2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 12:57 


07/08/14
4231
В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена
$\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}$
Я так понимаю, что у тау нет размерности и это такой индикатор направления.
Дальше появляется векторная сумма $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$.
Не уловил, каким образом пришли к выводу что эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$.
Насколько я вижу $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$ - это обычное произведение вектора на скаляр, значит направление итогового вектора совпадает с $\overrightarrow{\tau}$, с чего это тангенциальное ускорение, если $\overrightarrow{\tau}$ - не тангенциальное?
Из-за того, что производная - тангенс, а при умножении гипотенузы на тангенс получается катет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
с чего это тангенциальное ускорение, если $\overrightarrow{\tau}$ - не тангенциальное?
Определение тангенциального ускорения знаете?
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$
Направление первого совпадает (собственно если умножит вектор на положительный скаляр, то получится вектор, сонаправленный исходному).
Направление второго ортогонально первому (и это по-хорошему надо бы отдельно доказывать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 13:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Странно, что ТС не наткнулся на курс, где не доказывают.

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
Из-за того, что производная - тангенс, а при умножении гипотенузы на тангенс получается катет?
Нет, у тангенса и тангенциального ускорения (и tangent bundle) параллельные этимологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 13:31 


05/09/16
12058
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена

"Тангенциальное" означает "касательное". В данном случае -- касательное к направлению скорости, то есть коллинеарное (параллельное) скорости, направленное в ту же сторону, что и скорость (ускорение) или в противоположную (замедление).

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 14:34 


07/08/14
4231
mihaild в сообщении #1337853 писал(а):
Определение тангенциального ускорения знаете?

Его вывести надо, поэтому, я так понимаю, предполагается, что не знаю ни тангенциального ни нормального.
mihaild в сообщении #1337853 писал(а):
Направление первого совпадает

Как это?
Вот это полная скорость
$\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}$
Вот это полное ускорение
$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d(v\cdot \overrightarrow{\tau})}{dt}=\frac{v d \overrightarrow{\tau}+\cdot \overrightarrow{\tau} dv }{dt}$
Как может совпадать направление полной скорости с векторной суммой двух векторов разного направления?
arseniiv в сообщении #1337855 писал(а):
Нет, у тангенса и тангенциального ускорения (и tangent bundle) параллельные этимологии.
А почему тангенциальное ускорение (касательная к кривой) равно по направлению $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$, как влияет на направление $\frac{dv}{dt}$...откуда это математически берется

-- 10.09.2018, 14:39 --

mihaild в сообщении #1337853 писал(а):
Направление второго ортогонально первому (и это по-хорошему надо бы отдельно доказывать).
Это чуть дальше доказывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
Его вывести надо
Вывести определение невозможно.
Можно только дать определение, а потом доказать, что оно эквивалентно какому-то другому (или что эту величину можно считать таким-то способом, или еще что-то аналогичное).

Известно, что если нам даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{a} = \alpha \vec{b} + \vec{c}$, где $\vec{c} \perp \vec{b}$. Вот возьмем в качества $\vec{a}$ вектор ускорения, в качестве $\vec{b}$ вектор скорости, а компоненты разложения назовем тангенциальным и нормальным ускорением.
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
Как может совпадать направление полной скорости с векторной суммой двух векторов разного направления?
Так направление скорости и не обязано совпадать с направлением ускорения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 14:44 


07/08/14
4231
mihaild в сообщении #1337881 писал(а):
Можно только дать определение, а потом доказать, что оно эквивалентно какому-то другому (или что эту величину можно считать таким-то способом, или еще что-то аналогичное).

Ааа, вон оно что, теперь понятно! Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 14:52 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
В цивилизованном виде это все делается в терминах репера Френе $\boldsymbol\tau(s)\boldsymbol n(s)\boldsymbol b(s)$, где $s$ -- натуральный параметр. Если $s=s(t)$ -- закон движения точки по траектории, то с помощью формул Френе, дифференцированием равенства $\boldsymbol v=\dot s\boldsymbol\tau$ сразу получаем
$$\boldsymbol a=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k(s)\boldsymbol n,$$
где $k> 0$ -- кривизна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 22:23 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
upgrade,
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена
$\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}$
Я так понимаю, что у тау нет размерности и это такой индикатор направления.

Да, это безразмерный единичный вектор, касательный к траектории и направлен в ту же сторону, что и вектор скорости тела.
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
Дальше появляется векторная сумма $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$.
Не уловил, каким образом пришли к выводу что эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$.

В общем случае да, не совпадают. Но здесь важно, что первое слагаемое это вектор коллинеарный $\overrightarrow{\tau}$. А что вы можете сказать о направлении второго слагаемого вектора?
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
Насколько я вижу $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$ - это обычное произведение вектора на скаляр, значит направление итогового вектора совпадает с $\overrightarrow{\tau}$

Это если этот скаляр положителен, то есть изменение модуля скорости положительно. Что это значит?
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
с чего это тангенциальное ускорение, если $\overrightarrow{\tau}$ - не тангенциальное?

Почему не тангенциальное? Вектор $\overrightarrow{\tau}$ указывает направление вектора скорости, а это касательный вектор к траектории. А касательный и тангенциальный это очень близкие понятия :)
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
Из-за того, что производная - тангенс, а при умножении гипотенузы на тангенс получается катет?

Это здесь не при чем да и неправильно. Тангенс это не есть катет делённый на гипотенузу.
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
Его вывести надо, поэтому, я так понимаю, предполагается, что не знаю ни тангенциального ни нормального.

Да, пока не вывели не знаете. Но когда получили два слагаемые, то в силу некоторых соображений можете назвать одно из них тангенциальным, а другое - нормальным ускорением.
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
Вот это полное ускорение
$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d(v\cdot \overrightarrow{\tau})}{dt}=\frac{v d \overrightarrow{\tau}+\cdot \overrightarrow{\tau} dv }{dt}$
Как может совпадать направление полной скорости с векторной суммой двух векторов разного направления?

Эта формула говорит что направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора -- суммы этих двух слагаемых векторов. Про направление вектора скорости здесь речь не идет. Кстати, а в каком случае направление вектора скорости будет совпадать с направлением вектора ускорения? А когда они будут лежать на одной прямой?
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
А почему тангенциальное ускорение (касательная к кривой) равно по направлению $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$

Немного корявенько. Почему "равно по направлению"? Оно просто равно. По определению. Потому, что этот вектор коллинеарный тангенциальному вектору $\overrightarrow{\tau}$, если так можно выразиться.
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
как влияет на направление $\frac{dv}{dt}$

Вы умножать скаляры на векторы умеете? Если да, то сами ответите.
upgrade в сообщении #1337880 писал(а):
откуда это математически берется

Вы же сами написали. Из дифференцирования произведения.

-- 10 сен 2018, 21:39 --

upgrade,
Представьте себе равномерное (с постоянным модулем скорости) движение тела по окружности. Как здесь работает формула?:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$
Куда направлены векторы $\overrightarrow{\tau}$ и $\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$ в каждый момент времени? Чему равно $\frac{dv}{dt}$? Куда направлено результирующее ускорение $\overrightarrow{a}$? Чему оно равно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение10.09.2018, 23:42 
Аватара пользователя


31/10/15
198
upgrade в сообщении #1337844 писал(а):
В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена

Это не замена. Дело в том, что задать движение материальной точки можно естественным образом, выбрав на траектории условную начальную точку и записав функцию $s(t)$ -- пройденного пути, отсчитывая его от выбранной точки, и через радиус-вектор $\vec r(t)$ (конечно, это не все способы задать движение точки). Разумеется, можно определить ещё и функцию $\vec r(s) = \vec r(t)$, которая также задаёт движение точки и неявно зависит от времени. Имеем тогда $\vec v = \dot{\vec r} = \frac {d\vec r}{ds} \frac {ds}{dt}$. Понятно, что $|d\vec r| = ds$, причём, поскольку прямую в бесконечно малой окрестности некоторой внутренней точки можно аппроксимировать касательной в этой точке, $\frac{d\vec r}{ds} = \vec \tau$, где $\vec \tau$ -- орт касательной в рассматриваемой точке. Ну и к тому же $\frac {ds}{dt} = v$ (из тех же соображений), так что по итогу имеем $\vec v = v \vec \tau$

misha.physics в сообщении #1337966 писал(а):
Представьте себе равномерное (с постоянным модулем скорости) движение тела по окружности. Как здесь работает формула?:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$
Куда направлены векторы $\overrightarrow{\tau}$ и $\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$ в каждый момент времени? Чему равно $\frac{dv}{dt}$? Куда направлено результирующее ускорение $\overrightarrow{a}$? Чему оно равно?


А потом, для прояснения новых терминов, рассмотрите чуть более сложные движения:

1) То же движение по окружности, но теперь $v = Ct$, где $C =\operatorname{const}$. Что изменилось? Почему?

2) Точка движется в плоскости $xOy$ вдоль кривой $y = Cx^2$, где $C =\operatorname{const}$, с постоянной скоростью $v$. Найти модуль полного ускорения в $x = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение11.09.2018, 10:53 


07/08/14
4231
misha.physics
SNet
Практически все ответы на Ваши вопросы содержатся вот тут (с моей т.з., конечно)
mihaild в сообщении #1337881 писал(а):
Известно, что если нам даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{a} = \alpha \vec{b} + \vec{c}$, где $\vec{c} \perp \vec{b}$.

SNet в сообщении #1337985 писал(а):
Понятно, что $|d\vec r| = ds$, причём, поскольку прямую в бесконечно малой окрестности...
К сожалению, предполагается, что бесконечно-малые и окрестности покамест неизвестны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение11.09.2018, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
upgrade в сообщении #1338062 писал(а):
К сожалению, предполагается, что бесконечно-малые и окрестности покамест неизвестны.

А как же вы производные тогда берёте?

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение11.09.2018, 12:14 
Аватара пользователя


31/10/15
198
SNet в сообщении #1337985 писал(а):
Понятно, что $|d\vec r| = ds$, причём, поскольку прямую

Прошу прощения, я имел ввиду кривую.

-- 11.09.2018, 12:20 --

upgrade в сообщении #1338062 писал(а):
Практически все ответы на Ваши вопросы содержатся вот тут (с моей т.з., конечно)

Ну вы ответьте. Если сможете, то достоверно может быть констатировано понимание. А то зачастую ссылка на утверждение кажется тривиально доказывающей утверждение, а как пробуешь всё сделать аккуратно, обнаруживаешь: не всё так гладко.

upgrade в сообщении #1338062 писал(а):
К сожалению, предполагается, что бесконечно-малые и окрестности покамест неизвестны.


То есть вам даже не дали определение скорости? Ведь $\vec v = \frac {d\vec r}{dt}$. Тогда говорить об ускорении вообще рано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение11.09.2018, 14:10 


07/08/14
4231
Munin в сообщении #1338077 писал(а):
А как же вы производные тогда берёте?
По формулам (формулы постулированы)
SNet в сообщении #1338080 писал(а):
То есть вам даже не дали определение скорости? Ведь $\vec v = \frac {d\vec r}{dt}$.

Это мгновенная скорость. Мгновенная скорость вводится через среднюю на интервале, который затем делают маленьким, но пока еще не объясняют что это пределы, бесконечно малые и т.п. - просто $d$ и всё.

-- 11.09.2018, 14:20 --

SNet в сообщении #1337985 писал(а):
Что изменилось? Почему?

Ускорение равно нулю, потому что производная константы равна нулю.
SNet в сообщении #1337985 писал(а):
Найти модуль полного ускорения в $x = 0$.

$2C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Единичный вектор в кинематике.
Сообщение11.09.2018, 15:06 
Аватара пользователя


11/12/16
13850
уездный город Н
upgrade в сообщении #1338107 писал(а):
По формулам (формулы постулированы)

Так-с. Где постулированы? Издание, страница.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 125 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: reterty


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group