В защиту Литлвуда

[Brukvalub]

А я давно подозревал, что

TOTAL в сообщении #135018 писал(а):

Литлвуд - тролль, а shwedka ему помогает.

Все, сейчас я за них всерьез возьмусь и освобожу форум от этих троллей!!!

[Someone]

AGu писал(а):

Увы, похоже, что Лукомор даже не пытается вникнуть в наши разъяснения. Так что я, пожалуй, тоже буду игнорировать его высказывания. В отместку. :)

Вы только что заметили? Его только силовыми методами можно заставить во что-то вникнуть и попытаться вразумительно ответить (или признать, что ответить не может). Сценарий у него, видимо, отработан.

AGu писал(а):

PAV писал(а):

мы обсуждаем задачу, в которой используются классические натуральные числа, удовлетворяющие аксиомам Пеано.

Да, но в радикальном нестандартном анализе нет "неклассических" натуральных чисел, и аксиомы Пеано там не нарушаются. :)

Собственно говоря, нестандартный анализ не нужен. Достаточно взять нестандартную модель аксиоматики Пеано. Они существуют, и даже несчётные. С точки зрения "практической", разницы между ними нет, потому что все доказуемые утверждения никак от конкретной модели не зависят. В частности, "бесконечные натуральные числа" мы можем определить только средствами метатеории, а в самой арифметике они никак не выделены и неоличимы от "конечных".

AGu писал(а):

Someone писал(а):

AGu в сообщении #134932 писал(а):

это -- вопрос вкуса

Ни в малейшей степени. В противном случае Вам придётся указать конкретный номер шара, оставшегося в ящике.

Вы по какой-то причине настаиваете на непрерывности именно функции $A(t)$. Как я уже говорил, мне она тоже кажется естественной, но я не разделяю Вашу категоричность. Почему бы, например, не положить $A(t_0)={\mathbb N}$?

Я не согласен. Дело в том, что для того, чтобы определить множество, мы должны (любым способом) указать все его элементы. В данной задаче "кандидатами" в элементы являются шары с написанными на них натуральными числами. Состояние каждого конкретного шара с номером $n$ определяется в момент времени "$\frac 1n$ часть минуты до полудня", когда определяется, что этот шар не принадлежит рассматриваемому множеству, и после этого состояние шара уже не меняется. До полудня это обстоятельство выясняется в отношении всех шаров, которые могли бы оказаться в ящике. В полдень становится известным, что ни один шар не находится в ящике. Поэтому ящик пуст. Никакие пределы тут ни при чём, ни верхние, ни нижние.
Поскольку задача относится к теории множеств, следует придерживаться правил теории множеств, и всякие рассуждения о пределах и росте количества шаров в ящике - не более чем словоблудие. Ведь ни у кого не вызывает возражения, что если положить в ящик сразу все шары, а потом их по одному вынимать, то ни одного шара в ящике не останется, поскольку вынимаем все. А в этом случае в любой момент времени в процессе вынимания шаров в ящике больше, чем в задаче Литлвуда.

Добавлено спустя 4 минуты 23 секунды:

shwedka писал(а):

ewert
Те же сомнения мучали меня несколько месяцев назад, когда тема только началась. Мне объяснили, что нужно понимать под состоянием в полдень liminf или limsup множеств шариков в предшествующие полудню моменты времвни. На мой жалкий писк, что таковое в условиях задачи отсуствует, так что это додумывать нужно, меня затоптали на предмет того, что и так все ясно. Поскольку я не спорщица, возникать не стала, но оскомина осталась.

Извините, пожалуйста, если у Вас от прошлого обсуждения такое осталось. Посмотрите, пожалуйста на задачу не с точки зрения какихто пределов, а с точки зрения теории множеств. Поскольку речь идёт о множествах, а множества определяются их элементами.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

Лукомор писал(а):

PAV в сообщении #134953 писал(а):

Лукомор, напишите общественности подробно, что Вы вынесли для себя из прошедшего обсуждения и какова сейчас Ваша позиция по данному вопросу.

Это была разведка боем....
Впечатление от форума самое приятное, тяжело с вами бороться!
Спасибо всем без исключения участникам обсуждения за проявленное терпение и снисходительность к непрофессионалу.

Сам признался. Довели.

[ewert]

Someone писал(а):

В полдень становится известным, что ни один шар не находится в ящике.

В полдень ничего не станет известным. Ибо полудня никогда не наступит в рамках построения.

Вы привели очень интересное сравнение:

Цитата:

Ведь ни у кого не вызывает возражения, что если положить в ящик сразу все шары, а потом их по одному вынимать, то ни одного шара в ящике не останется, поскольку вынимаем все.

Да, не вызывает. А почему? Потому, что в этом примере искомое множество есть пересечение некоторого набора множеств. В то время как в задаче Литтлвуда оно определяется как комбинация последовательных объединений и разностей (ну или объединений и пересечений -- по вкусу).

В чём принципиальная разница? Пересечения между собой ассоциативны, различные же операции -- нет. Поэтому в Вашем примере результат действительно очевиден, а вот в примере Литтлвуда -- заранее совсем нет (ввиду того, что количество операций бесконечно). Его ещё следует корректно определить.

И только если

Цитата:

$$A=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k\text{,}$$

, появляется некоторая определённость.

Это я процитировал сообщение тов. Someone от "Апр 28, 2008 02:25:03". Он почему-то не усмотрел там никакого предельного перехода, посчитав построенное множество "интуитивно очевидным". Хотя очевидно тут только одно: коль уж скоро доказана пустота верхнего предела, то он автоматически совпадает с нижним.

[PAV]

ewert в сообщении #135035 писал(а):

В полдень ничего не станет известным. Ибо полудня никогда не наступит в рамках построения.

Не согласен. Следует ли из условий задачи, что шар с номером 1 в полдень не будет в ящике?

[shwedka]

Someone

Цитата:

Посмотрите, пожалуйста на задачу не с точки зрения какихто пределов, а с точки зрения теории множеств. Поскольку речь идёт о множествах, а множества определяются их элементами.

Это я, конечно, понимаю. Но вот какая операция с множествами отвечает
вопросу -- это не автоматично и нужно додумывать. в этом я солидарна с ewert

[ewert]

PAV писал(а):

ewert в сообщении #135035 писал(а):

В полдень ничего не станет известным. Ибо полудня никогда не наступит в рамках построения.

Не согласен. Следует ли из условий задачи, что шар с номером 1 в полдень не будет в ящике?

Не следует. Как и не следует противоположного. Поскольку состояние в полдень в рассматриваемом построении вообще не участвует.

До тех пор, пока мы не определили, что мы под этим понимаем.

[PAV]

shwedka в сообщении #135037 писал(а):

Но вот какая операция с множествами отвечает
вопросу -- это не автоматично и нужно додумывать

Не согласен. Все определено однозначно. Нет никаких предельных переходов: обычная разность между множествами шаров, которые положили в ящик, и которые оттуда успели вынуть. Вот если бы один и тот же шар клали в ящик и извлекали бы оттуда многократно, тогда да, предельный переход возникал бы. Собственно, тогда бы действительно положение шара в полдень могло бы быть не определено в принципе. Но так как однажды извлеченный шар больше никогда в ящике не окажется, то в полдень мы его состояние также знаем, поэтому все очевидно.

Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды:

ewert в сообщении #135038 писал(а):

Не следует. Как и не следует противоположного.

А если дополнить задачу словами "шар извлекаем из ящика и больше к нему никогда не прикасаемся", тогда будет следовать?

[ewert]

PAV писал(а):

А если дополнить задачу словами "шар извлекаем из ящика и больше к нему никогда не прикасаемся", тогда будет следовать?

А эти слова в условии и без того подразумеваются. Не в этом пафос, а в бесконечности количества теоретико-множественных операций в рассматриваемой задаче. А бесконечность к-ва операций всегда чревата неожиданностями.

Вот аналогия (извините, если покажется вульгарной): не будь этой проблемы, разве кому-нибудь пришло бы в голову возиться с той же теорией рядов (числовых -- бог даже с ними, с функциональными)? Ведь для знакоположительных рядов всё в общем-то ясно. Чего ещё желать, да?

[PAV]

ewert в сообщении #135041 писал(а):

А эти слова в условии и без того подразумеваются.

Тогда я не понимаю Вашу позицию. Шар в определенный момент положили в ящик. Затем его оттуда достали. Больше к нему не прикасались. И отсюда явно не следует, что во все последующие моменты он не лежит в ящике?

Неужели это так заразно

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Достаточно взять нестандартную модель аксиоматики Пеано. Они существуют, и даже несчётные. С точки зрения "практической", разницы между ними нет, потому что все доказуемые утверждения никак от конкретной модели не зависят.

Если ограничиваться рамками классического исчисления предикатов первого порядка, то да. Но, вообще говоря, мы вроде как не обязаны это делать

[ewert]

PAV писал(а):

ewert в сообщении #135041 писал(а):

А эти слова в условии и без того подразумеваются.

Тогда я не понимаю Вашу позицию. Шар в определенный момент положили в ящик. Затем его оттуда достали. Больше к нему не прикасались. И отсюда явно не следует, что во все последующие моменты он не лежит в ящике?

Во все последующие -- безусловно. Но не в предельный. Ибо то, что мы понимаем под состоянием в предельный момент, изначально не определено.

(На всякий случай: не неопределённо, а именно не определено.)

[Руст]

Я согласен с Someone. Можно представить что места куда кладут шары так же занумеровали слева направо с 1 до бесконечности. Справо кладём по 10 шаров (или все сразу как сказал Someone) слева убираем по 1 шару. К полудню все места свободны. Т.е. ничего предъявить или пустое множество.
По сути оставшееся шары это занятые места. Другое дело, если бы мы клали справо 10 и отнимали справо. Тогда бы остались все шары не кратные 10.

[ewert]

Руст писал(а):

Я согласен с Someone. Можно представить что места куда кладут шары так же занумеровали слева направо с 1 до бесконечности. Справо кладём по 10 шаров (или все сразу как сказал Someone) слева убираем по 1 шару. К полудню все места свободны. Т.е. ничего предъявить или пустое множество.
По сути оставшееся шары это занятые места. Другое дело, если бы мы клали справо 10 и отнимали справо. Тогда бы остались все шары не кратные 10.

Это и так всем понятно, можно было и не раскладывать по ячейкам. Вы формализуйте эту выкладку. Т.е. докажите формально, что результатом будет именно пустое множество.

Только учтите, что изначально произвольные наборы операций над бесконечными наборами множеств не определены.

[Руст]

ewert писал(а):

Это и так всем понятно, можно было и не раскладывать по ячейкам. Вы формализуйте эту выкладку. Т.е. докажите формально, что результатом будет именно пустое множество.

Только учтите, что изначально произвольные наборы операций над бесконечными наборами множеств не определены.

Формализация как раз состоит из определения множества, которое определяется элементами. В нашем случае все подмножества определяются непустыми местами шаров (пустое место не принадлежит множеству). В итоге получим, что все места пусты, а значит пустое множество в остатке.

[ewert]

Руст писал(а):

Формализация как раз состоит из определения множества, которое определяется элементами. В нашем случае все подмножества определяются непустыми местами шаров (пустое место не принадлежит множеству). В итоге получим, что все места пусты, а значит пустое множество в остатке.

Я не понимаю, что такое пустое место, но это не имеет значения.

Докажите, что то или иное место в предельном множестве не пусто -- обязательно учитывая, что само это предельное множество пока ещё не определено.

А если Вы считаете, что определено, так предъявите определение.