав интегрирование по 3-координатному пространству, $\int d^3x$, из (4) получаем :

(6)$$(\psi \psi^*)_{,t}=\frac{i}{2m}\nabla(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$$.

В (6) учтена эрмитовость оператора импульса : $\psi^*\hat {\vec{p}}\psi=\psi\hat {\vec{p}}^*\psi^*$.

Из (6) следует, что Фурье-изображение плотности тока (но не сам наблюдаемый ток, как иногда пишут) равно :

$$\vec{j}(\vec{p})\leftrightarrow \frac{i}{2m}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$$.

Проведя вычисления в (6), добавив в него справа и вычтя член с потенциальной энергией взаимодействия $iU\psi\psi^*$, получаем :

(7) $$\psi^*\psi_{,t}+\psi\psi^*_{,t}=\frac{i}{2m}(\psi^*\Delta \psi - \psi\Delta\psi^*)-iU\psi\psi^*+iU\psi\psi^*$$.

Выражение (7) представляет собой сумму УШ :

(8) $$i\psi_{,t}=-\frac{1}{2m}\Delta\psi+U\psi$$

и ему сопряженного уравнения.

#

Таким образом, УШ является классическим уравнением - половинкой Фурье-образа УН нерелятивистской гидродинамики заряженной среды.

Добавлено спустя 29 минут 14 секунд:

AlexNew писал(а):
осталась самая малость, забыть о различиях и теория готова


Всё же, в чем Вы видите различия?

Цитата:
КМ в вашем смысле будет изорфна скажем классической электридинамике.


Предыдущее сообщение полностью подтвердило эту замечательную мысль.

Цитата:
Ваша проблема в том что вы верите в классическую физику в которои у момента импульса немного другая роль


Это интересный момент, нельзя ли поподробнее, в чем в КМ у момента импульса другая роль, чем в КМ ***.

*** Видите, даже абревиатуры у классики и квантов совпадают. Это - судьба ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.07.2008, 01:58 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
класиссич физика, Км, электродинамика, ... очень похожи потому как есть фундаментальные законы которые выполняются почти везде и всегда :)
Напримерт принцип наименьшего деиствия, однородность пространста-времени, .... если есть симметрии то можно построить сохраняющиеся инварианты. В классич. физике и КМ есть одинаковые симметрии вот и дифференц уравнения их описывающие выглядят похоже, симметрию ведь надо сохранить. А запишите вы эти законы в виде соотнош. между дифференц операторами или в виде матричных уравнений; в пространстве-времени или в фазовом пространстве от этого суть дела не изменится, это бсе детали.
Вы просто заметили связь между дифф. оператором и матрицей, для начала это не плохо :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 138 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group