счетность множества действительных чисел

[PAV]

ZVS писал(а):

существует и счетная последовательность пределов

У счетного множества может существовать более чем счетная последовательность пределов. Об этом Вам уже разными способами твердят все. Что дальше?

[Narn]

PAV писал(а):

ZVS писал(а):

существует и счетная последовательность пределов

У счетного множества может существовать более чем счетная последовательность пределов. Об этом Вам уже разными способами твердят все. Что дальше?

Маленькое занудное замечание - множество предельных точек, а не последовательность пределов. Последовательность - это функция, определенная на натуральных числах.

[ewert]

Narn писал(а):

PAV писал(а):

ZVS писал(а):

существует и счетная последовательность пределов

У счетного множества может существовать более чем счетная последовательность пределов. Об этом Вам уже разными способами твердят все. Что дальше?

Маленькое занудное замечание - множество предельных точек, а не последовательность пределов. Последовательность - это функция, определенная на натуральных числах.

дык. Кому PAV отвечает-то? Дурной пример заразителен.

[MaximKat]

Captious писал(а):

Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей, "новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!

Ну да. Получили противоречие, значит наше предположение неверно. Называется доказательство от противного
А в чем проблема-то?

Sla_sh писал(а):

Суть в том, что число, которое не должно относиться к множеству чисел, согласно доказательству относится к этому множеству согласно алгоритму построения чисел множества....такие дела

Опять таки, называется доказательство от противного.

[Someone]

Captious писал(а):

ZVS писал(а):

Всё логично вроде бы,НО изменения невозможны согласно вневременности обьектов анализа!

Встречал я аналогичные рассуждения о том, что в математике якобы нет "времени"... А как же тогда быть с известными всем из матанализа переменными величинами? Они-то уж, точно изменяются и даже порой "стремятся" к каким-то пределам. Я не прав? :wink:

Someone писал(а):

Не правы. Они ни к чему не стремятся и никак не изменяются. Это не более чем исторически сложившиеся наглядные описания. [...]

Возьмем стандартное определение предела числовой последовательности. [...]
Что здесь "изменяется" и "стремится"?

$f_k$ где $k\in B_n$
То бишь, член числовой последовательности $f$.
Именно он "изменяется" и "стремится"... к пределу $l$... :wink:

Someone писал(а):

Например, пусть $n=10$ и $k=20\in B_{10}$. Значит, Вы утверждаете, что $f_{20}$ изменяется и к чему-то стремится?

Не-е... Просто в общем случае $f_{k} \neq f_{k+1}$...:wink:

Ну, если мы говорим на языке последовательностей, то $f_k$ и $f_{k+1}$ - это просто разные члены последовательности. Равны они или не равны - ни тот, ни другой не изменяется и ни к чему не стремится. Если же говорить на языке функций (отображений), то $f_k$ и $f_{k+1}$ - это просто значения функции $f$ в двух разных точках $k$ и $k+1$. Эти два значения также вполне определённые (поскольку функция $f$ и обе точки заданы), совершенно не изменяются и ни к чему не стремятся.

Когда говорят, что "члены последовательности стремятся к ...", или "последовательность стремится к ...", или "функция стремится к ...", или "значение функции стремится к ...", то это имеет вполне определённый смысл, даваемый определением предела, и вовсе не предполагается, что при этом члены последовательности, сама последовательность, функция или её значения как-то изменяются. Хотя, конечно, разные члены последовательности или значения функции в различных точках могут быть различными.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

А почему Вы вписываете ответы в свои старые сообщения? Хотите, чтобы эти ответы никто не заметил?

Просто не хочу способствовать размножению вашего флуда... :)

Someone писал(а):

Тогда лучше отыскать какие-нибудь совсем старые сообщения в забытых темах.

А у вас, "батеньки", что старое, что новое ... Ну, никакого прогресса!
Так что я и дальше не буду специально выделять для "общения" с вами отдельных постов... А может быть лучше вообще не реагировать на ваши "ремарки" :? :lol:

Да, я прав. Вы действительно хотите, чтобы Ваши ответы никто не заметил, поскольку сказать по существу Вам нечего. Поэтому Вы снова вставляете свои ответы в старые сообщения. Я Вам вот что посоветую. Здесь я случайно на Ваш ответ всё-таки наткнулся. Но у Вас есть сообщения в теме "Трёхмерное время и ММИ (Тотальный экземпляр А. Продолжение)". В неё уже неделю никто, в том числе и модераторы, не заглядывает. Выберите какое-нибудь своё сообщение на второй или третьей странице этой темы и вставляйте туда свои ответы. Крайне маловероятно, что кто-нибудь на них наткнётся, поэтому и Вы будете довольны, что на все вопросы "ответили", и остальные будут воображать, что Вы ещё над ответом "думаете", и тоже будут довольны.

Что касаетмся прогресса, то он был бы возможен, если бы я беседовал с умным и хорошо разбирающемся в обсуждаемом вопросе собеседником. Вы же повторяете всё время одни и ту же глупости, совершенно игнорируя то, что Вам пытаются объяснить. У меня уже возникло стойкое ощущение, что Вы - "тролль", то есть, умышленно повторяете чушь, находя в реакции собеседников своего рода удовольствие. Сравните, например, сообщения http://dxdy.ru/post130533.html#130533, http://dxdy.ru/post130658.html#130658, http://dxdy.ru/post130770.html#130770, http://dxdy.ru/post134083.html#134083. В них без малейших изменений повторяется одна и та же глупость про метод доказательства "от противного".

Метод доказательства "от противного" основан на логическом законе $(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$: если из высказывания $A$ следует его отрицание, то высказывание $A$ ложно.

Captious писал(а):

А теперь посмотрим одно из популярных доказательств несчетности множ-ва действительных чисел
Док-во ведется методом от противного.
Известно, что каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида
А, a1 a2 . . . an . . .
Предположим, что нам удалось каким-то образом пронумеровать все действительные числа.
Докажем, что это предположение неверно.
...
Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков
0,12121...

В этом фрагменте делается предположение $A$ (что существует нумерация множества действительных чисел) и показывается, что из него следует его отрицание, то есть, что истинно высказывание $A\Rightarrow\neg A$. Далее из двух истинных высказываний $(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$ и $A\Rightarrow\neg A$ по логическому правилу вывода, которое называется modus ponens, следует истинность высказывания $\neg A$, то есть, ложность предположения $A$. То есть, несчётность множества действительных чисел.

Если бы Вы на этом остановились, то и вопросов не было бы. Вы просто привели общеизвестное доказательство. Но Вы продолжаете:

Captious писал(а):

А теперь посмотрим на это доказ-во с другой стороны...
...
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей, "новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке!
Выходит,что никакого "нового" числа мы не нашли, а просто продвинулись по нашему "счетному списку" дальше в бесконечность...

И вот ещё раз:

Captious писал(а):

При таком "доказательстве" мы просто продвигаемся по списку все дальше и дальше в ... бесконечность...

И получилась глупость. Особенно меня интересует продвижение по списку "дальше в бесконечность". Я уже Вам об этом писал.

Снова спрашиваю. Вот пусть у нас есть список действительных чисел
0.01
0.001
0.0001
...
в котором номер $n$ соответствует числу $10^{-(n+1)}$. "Продвиньтесь", пожалуйста, по этому списку "дальше в бесконечность", чтобы в нём прявилось число 0.1, а все пронумерованные ранее числа сохранили свои номера.

Ладно, сейчас мне некогда продолжать, попозже я ещё Вам напишу. Там у Вас ещё много "замечательного" можно найти.

[Sla_sh]

PAV писал(а):

В доказательстве рассматриваются любые числа. Там нет ни единой фразы типа "будем рассматривать только числа с конечным числом отличных от нуля десятичных разрядов" или "будем рассматривать только числа с бесконечным числом десятичных разрядов". Вопрос о том, сколько в том или ином числе, фигурирующем в рассуждении, отличных от нуля десятичных разрядов вообще не ставится, это совершенно не нужно.

В доказательстве после n-того разряда каждого числа стоит троеточие. Вот я и подумал, что это означает бесконечное число разрядов.

Возвращаемся к нашим баранам. Я вот выше писал, вы не ответили:

Sla_sh писал(а):

Так, товарищ, давайте по-другому.
Вот я в первом сообщении этой темы привел алгоритм, по которому можно построить любое число из множества, рассматриваемого в доказательстве.

Вы же утверждаете, что существует число, которое можно построить по приведенному в доказательстве алгоритму, но это же число невозможно получить с помощью моего алгоритма. Я правильно понимаю?

Ответьте, пожалуйста.

[Captious]

MaximKat писал(а):

Получили противоречие, значит наше предположение неверно. Называется доказательство от противного

Ежу лысому понятно, что так оно и называется...
А предположение было в том, что мы вроде бы нашли "новое" число, которое почему-то оказалось непронумерованным, а оказалось, что оно уже давным-давно занесено в наш список ...

MaximKat писал(а):

А в чем проблема-то?

Проблема в том, что некоторые не способны прочитать больше текущей страницы...
А вообще, у "нормальных" математиков никаких проблем ни в чём и никогда не бывает!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Someone писал(а):

Ладно, сейчас мне некогда продолжать, попозже я ещё Вам напишу. Там у Вас ещё много "замечательного" можно найти.

А может быть не надо больше продолжения ваших научно-популялялярных лекций?
Всё что вы смогли сказать, уже сказали. Ничего нового мы от вас увы, не услышим.
Повторяю: ваши глюки - это исключительно ваши проблемы.
P.S. Наверное, вам лучше бы в топик "Помогите разобраться...": там уж точно помогут!..

[ewert]

Captious писал(а):

А предположение было в том, что мы вроде бы нашли "новое" число, которое почему-то оказалось непронумерованным, а оказалось, что оно уже давным-давно занесено в наш список ...

Докажите, что уже было занесено. Если речь о т.наз. "колмогоровском" доказательстве (вообще-то -- совершенно стандартном).

[Sla_sh]

MaximKat писал(а):

Sla_sh писал(а):

Суть в том, что число, которое не должно относиться к множеству чисел, согласно доказательству относится к этому множеству согласно алгоритму построения чисел множества....такие дела

Опять таки, называется доказательство от противного.

Someone писал(а):

Captious писал(а):

А теперь посмотрим одно из популярных доказательств несчетности множ-ва действительных чисел
Док-во ведется методом от противного.
Известно, что каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида
А, a1 a2 . . . an . . .
Предположим, что нам удалось каким-то образом пронумеровать все действительные числа.
Докажем, что это предположение неверно.
...
Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков
0,12121...

В этом фрагменте делается предположение $A$ (что существует нумерация множества действительных чисел) и показывается, что из него следует его отрицание, то есть, что истинно высказывание $A\Rightarrow\neg A$. Далее из двух истинных высказываний $(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$ и $A\Rightarrow\neg A$ по логическому правилу вывода, которое называется modus ponens, следует истинность высказывания $\neg A$, то есть, ложность предположения $A$. То есть, несчётность множества действительных чисел.

Товарищи, ну какое ж это доказательство от противного, если мы, построив новое число, попросту говорим, что в рассматриваемом множестве его нет.
Надо ж было исследовать этот вопрос сначала, а потом уже утверждать, что построенное число в множестве отсутствует. Разве нет?

[ewert]

Sla_sh писал(а):

Товарищи, ну какое ж это доказательство от противного, если мы, построив новое число, попросту говорим, что в рассматриваемом множестве его нет.
Надо ж было исследовать этот вопрос сначала, а потом уже утверждать, что построенное число в множестве отсутствует. Разве нет?

И вновь: докажите, что оно отсутствует.

Мы говорим, конечно, попросту -- но отнюдь не попусту.

[Sla_sh]

ewert писал(а):

Captious писал(а):

А предположение было в том, что мы вроде бы нашли "новое" число, которое почему-то оказалось непронумерованным, а оказалось, что оно уже давным-давно занесено в наш список ...

Докажите, что уже было занесено. Если речь о т.наз. "колмогоровском" доказательстве (вообще-то -- совершенно стандартном).

Ну выше ж писали:
с помощью предлагаемого Колмогоровым алгоритма построения нового числа невозможно построить число, которое не строилось бы с помощью алгоритма построения чисел исходного множества...


P.S. блин, аж грустно как-то...

[ewert]

Sla_sh писал(а):

ewert писал(а):

Captious писал(а):

А предположение было в том, что мы вроде бы нашли "новое" число, которое почему-то оказалось непронумерованным, а оказалось, что оно уже давным-давно занесено в наш список ...

Докажите, что уже было занесено. Если речь о т.наз. "колмогоровском" доказательстве (вообще-то -- совершенно стандартном).

Ну выше ж писали:
с помощью предлагаемого Колмогоровым алгоритма построения нового числа невозможно построить число, которое не строилось бы с помощью алгоритма построения чисел исходного множества...


P.S. блин, аж грустно как-то...

Действительно, грустно. Вы все квоты перепутали. Я ничего подобного не говорил. Наведите порядок, пожалуйста.

----------------------------------------------------
во, наконец-то обнаружил эти несчастные кавычки

[Sla_sh]

уже навел

ewert писал(а):

Sla_sh писал(а):

Товарищи, ну какое ж это доказательство от противного, если мы, построив новое число, попросту говорим, что в рассматриваемом множестве его нет.
Надо ж было исследовать этот вопрос сначала, а потом уже утверждать, что построенное число в множестве отсутствует. Разве нет?

И вновь: докажите, что оно отсутствует.

Я ж наоборот утверждаю, что оно присутствует...

[ewert]

Sla_sh писал(а):

Я ж наоборот утверждаю, что оно присутствует...

ну извините -- рассеянность. Естественно, я предлагал Вам (т.е. пытался предложить) доказать то, что оно присутствует.

-----------------------------------------
А навели -- недостаточно. Фраза

Цитата:

с помощью предлагаемого Колмогоровым алгоритма построения нового числа невозможно построить число, которое не строилось бы с помощью алгоритма построения чисел исходного множества...

-- совершенно определённо принадлежит не мне.

[Sla_sh]

А там перед ней написано "Ну выше ж писали:" )

Выше писал я, а не вы) И ещё кто-то писал. Наверное, товарищ Captious.

И вот именно эта фраза:

Цитата:

с помощью предлагаемого Колмогоровым алгоритма построения нового числа невозможно построить число, которое не строилось бы с помощью алгоритма построения чисел исходного множества...

является моим доказательством того, что число присутствует в исходном множестве...