счетность множества действительных чисел

[ZVS]

PAV писал(а):

Sla_sh писал(а):

Так вот, мне кажется, что приведенный в первом посте темы алгоритм все-таки ставит в соответствие любому числу из множества, рассматриваемого в доказательстве теоремы, определенное натуральное число. Я не прав?

Не правы. Вы сумеете занумеровать только конечные десятичные дроби (или, более точно, дроби, в которых начиная с некоторой позиции все нули). Бесконечные - не сумеете.

Что может быть неясного в приведенном доказательстве? Какое бы счетное множество десятичных дробей мы ни взяли, всегда можно построить такую, которой в указанном списке нет.

Если мы что то "строим", а ПОТОМ смотрим ,чего там не хватает,то тем самым очевидно учитываем необходимость определенной последовательности ДЕЙСТВИЙ!Я устал обьяснять очевидный факт, что последовательность действий может происходить только во ВРЕМЕНИ!А вся теория анализа подводится под основания абсолютности аксиоматики.И подразумевается ,что все возможные следствия, УЖЕ существуют.
То есть, либо мы не можем строить ничего вообще,а лишь рассматривать данные выводы,как имеющее место быть,согласно отрицанию в матанализе процесса появления каких либо новых сущностей, не предполагаемых изначально.Мы можем только "открыть" их, но никак не создавать.
Впрочем, это выше понимания определенной группы персонажей..

[ewert]

ZVS писал(а):

Если мы что то "строим", а ПОТОМ смотрим ,чего там не хватает,то тем самым очевидно учитываем необходимость определенной последовательности ДЕЙСТВИЙ!

Боюсь, что Вы путаете две совершенно разные вещи: последовательность действий, необходимых для построения конкретного объекта -- и ту совокупность объектов, которые могут получаться после реализации всех таких последовательностей.

Здесь речь шла об одном из стандартных определений вещественного числа -- как бесконечной десятичной дроби. Определение вполне конструктивно и к тому же прекрасно согласуется с вычислительной практикой (когда реально нам доступны лишь приближения к этим числам, но зато, в принципе, с любой мыслимой точностью). При этом так уж выходит, что каждое конкретное число требует счётного к-ва действий для своего построения, а вот их совокупность -- увы, счётному описанию не поддаётся. Ну что ж тут поделаешь; стал быть -- не поддаётся.

А с какой стати, собственно, она должна поддаваться-то?

[Someone]

ZVS писал(а):

То есть, либо мы не можем строить ничего вообще,а лишь рассматривать данные выводы,как имеющее место быть,согласно отрицанию в матанализе процесса появления каких либо новых сущностей, не предполагаемых изначально.Мы можем только "открыть" их, но никак не создавать.

Разжуйте пожалуйста, как это опровергает несчётность множества действительных чисел.

[Captious]

Sla_sh писал(а):

... откровенно говоря, меня это доказательство[несчетности множ-ва (0,1) "диагональным методом" Кантора ] приводит лишь к абсурдным умозаключениям...

А нельзя ли для конкретности привести хотя бы один из этих "абсурдов"?...
----------------------------------------------------

ZVS писал(а):

Я устал обьяснять очевидный факт, что последовательность действий может происходить только во ВРЕМЕНИ! А вся теория анализа подводится под основания абсолютности аксиоматики.И подразумевается ,что все возможные следствия, УЖЕ существуют.

Вообще-то, отвлечение от ограничений, свойственных нашим реальным пространственно-временным возможностям по выделению и различению совокупностей объектов - это один из самых распространенных приемов в математике.
В разбираемом здесь док-ве абстрагируются не только от невозможности реально обозреть все члены каждой бесконечной дроби из множ-ва (0,1), но и от невозможности обозреть зараз весь "список", таких дробей, то бишь, прямо используется т.наз. абстракция актуальной (завершенной) бесконечности...

ZVS писал(а):

То есть, либо мы не можем строить ничего вообще,а лишь рассматривать данные выводы,как имеющее место быть,согласно отрицанию в матанализе процесса появления каких-либо новых сущностей, не предполагаемых изначально.Мы можем только "открыть" их, но никак не создавать.

Разумеется, создание объектов реальности сильно отличается от создания математических объектов, которые служат абстрактными моделями первых.
В некотором смысле в математике учитывают появление новых сущностей (= переход на новый качественный уровень) с помощью соответствующих изменений параметров или вида математических уравнений, поскольку, как правило, качественное изменение сопровождается и количественными изменениями...

[ZVS]

ewert писал(а):

ZVS писал(а):

Если мы что то "строим", а ПОТОМ смотрим ,чего там не хватает,то тем самым очевидно учитываем необходимость определенной последовательности ДЕЙСТВИЙ!

Боюсь, что Вы путаете две совершенно разные вещи: последовательность действий, необходимых для построения конкретного объекта -- и ту совокупность объектов, которые могут получаться после реализации всех таких последовательностей.

Вы остановились на пороге.
Как можно НАЧАТЬ неограниченную последовательность действий, то есть не имеющую конечного результата без введения понятия предельного перехода?
О корректности подобного подхода отдельная тема нужна.
Но если переход состоялся, последовательность существует и тогда она пронумеровала ВСЕ возможные числа.Вот я пытаюсь обьяснить, что рассматривание ВСЕЙ уже существующей последовательности и её же в процессе построения совершенно РАЗНЫЕ вещи.Здесь считают возможным "достичь бесконечно удаленной точки и быстро вернуться"?В процессе счета результат недостижим и некоторые тыкают в это пальцем,"забывая" что тогда и любое не посчитанное число всего лишь не посчитано,шаг-посчитали.Есть еще одно,без проблем, посчитаем и его.Что опять таки некорректно ,поскольку либо последовательность уже существует,либо признаем необходимость в анализе пошаговых ДЕЙСТВИЙ,изменяющих состояние предмета рассмотрения и отрицания вневременности,абсолютности обьектов математики.Как иначе можно "взять" число, еще не посчитанное? Либо оно уже есть-тогда мы его посчитали,либо его не было и вот появилось..
Но так оччень многое придется пересматривать,потому и включают "непонималку"..

[Brukvalub]

ZVS писал(а):

Как можно НАЧАТЬ неограниченную последовательность действий, то есть не имеющую конечного результата без введения понятия предельного перехода?

А вот так и можно. Просто начинаем, и все тут.

ZVS писал(а):

Но если переход состоялся, последовательность существует и тогда она пронумеровала ВСЕ возможные числа.

А вот никакого перехода и не нужно, так что он не состоялся.

ZVS писал(а):

Здесь считают возможным "достичь бесконечно удаленной точки и быстро вернуться"?В процессе счета результат недостижим и некоторые тыкают в это пальцем,"забывая" что тогда и любое не посчитанное число всего лишь не посчитано,шаг-посчитали

Никто никаких бесконечно удаленных точек не достигает.
Вы бы вместо того, чтобы привносить в доказательство "свое его видение", лучше бы привели здесь само доказательство и поспорили с конкретными шагами этого доказательства. А вместо этого Вы критикуете неизвестно что и непонятно по какому поводу.

[AlexNew]

ewert писал(а):

PAV писал(а):

И какой же полином будет соответствовать числу $\pi$?

Не исключено, что он имел в виду многочлены с только целыми коэффициентами. Т.е. спутал вещественные числа с алгебраическими.

разумеется числу Пи не будет соответствовать никакой полином
я не точно выразился, но если прочитаете с начала ветку то все будет понятно

разумеется вы правы (чем отличаются алгебраические числа от трансцендентных думаю знают все кто хоть немного интересовался числами)

[ewert]

ZVS писал(а):

Вот я пытаюсь обьяснить, что рассматривание ВСЕЙ уже существующей последовательности и её же в процессе построения совершенно РАЗНЫЕ вещи.

Это Вы пытаетесь объяснить разницу между потенциальной и актуальной бесконечностями. Я лично давно эту терминологию забыл за совершенной её ненужностью. Вот, в частности, почему ненужностью.

ZVS писал(а):

В процессе счета результат недостижим и некоторые тыкают в это пальцем,"забывая" что тогда и любое не посчитанное число всего лишь не посчитано,шаг-посчитали.Есть еще одно,без проблем, посчитаем и его.Что опять таки некорректно ,поскольку либо последовательность уже существует,либо признаем необходимость в анализе пошаговых ДЕЙСТВИЙ,

Ну, нравится кому-либо или не нравится, однако такая "потенциально" бесконечная последовательность действий абсолютно неизбежна, это -- объективный факт. Поскольку математика призвана обслуживать познание окружающего мира (а иначе нахрен она нужна?). И тут неизбежно возникает противоречие между бесконечностью этого мира и конечностью (в каждый данный момент) нашего мышления. Поэтому каждый нетривиальный математический объект может быть построен (в смысле вычислен) лишь за бесконечное количество операций.

Но для того, чтобы что-то считать, сначала приходится существование этого чего-то тем или иным способом постулировать. И если такое определение оказывается непротиворечивым, то все и счастливы, больше никому ничего и не надо. Вот, в частности, и вещественные числа можно вполне корректно определить как бесконечные дроби, вводя операции над ними на основе последовательности соответствующих приближений.

Такая процедура непротиворечива и прекрасно согласуется с практикой, и -- всё, этого вполне достаточно.

[Профессор Снэйп]

Всё-таки странно, что вопрос о счётности/несчётности числовой прямой возникает в этом разделе с завидной регулярностью. Его, похоже, обсуждают даже чаще, чем ВТФ

[ИСН]

Какая страна, такой и вопрос. Ещё через пару лет будут с жаром обсуждать бесконечность множества простых чисел
(оффтоп, кнчн...)

[ewert]

дело в том, что формальное определение вещественных чисел, как я понимаю, нигде систематически не проходят -- ни в школе, ни в вузах. Нет времени, поэтому это понятие принимается как "очевидное". Кроме отдельных мехматов и прочих матмехов, но ведь не все же здесь оттуда...

[ZVS]

Последовательность включающая бесконечное число членов, ВСЕГДА будет иметь противоречивые свойства при рассмотрении изнутри как отдельных членов последовательности и как ВСЯ,включающая некий предел-бесконечность.
Ситуация: основы основ, в теории пределов изначально заложены противоречия и никто не ухом не рылом.Потому как особых казусов пока не вылазит,слишком тонкая материя,а то что вылезло, то личная проблема заметившего проблему.Хотя кое-кто закончил дни в дурдоме.
После чего видимо научились обходить казусы типа парадокса Рассела,Зенона и незначительной теоремы Гёделя по кривой,это мол так,но надо работать,наука движется,проблемы есть и они решаются.Это в лучшем случае.В худшем,эти вопросы считают неприличными.Лезут ,понимаешь ,в лаптях,а мы тут уже всё посчитали,У НАС всё хорошо.И добавят мол, я с Колмогоровым за руку здоровался.
P.S.НИГДЕ нет непротиворечивой теории чисел.Есть модели, в учебниках последних лет совершенно формальные, но от этого, не исключающие теже самые проблемы.А куда бы они делись?Как только некто говорит что то, типа:" рассмотрим бесконечное множество..".Дальше можно не читать.

[ewert]

ZVS писал(а):

НИГДЕ нет непротиворечивой теории чисел.

Что называется: "Как же так -- ..па есть, а слова нет?..."

[TOTAL]

ZVS писал(а):

Последовательность включающая бесконечное число членов, ВСЕГДА будет иметь противоречивые свойства при рассмотрении изнутри как отдельных членов последовательности и как ВСЯ,включающая некий предел-бесконечность.

Конечная последовательность тоже имеет противоречивые свойства. Если очень захочется.

[ZVS]

TOTAL писал(а):

Конечная последовательность тоже имеет противоречивые свойства. Если очень захочется.

"Вот,и Вы тоже слышали.Я Вам по секрету скажу,в городе орудует шайка! "(С)
Есть только одна причина, почему до сих пор так мало недовольных создавшимся положением вещей.Дело в том, что противоречия разрешаются, если знать, что обьект изменил свойства на каком либо шаге!
Что явно никто не формулирует, но очевидно пользуется почти каждый.А потом пожимает плечали, чего мол непонятного.Здесь это так, а здесь эдак.И даже могут обьяснить почему.
Всё логично вроде бы,НО изменения невозможны согласно вневременности обьектов анализа!Все ,что есть, УЖЕ должно существовать,если мы идем от самых общих аксиом теории множеств ,рассматривая лишь свойства сответствующих аксиоматике обьектов.Вот такие прыжки с независимым видом на бесконечность и обратно, меня раздражают немного.