В защиту Литлвуда

[ewert]

Коровьев писал(а):

MaximKat писал(а):

Коровьев в сообщении #135101 писал(а):

Т.е. длина выложенных отрезков стремится к определённому не нулевому пределу и, следовательно, множество отрезков на столе в полдень не пусто.

длина предела не равна пределу длины

Серьёзная мысль. Только где Вы у меня нашли длину предела?

Он просто попытался понять, что Вы подразумеваете под "следовательно". А это очень трудно.

[surfer]

А если так поиграем:

Берем за минуту до обеда шар с номером 1 и помещаем его в ящик.
за 1/2 минуты до обеда достаем из ящика шар номер 1 и помещаем в ящик шар номер 2
...
за $1/n$ минуты до обеда достаем из ящика шар номер $n-1$ и помещаем в ящик шар номер $n$

Так будет ли шар в ящике в полдень?
Очевидно что не существует номера для шара который бы остался в ящике, потому что для любого номера шара $n$ существует шаг $n+1$ в котором этот шар достается из ящика, но на это можно ответить что существует шаг с номером $n+2$ на котором в ящик был положен другой шар.

[ewert]

PAV писал(а):

Я сейчас говорю только про один шар с номером 1. После того, как его достали из ящика и больше к нему не прикасались, дальнейшая судьба ящика для этого шара не имеет никакого значения. Почему Вы считаете, что мы можем достоверно утверждать про все моменты до полудня, что этот шар в ящике не лежит, а в полдень что-то вдруг меняется? Почему полдень имеет какое-то особенное значение для первого шара? Какое ему дело до других шаров и до того, что с ними происходит? Представьте себе, что после того, как этот шар из ящика достали, ящик унесли в другую комнату. Вы считаете, что то, какие действия производили с ним там, оказывают какое-то влияние на состояние оставшегося первого шара, к которому никто не прикасается? Это мне совершенно удивительно.

Посмотрите мое пояснение к этой задаче здесь
Может быть, оно Вас удовлетворит?

Прежде всего: не напомнили бы, как ссылаться на конкретное сообщение в форуме? Мне казалось, что знаю, но вдруг выяснилось -- нет. Буду признателен.
----------------------------------------------------------------------

Теперь по существу. Вы меня удивляете. Во-первых, при чём тут именно первый шар -- речь о любом конкретном. Во-вторых, если я сказал "во все моменты", то лишь повторяя Вашу терминологию -- не мог же я предположить, что Вы понимаете эти слова так буквально; разумеется, имелось в виду "в каждый момент". В-третьих, дело вовсе не в том, имеет ли полдень какое-то значение для некоторого шара -- главное, что он формально никак не связан с предыдущими моментами.

Что касается здесь -- совершенно не удовлетворяет. Хотя бы потому, что Ваши замечательные функции $f_i(t)$ в полдень не определены, но не только поэтому. Руст сделал примерно то же самое, только гораздо аккуратнее:

Руст писал(а):

Мы ищем подмножество шаров. Оно определяется своей характеристической функцией, являющейся функцией двух аргументов $g(x,n)=0$ если в момент за 1/n минуты до полудня ячейка пуста и 1 если занята. Сходимость на характеристических функциях определим самую слабую поточечную, когда $g(x,n)\to g(x)$, если начиная с некоторого n $g(x,n)$ постоянно и равен $g(x)$. Под предельным множеством назовём предел характеристических функций в указанном смысле, если таковое существует. Легко понять, что предельная характеристическая функция нулевая, т.е. получим в пределе пустое множество.

И действительно получим. Только Руст почему-то категорически отказывается (или отказывался) признать, что его предельный переход -- это предельный переход. Который как раз и совпадает с оценкой верхнего предела последовательности множеств.

[MaximKat]

Коровьев в сообщении #135112 писал(а):

Серьёзная мысль. Только где Вы у меня нашли длину предела?

тогда как из $\lim_{n\to\infty} S_n=\ln 10$ следует "множество отрезков на столе в полдень не пусто"?

[Руст]

ewert писал(а):

И действительно получим. Только Руст почему-то категорически отказывается (или отказывался) признать, что его предельный переход -- это предельный переход. Который как раз и совпадает с оценкой верхнего предела последовательности множеств.

Честно говоря я особо не читал что тут наплели другие. Хотел закрыть тему с таким количеством постов - в основном пустопорожных. По сути необходимо определить предельное множество. Я указал топологию которая объясняет позицию Someone, с чем и я согласен. Только тут Swedka возражает, не понял чему. Объясню, что это топология Тихоновского произведения (или поточечной сходимости). Пусть имеется пространство "непрерывных" функций $X\to Y$. В нашем случае $X$ множество шаров (точнее их номеров), $Y=\{0,1\}$ с дискретными топологиями. Топология поточечной сходимости на этом пространстве есть не что иное как топология бесконечного (Тихонова) произведения X экземпляров Y, т.е топология $Y^X$. Даже на категорном уровне эта топология получается как категорное произведение, т.е. самое, что не есть естественная. Поэтому, мне не понятно, чему возражает $Swedka".

[PAV]

ewert в сообщении #135145 писал(а):

Прежде всего: не напомнили бы, как ссылаться на конкретное сообщение в форуме? Мне казалось, что знаю, но вдруг выяснилось -- нет. Буду признателен.

Гиперссылка находится в левом верхнем углу сообщения, перед словом "Добавлено".

ewert в сообщении #135145 писал(а):

В-третьих, дело вовсе не в том, имеет ли полдень какое-то значение для некоторого шара -- главное, что он формально никак не связан с предыдущими моментами.

А я считаю, что связан. И все-таки мне хотелось бы разобраться именно с шаром с номером 1. Из условия задачи явно следует, что после того, как его извлекли из ящика, состояние этого шара больше не меняется. Никогда. Именно это обстоятельство и связывает формально все моменты времени после извлечения и позволяет нам говорить, что для этого шара они все равноценны. Полдень ничем не отличается. Если за несколько милисекунд до полудня этот шар не лежит в ящике, то и в полдень он там не окажется.

Формально можно говорить так. У нас есть объекты (шары), которые могут находиться в одном из двух состояний. В некоторые моменты времени мы меняем состояния некоторых шаров, а между двумя соседними моментами состояние шара не меняется. Таким образом, формальное определение состояния шара в момент $t$ таково: оно определяется последним сделанным над шаром действием, т.е. нужно определить максимальный момент $t_0\le t$, в который мы состояние этого шара поменяли (установили).

Если Вы не согласны с такой формализацией ситуации, то предложите свою.

Если такого максимального момента $t_0$ не существует, тогда данное определение действительно не работает, и состояние шара определить нельзя. Но в данной задаче это не так.

Можно описать то же самое и через предельные переходы. Пусть $A_t$ - множество шаров в ящике в момент времени $t$. Пусть нам известны все $A_t$ при $t<s$ и дополнительно указано, что в сам момент времени $s$ никаких действий не производилось. Как определить $A_s$ и можно ли это сделать?

Нетрудно показать, что в рамках предложенной мной формализации множество $A_s$ определено тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы последовательности множеств до момента $s$ совпадают. И в этом случае это множество равно этому пределу.

Но я еще раз повторяю, что в рамках моей формализации без каких-либо предельных переходов можно замечательно обойтись.

[AGu]

Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов, и ни один из них не может претендовать на "наибольшую естественность". Вот вам еще один "естественный подход".

Простоты ради рассмотрим правила, предложенные surfer'ом: в момент $t_n$ (т.е. за 1/n минуты до полудня) мы заменяем число n числом n+1. Кое-кто в этом случае склонен "строго логически" заключать, что в полдень ящик будет пустым. Действительно, какое бы число n мы ни рассмотрели, в момент $t_n$ оно будет из ящика вынуто и никогда до полудня в нем уже не появится, а значит, в полдень в ящике ничего не может "остаться". Логично? Логично. Но...

Что такое натуральное число? Мы ведь тут пытаемся рассуждать, основываясь на теории множеств, не так ли? А в рамках теории множеств натуральные числа традиционно определяются следующим образом: $0=\varnothing$, $1=\{0\}=\{\varnothing\}$, $2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$, ..., $n=\{0,1,2,\dots,n-1\}$, ...

Вооружившись теоретико-множественными знаниями об устройстве чисел, мы теперь понимаем, что в момент $t_n$ содержимое ящика заменяется с $\{0,1,2,\dots,n-1\}$ на $\{0,1,2,\dots,n-1,n\}$. Разве отсюда "строго логически" не следует, что в полдень мы обнаружим в ящике $\{0,1,2,3,4,\dots\}={\mathbb N}$? Разве не логично?

[TOTAL]

AGu писал(а):

Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов

В первоначально пустой ящик я что-то вкладываю и выкладываю. Я специально не буду говорить, что вкладываю и в каком порядке. Но обещаю, что всё, что я однажды вложил в ящик, до полудня из ящика выну. Домыслите, пожалуйста, содержимое ящика в полдень. (Не верите моим обещаньям?)

[ewert]

Руст писал(а):

Поэтому, мне не понятно, чему возражает $Swedka".

Насколько помню, последнее время она возражает тому, что якобы в исходной постановке литтлвудовской задачи (в изложении Коровьева) уже содержится некий предельный переход. Фактически же ничего подобного там нет -- этот предельный переход приходится домысливать. И я с ней согласен.

Против Вашего же способа домысливания мы, естественно, ничего не имеем. Я бы лишь добавил, что нет необходимости вводить характеристические функции -- то же самое получается в стандартной теоретико-множественной интерпретации.

[surfer]

PAV писал(а):

А я считаю, что связан. И все-таки мне хотелось бы разобраться именно с шаром с номером 1. Из условия задачи явно следует, что после того, как его извлекли из ящика, состояние этого шара больше не меняется. Никогда. Именно это обстоятельство и связывает формально все моменты времени после извлечения и позволяет нам говорить, что для этого шара они все равноценны. Полдень ничем не отличается. Если за несколько милисекунд до полудня этот шар не лежит в ящике, то и в полдень он там не окажется.

Формально можно говорить так. У нас есть объекты (шары), которые могут находиться в одном из двух состояний. В некоторые моменты времени мы меняем состояния некоторых шаров, а между двумя соседними моментами состояние шара не меняется. Таким образом, формальное определение состояния шара в момент $t$ таково: оно определяется последним сделанным над шаром действием, т.е. нужно определить максимальный момент $t_0\le t$, в который мы состояние этого шара поменяли (установили).

Мое возражение в том что всегда существует шар над которым состояние шара не менялось, вы делаете действие с шаром, устанавливаете момент в который поменялось состояние, а далее в силу построения натурального ряда обнаруживаете перед собой новый шар, над которым действие еще не проводилось, а если вы заявляете что можете провести действие над всеми шарами, то тут же возникает возражение что это противоречит бесконечности натурального ряда.

TOTAL писал(а):

AGu писал(а):

Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов

В первоначально пустой ящик я что-то вкладываю и выкладываю. Я специально не буду говорить, что вкладываю и в каком порядке. Но обещаю, что всё, что я однажды вложил в ящик, до полудня из ящика выну. Домыслите, пожалуйста, содержимое ящика. (Не верите моим обещаньям?)

Не верим. Вы можете обещать только что выложите до полудня каждую вещь что положили в ящик, но Вы не можете одним махом вложить и выложить "всё".

[PAV]

surfer, возражение я не принимаю. Формально нам никто не мешает в некоторый момент положить в ящик все шары или достать их оттуда.

[AGu]

TOTAL писал(а):

AGu писал(а):

Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов

В первоначально пустой ящик я что-то вкладываю и выкладываю. Я специально не буду говорить, что вкладываю и в каком порядке. Но обещаю, что всё, что я однажды вложил в ящик, до полудня из ящика выну. Домыслите, пожалуйста, содержимое ящика в полдень. (Не верите моим обещаньям?)

Разве эта новая игра что-то меняет? Как я считал, что домысливать можно массой разных способов, так и считаю. "Строго логически" состояние системы в предельный момент времени не вычислить: это состояние правилами игры не определено. Разнообразные аргументы уже приводились (и не только мной). Мне не хочется повторяться, но... Вот уже звучавший аналог: имеется функция $f:[0,1)\to{\mathbb R}$, причем $f(t)=0$ для всех $t<1$, домыслите значение $f(1)$.

[TOTAL]

surfer писал(а):

Мое возражение в том что всегда существует шар над которым состояние шара не менялось, вы делаете действие с шаром, устанавливаете момент в который поменялось состояние, а далее в силу построения натурального ряда обнаруживаете перед собой новый шар, над которым действие еще не проводилось, а если вы заявляете что можете провести действие над всеми шарами, то тут же возникает возражение что это противоречит бесконечности натурального ряда.

Ваше возражение состоит в том, что Вы считаете невозможным установить взаимно однозначное соответствие между целыми и четными числами. У Вас просто времени не хватит, ведь чисел бесконечно много.

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

AGu писал(а):

Вот уже звучавший аналог: имеется функция $f:[0,1)\to{\mathbb R}$, причем $f(t)=0$ для всех $t<1$, домыслите значение $f(1)$.

Если Вы считаете это аналогом, то верю, что домыслить Вы сможете что угодно до чего угодно.

[ewert]

PAV писал(а):

Гиперссылка находится в левом верхнем углу сообщения, перед словом "Добавлено".

Спасибо. Такая маленькая кнопочка, что и не разглядишь.

PAV писал(а):

Полдень ничем не отличается. Если за несколько милисекунд до полудня этот шар не лежит в ящике, то и в полдень он там не окажется.

Почему?!! С какой стати его там не окажется? -- только по каким-либо соображениям непрерывности. Но это и есть предельный переход. А уж какими словами его оформлять -- дело восемнадцатое. В частности:

PAV писал(а):

Таким образом, формальное определение состояния шара в момент $t$ таково: оно определяется последним сделанным над шаром действием, т.е. нужно определить максимальный момент $t_0\le t$, в который мы состояние этого шара поменяли (установили).

Т.е. ещё более формально: состояние шаров в полдень определено, если ($\forall$ шара $i$) $\exists$ такой момент $n$, что ($\forall$ момента $k>n$) состояние этого шара $x_i(k)$ уже не меняется. Это -- предельный переход. Кстати, совпадающий с Руст'овским.

[PAV]

AGu, возьмите произвольный момент времени после того, как был вынут первый шар, но до того, как наступил полдень. Из какого условия задачи Вы делаете вывод о том, что в этот момент данный шар не лежит в ящике?

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

ewert, Вам тот же вопрос, что и AGu. Какое соображение непрерывности заставляет нас сделать вывод о том, что за несколько милисекунд до полудня первый шар не лежит в ящике?

Вы постоянно пытаетесь описать состояние всех шаров вместе. Дайте, пожалуйста, формальное определение состояния одного шара в один заданный момент времени. Тогда и посмотрим, где предельный переход.