2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 35  След.
 
 
Сообщение24.07.2008, 09:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Коровьев писал(а):
MaximKat писал(а):
Коровьев в сообщении #135101 писал(а):
Т.е. длина выложенных отрезков стремится к определённому не нулевому пределу и, следовательно, множество отрезков на столе в полдень не пусто.
длина предела не равна пределу длины
Серьёзная мысль. Только где Вы у меня нашли длину предела?

Он просто попытался понять, что Вы подразумеваете под "следовательно". А это очень трудно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 09:42 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
А если так поиграем:

Берем за минуту до обеда шар с номером 1 и помещаем его в ящик.
за 1/2 минуты до обеда достаем из ящика шар номер 1 и помещаем в ящик шар номер 2
...
за $1/n$ минуты до обеда достаем из ящика шар номер $n-1$ и помещаем в ящик шар номер $n$

Так будет ли шар в ящике в полдень?
Очевидно что не существует номера для шара который бы остался в ящике, потому что для любого номера шара $n$ существует шаг $n+1$ в котором этот шар достается из ящика, но на это можно ответить что существует шаг с номером $n+2$ на котором в ящик был положен другой шар.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 09:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PAV писал(а):
Я сейчас говорю только про один шар с номером 1. После того, как его достали из ящика и больше к нему не прикасались, дальнейшая судьба ящика для этого шара не имеет никакого значения. Почему Вы считаете, что мы можем достоверно утверждать про все моменты до полудня, что этот шар в ящике не лежит, а в полдень что-то вдруг меняется? Почему полдень имеет какое-то особенное значение для первого шара? Какое ему дело до других шаров и до того, что с ними происходит? Представьте себе, что после того, как этот шар из ящика достали, ящик унесли в другую комнату. Вы считаете, что то, какие действия производили с ним там, оказывают какое-то влияние на состояние оставшегося первого шара, к которому никто не прикасается? Это мне совершенно удивительно.

Посмотрите мое пояснение к этой задаче здесь
Может быть, оно Вас удовлетворит?

Прежде всего: не напомнили бы, как ссылаться на конкретное сообщение в форуме? Мне казалось, что знаю, но вдруг выяснилось -- нет. Буду признателен.
----------------------------------------------------------------------

Теперь по существу. Вы меня удивляете. Во-первых, при чём тут именно первый шар -- речь о любом конкретном. Во-вторых, если я сказал "во все моменты", то лишь повторяя Вашу терминологию -- не мог же я предположить, что Вы понимаете эти слова так буквально; разумеется, имелось в виду "в каждый момент". В-третьих, дело вовсе не в том, имеет ли полдень какое-то значение для некоторого шара -- главное, что он формально никак не связан с предыдущими моментами.

Что касается здесь -- совершенно не удовлетворяет. Хотя бы потому, что Ваши замечательные функции $f_i(t)$ в полдень не определены, но не только поэтому. Руст сделал примерно то же самое, только гораздо аккуратнее:
Руст писал(а):
Мы ищем подмножество шаров. Оно определяется своей характеристической функцией, являющейся функцией двух аргументов $g(x,n)=0$ если в момент за 1/n минуты до полудня ячейка пуста и 1 если занята. Сходимость на характеристических функциях определим самую слабую поточечную, когда $g(x,n)\to g(x)$, если начиная с некоторого n $g(x,n)$ постоянно и равен $g(x)$. Под предельным множеством назовём предел характеристических функций в указанном смысле, если таковое существует. Легко понять, что предельная характеристическая функция нулевая, т.е. получим в пределе пустое множество.
И действительно получим. Только Руст почему-то категорически отказывается (или отказывался) признать, что его предельный переход -- это предельный переход. Который как раз и совпадает с оценкой верхнего предела последовательности множеств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 10:15 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Коровьев в сообщении #135112 писал(а):
Серьёзная мысль. Только где Вы у меня нашли длину предела?

тогда как из $\lim_{n\to\infty} S_n=\ln 10$ следует "множество отрезков на столе в полдень не пусто"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 10:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
ewert писал(а):
И действительно получим. Только Руст почему-то категорически отказывается (или отказывался) признать, что его предельный переход -- это предельный переход. Который как раз и совпадает с оценкой верхнего предела последовательности множеств.

Честно говоря я особо не читал что тут наплели другие. Хотел закрыть тему с таким количеством постов - в основном пустопорожных. По сути необходимо определить предельное множество. Я указал топологию которая объясняет позицию Someone, с чем и я согласен. Только тут Swedka возражает, не понял чему. Объясню, что это топология Тихоновского произведения (или поточечной сходимости). Пусть имеется пространство "непрерывных" функций $X\to Y$. В нашем случае $X$ множество шаров (точнее их номеров), $Y=\{0,1\}$ с дискретными топологиями. Топология поточечной сходимости на этом пространстве есть не что иное как топология бесконечного (Тихонова) произведения X экземпляров Y, т.е топология $Y^X$. Даже на категорном уровне эта топология получается как категорное произведение, т.е. самое, что не есть естественная. Поэтому, мне не понятно, чему возражает $Swedka".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 10:34 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
ewert в сообщении #135145 писал(а):
Прежде всего: не напомнили бы, как ссылаться на конкретное сообщение в форуме? Мне казалось, что знаю, но вдруг выяснилось -- нет. Буду признателен.


Гиперссылка находится в левом верхнем углу сообщения, перед словом "Добавлено".

ewert в сообщении #135145 писал(а):
В-третьих, дело вовсе не в том, имеет ли полдень какое-то значение для некоторого шара -- главное, что он формально никак не связан с предыдущими моментами.


А я считаю, что связан. И все-таки мне хотелось бы разобраться именно с шаром с номером 1. Из условия задачи явно следует, что после того, как его извлекли из ящика, состояние этого шара больше не меняется. Никогда. Именно это обстоятельство и связывает формально все моменты времени после извлечения и позволяет нам говорить, что для этого шара они все равноценны. Полдень ничем не отличается. Если за несколько милисекунд до полудня этот шар не лежит в ящике, то и в полдень он там не окажется.

Формально можно говорить так. У нас есть объекты (шары), которые могут находиться в одном из двух состояний. В некоторые моменты времени мы меняем состояния некоторых шаров, а между двумя соседними моментами состояние шара не меняется. Таким образом, формальное определение состояния шара в момент $t$ таково: оно определяется последним сделанным над шаром действием, т.е. нужно определить максимальный момент $t_0\le t$, в который мы состояние этого шара поменяли (установили).

Если Вы не согласны с такой формализацией ситуации, то предложите свою.

Если такого максимального момента $t_0$ не существует, тогда данное определение действительно не работает, и состояние шара определить нельзя. Но в данной задаче это не так.

Можно описать то же самое и через предельные переходы. Пусть $A_t$ - множество шаров в ящике в момент времени $t$. Пусть нам известны все $A_t$ при $t<s$ и дополнительно указано, что в сам момент времени $s$ никаких действий не производилось. Как определить $A_s$ и можно ли это сделать?

Нетрудно показать, что в рамках предложенной мной формализации множество $A_s$ определено тогда и только тогда, когда верхний и нижний пределы последовательности множеств до момента $s$ совпадают. И в этом случае это множество равно этому пределу.

Но я еще раз повторяю, что в рамках моей формализации без каких-либо предельных переходов можно замечательно обойтись.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 10:37 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов, и ни один из них не может претендовать на "наибольшую естественность". Вот вам еще один "естественный подход".

Простоты ради рассмотрим правила, предложенные surfer'ом: в момент $t_n$ (т.е. за 1/n минуты до полудня) мы заменяем число n числом n+1. Кое-кто в этом случае склонен "строго логически" заключать, что в полдень ящик будет пустым. Действительно, какое бы число n мы ни рассмотрели, в момент $t_n$ оно будет из ящика вынуто и никогда до полудня в нем уже не появится, а значит, в полдень в ящике ничего не может "остаться". Логично? Логично. Но...

Что такое натуральное число? Мы ведь тут пытаемся рассуждать, основываясь на теории множеств, не так ли? А в рамках теории множеств натуральные числа традиционно определяются следующим образом: $0=\varnothing$, $1=\{0\}=\{\varnothing\}$, $2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, $3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$, ..., $n=\{0,1,2,\dots,n-1\}$, ...

Вооружившись теоретико-множественными знаниями об устройстве чисел, мы теперь понимаем, что в момент $t_n$ содержимое ящика заменяется с $\{0,1,2,\dots,n-1\}$ на $\{0,1,2,\dots,n-1,n\}$. Разве отсюда "строго логически" не следует, что в полдень мы обнаружим в ящике $\{0,1,2,3,4,\dots\}={\mathbb N}$? Разве не логично? :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
AGu писал(а):
Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов
В первоначально пустой ящик я что-то вкладываю и выкладываю. Я специально не буду говорить, что вкладываю и в каком порядке. Но обещаю, что всё, что я однажды вложил в ящик, до полудня из ящика выну. Домыслите, пожалуйста, содержимое ящика в полдень. (Не верите моим обещаньям?)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Руст писал(а):
Поэтому, мне не понятно, чему возражает $Swedka".

Насколько помню, последнее время она возражает тому, что якобы в исходной постановке литтлвудовской задачи (в изложении Коровьева) уже содержится некий предельный переход. Фактически же ничего подобного там нет -- этот предельный переход приходится домысливать. И я с ней согласен.

Против Вашего же способа домысливания мы, естественно, ничего не имеем. Я бы лишь добавил, что нет необходимости вводить характеристические функции -- то же самое получается в стандартной теоретико-множественной интерпретации.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:00 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
PAV писал(а):
А я считаю, что связан. И все-таки мне хотелось бы разобраться именно с шаром с номером 1. Из условия задачи явно следует, что после того, как его извлекли из ящика, состояние этого шара больше не меняется. Никогда. Именно это обстоятельство и связывает формально все моменты времени после извлечения и позволяет нам говорить, что для этого шара они все равноценны. Полдень ничем не отличается. Если за несколько милисекунд до полудня этот шар не лежит в ящике, то и в полдень он там не окажется.

Формально можно говорить так. У нас есть объекты (шары), которые могут находиться в одном из двух состояний. В некоторые моменты времени мы меняем состояния некоторых шаров, а между двумя соседними моментами состояние шара не меняется. Таким образом, формальное определение состояния шара в момент $t$ таково: оно определяется последним сделанным над шаром действием, т.е. нужно определить максимальный момент $t_0\le t$, в который мы состояние этого шара поменяли (установили).

Мое возражение в том что всегда существует шар над которым состояние шара не менялось, вы делаете действие с шаром, устанавливаете момент в который поменялось состояние, а далее в силу построения натурального ряда обнаруживаете перед собой новый шар, над которым действие еще не проводилось, а если вы заявляете что можете провести действие над всеми шарами, то тут же возникает возражение что это противоречит бесконечности натурального ряда.

TOTAL писал(а):
AGu писал(а):
Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов
В первоначально пустой ящик я что-то вкладываю и выкладываю. Я специально не буду говорить, что вкладываю и в каком порядке. Но обещаю, что всё, что я однажды вложил в ящик, до полудня из ящика выну. Домыслите, пожалуйста, содержимое ящика. (Не верите моим обещаньям?)

Не верим. Вы можете обещать только что выложите до полудня каждую вещь что положили в ящик, но Вы не можете одним махом вложить и выложить "всё".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
surfer, возражение я не принимаю. Формально нам никто не мешает в некоторый момент положить в ящик все шары или достать их оттуда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:08 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
TOTAL писал(а):
AGu писал(а):
Ребят, зря спорим, ей-богу. Полуденное содержимое ящика можно домысливать массой разных способов
В первоначально пустой ящик я что-то вкладываю и выкладываю. Я специально не буду говорить, что вкладываю и в каком порядке. Но обещаю, что всё, что я однажды вложил в ящик, до полудня из ящика выну. Домыслите, пожалуйста, содержимое ящика в полдень. (Не верите моим обещаньям?)

Разве эта новая игра что-то меняет? Как я считал, что домысливать можно массой разных способов, так и считаю. "Строго логически" состояние системы в предельный момент времени не вычислить: это состояние правилами игры не определено. Разнообразные аргументы уже приводились (и не только мной). Мне не хочется повторяться, но... Вот уже звучавший аналог: имеется функция $f:[0,1)\to{\mathbb R}$, причем $f(t)=0$ для всех $t<1$, домыслите значение $f(1)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5494
Нов-ск
surfer писал(а):
Мое возражение в том что всегда существует шар над которым состояние шара не менялось, вы делаете действие с шаром, устанавливаете момент в который поменялось состояние, а далее в силу построения натурального ряда обнаруживаете перед собой новый шар, над которым действие еще не проводилось, а если вы заявляете что можете провести действие над всеми шарами, то тут же возникает возражение что это противоречит бесконечности натурального ряда.
Ваше возражение состоит в том, что Вы считаете невозможным установить взаимно однозначное соответствие между целыми и четными числами. У Вас просто времени не хватит, ведь чисел бесконечно много.

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

AGu писал(а):
Вот уже звучавший аналог: имеется функция $f:[0,1)\to{\mathbb R}$, причем $f(t)=0$ для всех $t<1$, домыслите значение $f(1)$.
Если Вы считаете это аналогом, то верю, что домыслить Вы сможете что угодно до чего угодно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PAV писал(а):
Гиперссылка находится в левом верхнем углу сообщения, перед словом "Добавлено".

Спасибо. Такая маленькая кнопочка, что и не разглядишь.

PAV писал(а):
Полдень ничем не отличается. Если за несколько милисекунд до полудня этот шар не лежит в ящике, то и в полдень он там не окажется.

Почему?!! С какой стати его там не окажется? -- только по каким-либо соображениям непрерывности. Но это и есть предельный переход. А уж какими словами его оформлять -- дело восемнадцатое. В частности:

PAV писал(а):
Таким образом, формальное определение состояния шара в момент $t$ таково: оно определяется последним сделанным над шаром действием, т.е. нужно определить максимальный момент $t_0\le t$, в который мы состояние этого шара поменяли (установили).

Т.е. ещё более формально: состояние шаров в полдень определено, если ($\forall$ шара $i$) $\exists$ такой момент $n$, что ($\forall$ момента $k>n$) состояние этого шара $x_i(k)$ уже не меняется. Это -- предельный переход. Кстати, совпадающий с Руст'овским.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2008, 11:18 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
AGu, возьмите произвольный момент времени после того, как был вынут первый шар, но до того, как наступил полдень. Из какого условия задачи Вы делаете вывод о том, что в этот момент данный шар не лежит в ящике?

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

ewert, Вам тот же вопрос, что и AGu. Какое соображение непрерывности заставляет нас сделать вывод о том, что за несколько милисекунд до полудня первый шар не лежит в ящике?

Вы постоянно пытаетесь описать состояние всех шаров вместе. Дайте, пожалуйста, формальное определение состояния одного шара в один заданный момент времени. Тогда и посмотрим, где предельный переход.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 522 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group