В защиту Литлвуда

[А.Связной]

Господину epros:

Цитата:

Доопределим условия, обозначенные в исходной постановке как "и т.д.", следующим образом:
"Ровно в полдень в ящик кладётся первый бесконечный ординал с 9-ю следующими за ним ординалами, а один минимальный ординал вынимается. За 1/2 минуты до 12:01 кладутся следующие 10 ординалов, а один минимальный вынимается. И т.д. Сколько чисел останется в ящике в полдень? В другие моменты после полудня?"

Очевидно, ответ изменится. Может это и можно назвать "умственными извращениями", однако исходной постановке это не противоречит, ибо никто не говорил, что под "числами" нужно понимать только натуральные числа. А когда решение задачи зависит от интерпретации использованных в ней слов (причем интерпретация остаётся в рамках достаточно общепринятого), значит всё-таки с задачей что-то не так.

Тут я с Вами полностью согласен.
Давно уже конструктивисты говорили о неправомерности распространения двузначной логики за бесконечность, а потому и не принимали аксиому бесконечности и вообще понятие актуальной бесконечности.
Кантор и последователи приняли актуальную бесконечность и построили непротиворечивую (скорее всего) теорию, но так и не осознали, что используют не двузначную логику.
А все дело в значке $\subseteq $ и его свойстве рефлексивности. Еще оказал влияние знак ^(наоборот надо перевернуть - не знаю макроса ) - который в логике используется как не исключенное «или».
Приняв, что все элементы в теории множеств – множества и не определив, какие из них конечные, а какие нет, они просто распространили этот принцип на все (в том числе и на оба X в законах исключенного третьего и не противоречия: (Х или не-Х), (Х не равно не-Х). В итоге обычную школьную задачу теоретико - множественным способом решить нельзя:
Все куздры – глоки. Следует ли из этого утверждения с логической необходимостью, что либо куздры и глоки это одно и тоже, либо есть глоки, которые не куздры ? С точки зрения теории множеств – ничего такого не следует. Пока мы сами не определимся с ответом, ничего не выйдет. Поэтому теоретико-множественный ответ на вопрос Литлвуда должен быть такой: останутся и не останутся одновременно – пока мы сами не определимся что такое «шары» (или числа).

[epros]

А.Связной писал(а):

Давно уже конструктивисты говорили о неправомерности распространения двузначной логики за бесконечность, а потому и не принимали аксиому бесконечности и вообще понятие актуальной бесконечности.

Логика у конструктивистов не "двузначная".

[А.Связной]

epros писал(а):

А.Связной писал(а):

Давно уже конструктивисты говорили о неправомерности распространения двузначной логики за бесконечность, а потому и не принимали аксиому бесконечности и вообще понятие актуальной бесконечности.

Логика у конструктивистов не "двузначная".

Простите, забыл определить строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности".

[epros]

А.Связной писал(а):

Простите, забыл определить строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности".

Я не понял.

[Captious]

А.Связной писал(а):

Поэтому теоретико-множественный ответ на вопрос Литлвуда должен быть такой: останутся и не останутся одновременно – пока мы сами не определимся что такое «шары» (или числа).

Не-е... сами «шары» ( или числа) тут совершенно ни при чём!
Главное - определиться, что значит ВСЕ шары\числа одновременно, когда их всех бесконечно много... Проще говоря, в каком смысле «ящик Литлвуда» оказывается «полным»... или «пустым» если сами (бесконечные) процессы его заполнения или опустошения принципиально не могут быть завершены.
Т.е. другими словами, можно ли рассматривать бесконечность актуально завершенной и если можно, то в каком именно смысле она оказывается «завершена»?

[Dan B-Yallay]

epros писал(а):

Вопросы касались Вашего утверждения о том, что всё будет вынуто. Я же ничего в данном случае не утверждаю, а только "предполагаю" и "чувствую". Это конечно же "не по математически", но если мои чувства меня обманывают, то давайте попробуем уже вполне по математически их опровергнуть. Только с учётом того, что неконструктивные аргументы не принимаются.
.

Я не специалист в логике и в конструктивной в частности. Кроме того, я не вижу смысла использовать конструктивные доводы в задаче, которая изначально поставлена неконструктивно, так как в ней подразумевается существование актуальной бесконечности и бесконечного множества (шаров). Что по-моему есть "некошерно" с точки зрения конструктивной математики.

[epros]

Dan B-Yallay писал(а):

я не вижу смысла использовать конструктивные доводы в задаче, которая изначально поставлена неконструктивно

Я абсолютно здесь с Вами согласен. Просто с точки зрения конструктивной логики задача некорректно сформулирована, что я и хотел сказать.

[epros]

Ещё одно добавление.
Dan B-Yallay выше предлагал дать конструктивную формулировку данной задачи. Я подумал, что может быть в ней конструктивного, и пришёл к выводу, что в конструктивной постановке всё сводится к известному различию между утверждениями, в которых переставлены местами кванторы всеобщности и существования:
1. $\forall$ номер $\exists$ шаг (номер будет вынут на шаге) - это утверждение конструктивно доказуемо.
2. $\exists$ шаг $\forall$ номер (номер будет вынут на шаге) - это утверждение конструктивно опровержимо.

Думаю, что теория множеств вкупе с классической логикой тоже не будут с этим спорить. Но теория множеств вводит по определению новый "шаг" под названием "бесконечность", который в силу его определения больше любого натурального числа, но при этом сам по себе натуральным числом не является. Для этого "шага" опровержение второго высказывания неприменимо (ибо речь была о только натуральных шагах), а в силу первого и в силу того, что этот "шаг" позже любого натурального шага, можно утверждать, что любой номер на этом "шаге" будет вынут.

Странно, что мы расширяем понятие "шага", но не расширяем при этом понятие "номера"... А в итоге получаем утверждение, по форме очень похожее на опровергнутое второе. Наверное, в этом и заключается "парадокс". С точки зрения конструктивизма, конечно, никакие подобные расширения не являются легальными.

[Captious]

Изобразим пошаговый процесс образования «множества Литлвуда» в виде
такой таблицы

1 2 3 4 ... 10
1 2 3 4 ... 10 ... 20
1 2 3 4 ... 10 ... 20 ... 30
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Вправо по горизонтали откложены номера чисел («шаров»), включаемых
во множ-во ( закладываемых в ящик «шаров») .
Вниз по вертикали идёт отсчёт шагов построения множ-ва.
Остающиеся во множестве элементы, в отличие от удаляемых, выделены жирным шрифтом.

Как известно, множ-во называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента ( равносильно ситуации, когда все элементы из него удалены).
Множ-во не пусто, если в нем есть ( остаются) элементы.
Все элементы «множества Литлвуда» можно разделить на два класса: класс удаляемых и класс остающихся во множ-ве элементов.
Дж. Литлвуд просматривает элементы множ-ва «по диагонали» и считает те элементы, которые были добавлены во множество и тут же были удалены, например, элемент №1. Если всё множ-во состоит из таких элементов, то оно будет «динамически пустым»: ни один из добавляемых в него элементов там не задерживается. Но вот элемент №2, хотя и удаляется из множ-ва на 2-ом шаге, был добавлен в него на шаге №1. Элемент №4 сохраняется уже в течении 3-х шагов... Чем больше номер удаляемого элемента, тем раньше он был добавлен во множ-во и дольше там задержался.
Процедура пересчёта этого (качественного) отличия элементов двух классов не замечает: главное для неё - найти соответствующий номеру элемента шаг, на котором этот элемент будет удален. Таким образом, создается впечатление, что все элементы множества похожи на элемент №1, т.е. «одновременно» находятся и не находятся во множ-ве.
Одновременность тут «незаметно» подменяется на совпадение номера элемента с номером шага его удаления. На самом деле элементы в процессе образования множ-ва постоянно переходят из одного класса в другой. Как видим, класс удаляемых элементов не содержит элемента с максимальным номером, а класс сохраняющихся не содержит элемента с минимальным номером.
P.S. Почему-то эти классы очень сильно напоминают мне нижний и
верхний классы такого сечения во множ-ве рац-х чисел , которое определяет иррациональное число ...
Там тоже получается, что множ-во рац-х чисел оказывается «пустым» по отношению к иррациональным числам и поэтому требуется расширять его до множ-ва $\mathbb R$ ... Может быть «множество Литлвуда» в каком-то смысле тоже «несчётно»?

[ewert]

epros писал(а):

Но теория множеств вводит по определению новый "шаг" под названием "бесконечность", который в силу его определения больше любого натурального числа, но при этом сам по себе натуральным числом не является.

Не вводит. "Шаг" и "предельный переход" -- суть вещи совершенно разные.

Впрочем, не исключено, что Вы против предельных переходов как таковых. Тогда Вас жаль. Вы даже не сможете определить, с какой скоростью перемещаетесь по городу. Вы просто не знаете, что такое скорость.

[Someone]

epros в сообщении #143246 писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Я таки не понимаю, а зачем мне собственно решать или доказывать существование чего-то такого? Вы "чувствуете" - вам и обосновывать. :D

Это не я утверждал, что все шары будут вынуты. А мои "чувства" - это моё личное дело.

Утверждали.

epros писал(а):

Someone писал(а):

epros в сообщении #143101 писал(а):

А я так "чувствую", что ангел непременно накидает столько, что чёртик рано или поздно не сможет раскидать. Но поскольку Вы конкретно спрашиваете "что именно это будет", то я признаЮ: Да, я не могу конкретно указать "что именно" такого накидает ангел. Но я могу в свою очередь спросить Вас: А почему Вы вдруг решили, что "чего-то такого" в принципе не существует?

Потому что это следует из очень простых рассуждений, если не морочить себе голову нечётными совершенными числами и прочими вещами, о которых в инструкциях наших персонажей ничего не сказано. Им абсолютно наплевать на нечётные совершенные числа. Если таковые есть, то один положит их в "корзину", а другой следом вынет. Если таких чисел нет, то первый не будет их класть, а второй не будет вынимать. При этом ни тому, ни другому совершенно не нужно знать, есть такие числа или нет.

Вы демонстрируете классический пример неконструктивного рассуждения. У Вас нет конкретного примера для того, чтобы использовать его в посылке, но Вы готовы сделать общий вывод. Конечно же, это "очень просто". Примерно так же просто, как из наблюдения нескольких серых кошек сделать общий вывод, что все кошки серые.

Ещё раз. Рассмотрим любое натуральное число $n$. Это число будет удалено из множества Литлвуда на шаге $n$ и более никогда в этом множестве не появится. Следовательно, в результирующем множестве этого числа не будет. Поскольку $n$ - любое натуральное число, то в множестве не будет ни одного натурального числа, а так как ничего другого в нём нет, то оно является пустым.

Задача формулировалась Литлвудом в рамках теории множеств. Его построение формализуется в виде индуктивного построения, которое делает всё рассуждение конечным. С точки зрения конструктивной математики это всё "неконструктивно", но такие претензии вздорны. Они имели бы смысл, если бы задача формулировалась в рамках конструктивной математики, но этого никто не делает.

epros писал(а):

Someone писал(а):

Я уже один раз говорил и ещё раз повторю: то, что возможен конструктивный математический анализ, не имеет ни малейшего отношения к полезности классического математического анализа. А классический математический анализ без аксиомы бесконечности не существует.

А я готов ещё раз повторить, что конструктивный матанализ ничуть не хуже классического, хотя он и не использует аксиому бесконечности.

Напомню, что вопрос был следующий:

Someone в сообщении #142686 писал(а):

Вы отрицаете полезность математического анализа и основанных на нём областей математики?

Вы считаете, что Ваше

epros в сообщении #143246 писал(а):

конструктивный матанализ ничуть не хуже классического

является ответом на мой вопрос?

epros писал(а):

Как, думаете, проверяется конструктивность аксиомы? Нужно просто предложить процедуру её проверки на неких модельных объектах. Например, хотите я продемонстрирую процедуру проверки аксиомы пустого множества на примере традиционной записи множеств: разделённого запятыми списка символов, заключённого в фигурные скобки?

Для аксиомы бесконечности таковой процедуры построить пока никому не удалось. Точнее, всё, что удаётся построить, оказывается без точки останова.

А что, кто-нибудь пытался? Ссылочку, пожалуйста, предъявите.

Вообще, я не понимаю, какое отношение имеет конструктивизм к теории множеств?

epros писал(а):

Someone писал(а):

Разумеется, множества в конструктивной математике трактуются не так, как в теории множеств.

Разумеется, совершенно не так. Без аксиомы бесконечности несомненно существующими оказываются только конечные множества, так что от всей теории множеств остаётся только самая тривиальная часть.

Ну не скажите. Теория ZF, в которой аксиома бесконечности заменена её отрицанием, эквивалентна арифметике Пеано. Называть арифметику Пеано тривиальной несколько рискованно.

epros писал(а):

Someone писал(а):

epros в сообщении #143101 писал(а):

"Множество конструктивных действительных чисел несчётно" - это абсолютно некорректное утверждение.

А я его не формулировал. У меня написано так:

Someone в сообщении #142913 писал(а):

множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно (в смысле конструктивной математики).

Сравните с цитатой из книги Б.А.Кушнера.

Я не подвергаю сомнению то, что написано у Кушнера. Просто нужно понимать, что то, что названо "эффективной несчётностью", да ещё с уточнением "в смысле конструктивной математики", весьма далеко от классического (Канторовского) понятия о несчётности.

Видите ли, я сформулировал утверждение достаточно точно: сказал не о "несчётности", а об "эффективной несчётности", да ещё сославшись при этом на особое понимание всего этого в конструктивной математике. Вы же мою цитату переврали, скорее всего, считая, что я именно эту глупость и имел в виду. Поправка же Ваша появилась только после предъявления цитаты из книги Б.А.Кушнера, и при этом Вы начали обвинять в путанице меня.

И если, по Вашему мнению, множество КДЧ конечно, то о какой эффективной несчётности говорит Б.А.Кушнер?

epros писал(а):

Ни о каких "различных кардинальностях" здесь речь даже близко не идёт. На самом деле речь идёт о вполне тривиальном и малоинтересном для конструктивного анализа выводе, который совершенно незаслуженно поднимается в качестве "знамени" теми, кто берётся интерпретировать конструктивизм с точки зрения классической теории множеств. Ох, как же он страдает от таких интерпретаций...

Всё ясно. Б.А.Кушнер - вражеский агент в стане конструктивистов.

epros писал(а):

Логика такова: раз нет несчётности, то давайте найдём что-то хотя бы отдалённо похожее и назовём это "эффективной несчётностью" - просто чтобы все успокоились, ибо никаких полезных выводов из этого свойства всё равно не следует.

А зачем? Ну, вот я - типичный представитель классической математики. Какое мне дело до того, что там у конструктивистов с множествами? Да пусть у них вообще никаких множеств не будет. Мне совершенно без разницы, есть там у них бесконечные или несчётные множества или нет их. Я об этом прочитал и подумал про себя: "Занятно". Вы думаете, что я им завидую? Мне немного любопытно, чем они там занимаются, и не более того.

Дальше у Вас пошла уже совсем какая-то ерунда, комментировать не буду.

Добавлено спустя 15 минут 10 секунд:

epros писал(а):

А.Связной писал(а):

Давно уже конструктивисты говорили о неправомерности распространения двузначной логики за бесконечность, а потому и не принимали аксиому бесконечности и вообще понятие актуальной бесконечности.

Логика у конструктивистов не "двузначная".

Совершенная чушь. Вы попросту не знаете и не понимаете того, что пытаетесь здесь отстаивать и пропагандировать. Логика у конструктивистов отличается от классической, аристотелевой логики, но, тем не менее, является такой же двузначной: всякое высказывание либо истинно, либо ложно. Основное отличие от классической логики состоит в том, что в классической логике обязательно истинно в точности одно из двух высказываний $A$ и $\neg A$ (закон исключённого третьего), в то время как в конструктивистской логике оба этих высказывания могут оказаться ложными, а высказывание $\neg\neg A$ может не совпадать с $A$ (но $\neg\neg\neg A=\neg A$). Есть также некоторые другие отличия.

P.S. Обращаю внимание всех спорщиков на то, что задача ставилась Литлвудом в рамках теории множеств, поэтому она (задача) должна обсуждаться также в рамках теории множеств. Обсуждение её с точки зрения конструктивной математики, интуиционизма, физики или чего-либо ещё, не являющегося теорией множеств, не имеет смысла. Также не имеет смысла менять условия задачи и потом предъявлять претензии по поводу того, что результат изменился.

[Jnrty]

Jnrty:

Тему закрываю, поскольку она уже давным давно исчерпала себя, и пошли сплошные повторы и offtopic.

Дискуссии о конструктивной математике или физике должны вестись в соответствующих темах.