счетность множества действительных чисел

[ewert]

Captious писал(а):

На каждом шаге нашей процедуры мы заменяем цифру n-го разряда числа получившего номер n , добиваясь отличия.
Но, поскольку по самому принципу построения бесконечной десятичной дроби в каждом десятичном разряде её будут чередоваться цифры 0 . . . 9, мы просто
будем передвигаться по нашему списку, не создавая "нового числа".
Например, на первом шаге мы переходим к подмнож-ву уже занумерованных нами ( по предположению!) чисел вида 0,1... .
После второго шага переходим к подмножеству десятичных дробей вида 0,12... и т.д.
Получается, что в силу первоначального предположения о перечислении всех бесконечных десятичных дробей,
"новое число" 0, 12121... уже должно быть в нашем списке! [/b]

Утверждая -- полезно понимать, что, собственно, Вы утверждаете. А утверждаете Вы фактически следующее: любое пересечение вложенных множеств непусто. Ну так это неправда.
(Выделенные мной слова в точности означают, что это самое число есть, якобы, пересечение упомянутых выше подмножеств.)

Captious писал(а):

_____________________________________
Невооруженным глазом видно, что в этом "доказательстве" нарушается закон логического тождества. Сначала 1-1 соответствие устанавливается между "парой" и четным числом. А потом вдруг поменяли "правила игры" и "пару" как единый неделимый(!) элемент рассматривают уже как "двойку чисел" - в итоге получается, что четных чисел как бы "в два раза меньше" чем всех чисел!
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Невооружённым глазом видно, что дело здесь совсем даже не в логике. Тов. философ просто не понимает смысл понятия "равномощность". Он по наивности считает, будто множества равномощны, если любое отображение между ними есть биекция, в то время как на самом деле требуется существование хоть одной биекции.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Sla_sh писал(а):

Вы же утверждаете, что существует число, которое можно построить по приведенному в доказательстве алгоритму, но это же число невозможно получить с помощью моего алгоритма. Я правильно понимаю?

Неправильно. Утверждается, что существует просто число, которое невозможно построить по Вашему алгоритму. И его Вам уже предъявляли: ${1\over3}=0.3333333\dots$ -- какой у этого числа номер по Вашему списку?

[Brukvalub]

Sla_sh писал(а):

Вот ну никак не рифмуется, товарищ.
В бесконечности, говорите, ничего не ищем, а модель у вас называется "БЕСКОНЕЧНЫЕ десятичные дроби".

У меня модель называется "бесконечные десятичные дроби", и в этой модели тоже в бесконечности никто ничего не ищет. Тяжело разговаривать с товарищем, который и модели-то не знает, а рассуждать про нее берется. Проще всего привязаться к слову "бесконечность" в названии. Но дело в том, что бесконечность у этих дробей проявляется лишь в том, что после каждой цифры в их записи есть следующая цифра, а бесконечности ни у одной из этих дробей нет.

[Sla_sh]

Цитата:

Тяжело разговаривать с товарищем, который и модели-то не знает, а рассуждать про нее берется.

Простите, что доставляю вам неудобства своей глупостью.

Цитата:

Но дело в том, что бесконечность у этих дробей проявляется лишь в том, что после каждой цифры в их записи есть следующая цифра, а бесконечности ни у одной из этих дробей нет.

Поясните, пожалуйста, что вы понимаете под фразой "бесконечности ни у одной из этих дробей нет".

То есть, я так понимаю, моя ошибка в том, что алгоритм, приведенный мной в первом сообщении строит числа с конечным количеством цифр после запятой, а в доказательстве рассматриваются числа с бесконечным количеством?

[PAV]

Sla_sh писал(а):

а в доказательстве рассматриваются числа с бесконечным количеством?

В доказательстве рассматриваются любые числа. Там нет ни единой фразы типа "будем рассматривать только числа с конечным числом отличных от нуля десятичных разрядов" или "будем рассматривать только числа с бесконечным числом десятичных разрядов". Вопрос о том, сколько в том или ином числе, фигурирующем в рассуждении, отличных от нуля десятичных разрядов вообще не ставится, это совершенно не нужно.

[Captious]

Sla_sh писал(а):

Суть в том, что число, которое не должно относиться к множеству чисел, согласно доказательству относится к этому множеству согласно алгоритму построения чисел множества....такие дела

Воистину так! С одной стороны, надо построить число, которое однородно с теми, которые уже пронумерованы, с другой - надо показать, что его в списке нет...
Какие ухищрения для этого используют, я уже показал...
"Восторженные" вопли некоторых "нормальных" математиков и их "наставления" по изучению "матчасти" только лишний раз подтверждают сказанное мною...
Обещанное мною док-во несчетности множ-ва чисел отрезка [0,1], которое свободно от вышеуказанных ляпов, я приведу позже (когда "нормальные" математики выскажут все свои "пожелания"...):wink:
Собственно говоря, это док-во давно известно и исходит из геометрической трактовки вещественных чисел.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`

ewert писал(а):

Утверждая -- полезно понимать, что, собственно, Вы утверждаете. А утверждаете Вы фактически следующее: любое пересечение вложенных множеств непусто.

Типун вам на язык, батенька!...

ewert писал(а):

Ну так это неправда.

Воистину так - это сплошное(ваше) враньё!

ewert писал(а):

Предполагается, что все объекты пронумерованы, после чего доказывается, что не все. Это называется "доказательством от противного". Слышали о таком приёме?

Да где уж, нам...
А как насчет корректности применения этого "приема" для бесконечных совокупностей объектов?

[ewert]

Captious писал(а):

Sla_sh писал(а):

Суть в том, что число, которое не должно относиться к множеству чисел, согласно доказательству относится к этому множеству согласно алгоритму построения чисел множества....такие дела

Воистину так! С одной стороны, надо построить число, которое однородно с теми, которые уже пронумерованы, с другой - надо показать, что его в списке нет...

Совершенно верно. Предполагается, что все объекты пронумерованы, после чего доказывается, что не все. Это называется "доказательством от противного". Слышали о таком приёме?

Captious писал(а):

Собственно говоря, это док-во давно известно и исходит из геометрической трактовки вещественных чисел.

"Трактовка" в переводе на русский означает "интерпретация". Прежде чем что-то (в данном случае числа) интерпретировать, это что-то следует определить. Не забудьте об этом, прежде чем приводить доказательство.

[ZVS]

ewert писал(а):

ZVS писал(а):

P.S.Так если нет никаких шагов и УЖЕ существует бесконечная последовательность пронумерованных действительных чисел,откуда возьмется хотя бы еще одно?

Поздравляю, Вы доказали, что числа 2 не существует, и теперь Вам на любом экзамене ничего не грозит.

Действительно, рассмотрим последовательность:

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....

Мы её уже пронумеровали -- самим выписыванием:
$a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=4,\ a_4=5,\ a_5=6,\ a_6=7,\ a_7=8$ и т.д.
Господи, а где же двойка-то? откуда она возьмётся-то? мы ведь уже всё пронумеровали?

Однако.
Вы что собственно пронумеровали ,то и получили.Или хотели все действительные числа пронумеровать, а не вышло?Спросили бы тогда, как надо.
Тщательней надо.
Итак,еще раз для тех ,кто что то " подозревает, но смутно."
В наличии последовательность действий:
Смотрим на счетную последовательность, а ПОТОМ всегда найдется число, которого в ней нет.Кто бы спорил.
Но в некоторых случаях почемуто используется другой подход.
Пойдем простым логическим путем.По следам классиков.
Пусть наша счетная последовательность ,делит отрезок на части,на 2,3,4 и т.д.Соответственно, отображая данные точки-действительные числа на натуральный ряд. Достаточно, что размер "сетки "накинутой на отрезок, может уменьшаться до бесконечности.Тогда,предел размера отрезков стремится к нулю, и любое рассмотренное действительное число, окажется как угодно близко к уже посчитанным числам.
Ничего не напоминает?
Кто готов заявить, что бесконечное приближение не переходит в пределе в равенство?И какой подход более верный?
Для существования предела, наличие отличия , причем для любого члена последовательности уже не важно.Ведь в бесконечности всё сойдется..
Где то так.

[PAV]

ZVS писал(а):

Тогда,предел размера отрезков стремится к нулю, и любое рассмотренное действительное число, окажется как угодно близко к уже посчитанным числам.

С этим никто не спорит. На отрезке (да и на прямой) можно выделить счетное всюду плотное множество. Но ниоткуда не следует, что если мы имеем счетное множество $A$, всюду плотное в множестве $B$, то множество $B$ также счетное. Это просто неверно.

[ewert]

ZVS писал(а):

Пусть наша счетная последовательность ,делит отрезок на части,на 2,3,4 и т.д.Соответственно, отображая данные точки-действительные числа на натуральный ряд. Достаточно, что размер "сетки "накинутой на отрезок, может уменьшаться до бесконечности.Тогда,предел размера отрезков стремится к нулю, и любое рассмотренное действительное число, окажется как угодно близко к уже посчитанным числам.
Ничего не напоминает?

Строго говоря -- решительно ничего не напоминает. Совершенно непонятно, что Вы пытаетесь утверждать.

Смутно можно предположить, что Вы пытаетесь построить для множества вещественных чисел некоторое счётное всюду плотное подмножество. Ну, построили; и что? -- это ровным счётом ничего не говорит о мощности исходного множества. Лишь о его сепарабельности.

[ZVS]

PAV писал(а):

ZVS писал(а):

Тогда,предел размера отрезков стремится к нулю, и любое рассмотренное действительное число, окажется как угодно близко к уже посчитанным числам.

С этим никто не спорит. На отрезке (да и на прямой) можно выделить счетное всюду плотное множество. Но ниоткуда не следует, что если мы имеем счетное множество $A$, всюду плотное в множестве $B$, то множество $B$ также счетное. Это просто неверно.

И тогда можно продолжить, что из как угодно малой разности, между любым действительным числом и последовательностью приближений к нему,существования предела данной бесконечной последовательности не следует?

[PAV]

ZVS писал(а):

И тогда можно продолжить, что из как угодно малой разности, между любым действительным числом и последовательностью приближений к нему,существования предела данной бесконечной последовательности не следует?

Я не понимаю смысла этой последовательности слов. Переформулируйте аккуратнее, пожалуйста.

[ewert]

ZVS писал(а):

И тогда можно продолжить, что из как угодно малой разности, между любым действительным числом и последовательностью приближений к нему,существования предела данной бесконечной последовательности не следует?

Из того, что это действительное число является пределом данной последовательности (а Вы сказали именно это) -- существование предела, безусловно следует.

Ну и что из этого следует?

[ZVS]

PAV писал(а):

ZVS писал(а):

И тогда можно продолжить, что из как угодно малой разности, между любым действительным числом и последовательностью приближений к нему,существования предела данной бесконечной последовательности не следует?

Я не понимаю смысла этой последовательности слов. Переформулируйте аккуратнее, пожалуйста.

Подобное непонимание символизирует цепь Маркова.Помним только последний пост?
Так вот, для каждого действительного числа на данном отрезке(см.выше)существует счетная последовательность действительных чисел, как угодно близких к данному.Тогда существует предел этой бесконечной последовательности, равный данному действительному числу.И какое бы мы число не рассматривали, предел будет существовать и для него.Существует предел ,существует и счетная последовательность пределов.
В чём я не прав?

[ewert]

ZVS писал(а):

PAV писал(а):

ZVS писал(а):

И тогда можно продолжить, что из как угодно малой разности, между любым действительным числом и последовательностью приближений к нему,существования предела данной бесконечной последовательности не следует?

Я не понимаю смысла этой последовательности слов. Переформулируйте аккуратнее, пожалуйста.

Подобное непонимание символизирует цепь Маркова.Помним только последний пост?

В подобных случаях говорят: "Нет чтоб сразу в морду, а то всё намёками..."

ZVS писал(а):

Так вот, для каждого действительного числа на данном отрезке(см.выше)существует счетная последовательность действительных чисел, как угодно близких к данному.

Безусловно, существует -- например, стационарная последовательность, в которой каждый элемент является "данным" числом.

ZVS писал(а):

Тогда существует предел этой бесконечной последовательности, равный данному действительному числу.И какое бы мы число не рассматривали, предел будет существовать и для него.Существует предел ,существует и счетная последовательность пределов.
В чём я не прав?

Что такое "счётная последовательность пределов"? что за последовательность?

Впрочем, предположим, Вы правы (приходится предполагать, т.к. текст непонятен).

Что из этого следует?

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Существует предел ,существует и счетная последовательность пределов.
В чём я не прав?

Вы неправы в том, что не учитываете следующего факта: нельзя построить счетный набор последовательностей, пределами которых будут все действительные числа. Значит, предложенными наборами последовательностей нельзя осуществить счетную нумерацию действит. чисел. А если это все-таки можно сделать, то укажите точно - как.