Единичный вектор в кинематике.

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1338351 писал(а):

Если вы видите просто траекторию, то, вообще говоря, вы не знаете почти ничего о скорости, а потому и об ускорении.

Если по осям метры и секунды знаем.

-- 12.09.2018, 14:42 --

EUgeneUS в сообщении #1338354 писал(а):

Нельзя.
Пионеры так не поступают

А я всегда так делал, когда решал дифференциальные уравнения..и всё хорошо.

[realeugene]

upgrade в сообщении #1338355 писал(а):

Если по осям метры и секунды знаем.

Напишите определение понятия "траектория".
Всегда нужно отталкиваться от определений.

[upgrade]

realeugene в сообщении #1338357 писал(а):

Напишите определение понятия "траектория".

Линия перемещения точки в пространстве в метрах.

[realeugene]

upgrade в сообщении #1338359 писал(а):

Линия перемещения точки в пространстве в метрах.

Не понял ваше определение. Можете написать подробнее?

[wrest]

upgrade в сообщении #1338339 писал(а):

Или дифференциал от скалярных величин - не тоже самое, что от векторных...

По принципу (линейная часть приращения) похоже, но не то же настолько же, насколько скаляр не то же что вектор.
Вы уверены, что хотите в это вникнуть? Я бы тогда посоветовал сделать новую тему, типа "Дифференциал и производная векторной функции" и изложить там чего вы понимаете и чего нет.

-- 12.09.2018, 14:55 --

upgrade в сообщении #1338350 писал(а):

Предположим мне неизвестно, что кидается камень или еще что-либо, а я вижу просто график - везде рисуем стрелки , а тут - не рисуем...

Если у вас есть только траектория, то вы сможете построить касательную в какой-то точке в ней и знать, что скорость в ней направлена коллинеарно этой касательной (но не будете знать в какую сторону). Построив перпендикуляр к касательной, вы сможете определить направление нормального ускорения (оно всегда будет направлено "внутрь" закругления, независимо от знака скорости). Понятно, что абсолютные величины по такому графику не посчитаешь, если только на нём не размечены секунды (на самой траектории). Соответственно, направление полного ускорения по данной траектории без привязки ко времени тоже определить нельзя (можно только сказать что оно будет направлено "внутрь" закругления).

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1338355 писал(а):

Если по осям метры и секунды знаем.

Ну вот, вы путаете график движения (мировую линию) и траекторию. У wrest траектория. Когда у вас «по осям метры и секунды», картинка должна быть для этого случая уже трёхмерной.

upgrade в сообщении #1338355 писал(а):

А я всегда так делал, когда решал дифференциальные уравнения..и всё хорошо.

У подобных фокусов при решении дифуров есть обоснования, сами собой они магическим образом работать не должны.

[upgrade]

В общем я так понимаю есть небольшое упущение (видимо у меня): в системах отсчета не принято обозначать в качестве отдельного измерения направление тех же векторов, метры с секундами и т.п. по осям обозначили, а ось (измерение) для направления толи не смогли толи забыли, приходится дорисовывать стрелочками.

[wrest]

Да и ещё насчет траекторий. Вот допустим у вас есть поезд и он движется по рельсам, проложенным в форме окружности. Окружность - это его траектория. Полное ускорение не может быть направлено "вовне" окружности, только "внутрь", едет ли поезд по часовой стрелке или против. Но если поезд останавливался и какое-то время стоял, то в этом месте и в этом время (простоя) у поезда была нулевая скорость и нулевое же ускорение (то есть - никуда не направленное ни то ни другое).

upgrade в сообщении #1338373 писал(а):

в системах отсчета не принято обозначать в качестве отдельного измерения направление тех же векторов, метры с секундами и т.п. по осям обозначили, а ось (измерение) для направления толи не смогли толи забыли, приходится дорисовывать стрелочками.

Не, тут у вас похоже засада с пониманием "вектор [скорости, ускорения, чего-угодно] это..." В пространстве векторов скоростей оси должны быть размечены в метрах в секунду, ессно. А в пространстве положений (координат) самой точки - в метрах. И как я ранее писал, это разные пространства, вы не можете сложить вектор скорости и вектор ускорения, так же, как не можете сложить скорость и производную скорости (ускорение) при прямолинейном движении, поскольку это будет сложение теплого с мягким.
Но вот сравнить направления векторов из этих разных пространств можно: например совместив начала координат. Тогда можно вычислять например угол между скоростью и ускорением и т.п.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1338373 писал(а):

в системах отсчета не принято обозначать в качестве отдельного измерения направление тех же векторов, метры с секундами и т.п. по осям обозначили, а ось (измерение) для направления толи не смогли толи забыли, приходится дорисовывать стрелочками

Это сформулировано так, что похоже на бред, и нельзя определить, понимаете ли вы вещи и просто не сумели описать, или не понимаете, и в любом случае не ясно, о чём это конкретно.

И не нужно поминать метры с секундами почём зря. Это единицы измерения, они нужны только для численного выражения величин.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1338395 писал(а):

Это сформулировано так, что похоже на бред

Ага. ТС нужно взять школьный учебник физики и переписать из него сюда определения использованных понятий. Сейчас базиса для объяснения ему нет.

[arseniiv]

Кстати пока писал ответ, понял, что скорости галилеевского пространства-времени образуют аффинное пространство.

UPD. И евклидово, конечно, раз у их разностей есть норма.

[Munin]

Dragon27 в сообщении #1338300 писал(а):

В стандартном анализе бесконечно малые анализируются как последовательности, а не как особые величины.

Я знаю. И стандартному студенту надо освоить как минимум это, а потом уже (если проблем нет и делать нечего) лезть в нестандартный анализ.

Помощью в освоении стандартного анализа нестандартный анализ не может быть никак.

-- 12.09.2018 19:46:41 --

upgrade в сообщении #1338373 писал(а):

В общем я так понимаю есть небольшое упущение (видимо у меня): в системах отсчета не принято обозначать в качестве отдельного измерения направление тех же векторов, метры с секундами и т.п. по осям обозначили, а ось (измерение) для направления толи не смогли толи забыли, приходится дорисовывать стрелочками.

Нет, почему вы так говорите? Есть стандартные векторы $\vec{\imath\vphantom{k}},\vec{\jmath\vphantom{k}},\vec{k}.$ Просто не всегда удобно раскладывать по ним, а иногда удобно по другим направлениям. Например, для движения по окружности можно ввести цилиндрическую систему координат и векторы $\vec{e}_r(\vec{r}),\vec{e}_\theta(\vec{r}),\vec{e}_z$ (тут надо обратить внимание, что эти векторы в разных точках пространства направлены по-разному, то есть зависят от радиус-вектора как функции). И вообще, разных единичных векторов можно ввести очень много. Просто в данном случае захотелось разложить по направлениям, связанным с направлением движения, то есть с направлением самой скорости. Больше ничего особенно таинственного за этим разложением не стоит.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1338436 писал(а):

а потом уже (если проблем нет и делать нечего) лезть в нестандартный анализ

Кстати, под нестандартным обычно понимается один конкретный вид, а этот третий, там даже принцип переноса не работает.

[oleg_2]

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

Вот это полное ускорение
$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d(v\cdot \overrightarrow{\tau})}{dt}=\frac{v d \overrightarrow{\tau}+\cdot \overrightarrow{\tau} dv }{dt}$

Если по-простому, то я понимаю так.
Вектор с течением времени может изменяться по длине (модулю) и по направлению. Дифференциал вектора это вектор $d\vec{v}=\vec{v}_2 - \vec{v}_1$, показывающий изменение исходного вектора. Складывать векторы на рисунке легко, а вычитать трудно - можно запутаться. Я применяю простой приём чтобы не ошибиться: если $d\vec{v}=\vec{v}_2 - \vec{v}_1$, то $\vec{v}_2=\vec{v}_1+ d\vec{v}$

Единичный вектор $\vec{\tau}$ по длине не меняется, на рисунке выше показано $d\vec{\tau}$, вектор просто немного повернулся.

В Матвеев, том 1, Механика и теория относительности приведен рисунок:

Я нарисовал более детализированный рисунок. Обратите внимание, вектор $\vec{a}$ на рис. 1 по направлению совпадает с направлением приращения скорости $d\vec{v}$, вектор $\vec{a}_n$ по направлению совпадает с вектором $d\vec{\tau}$. Вектор $\vec{a}_{\tau}$ по направлению почти совпадает со средней скоростью (рис. в Матвееве) и с $d\vec{r}$. Почти, и тем лучше, чем меньше меняется радиус кривизны на рассматриваемом участке траектории.


-- 12.09.2018, 21:51 --

Я догадался, что не сделал никакой разницы между приращением и дифференциалом, который дифференциал линейная часть приращения. Это сложно, сразу и не сообразить, где на рисунке линейная часть, а где малая добавка высокого порядка.

[misha.physics]

oleg_2,

(Оффтоп)

oleg_2 в сообщении #1338449 писал(а):

Складывать векторы на рисунке легко, а вычитать трудно - можно запутаться. Я применяю простой приём чтобы не ошибиться: если $d\vec{v}=\vec{v}_2 - \vec{v}_1$, то $\vec{v}_2=\vec{v}_1+ d\vec{v}$

Я раньше тоже путался и сводил все в уме к сложению, но это слишком долго. Потом оказалось, что вычитать векторы графически возможно ещё проще чем складывать. Для этого нужно отложить их от общего начала и соединить их концы отрезком. Теперь нужно поставить стрелку, можно воспользоваться таким приемом для запоминания: если мы вычитаем из вектора $\vec{v}_2$ вектор $\vec{v}_1$, то вектор, из которого вычитают "возмущается", привлекает к себе внимание и на него смотрят другие векторы. В том числе и вектор $\vec{v}_1$. Так что стрелку нужно поставить так, чтобы она указывала на вектор $\vec{v}_2$ (на него же все смотрят). Полученный вектор и будет разностью $\vec{v}_2 - \vec{v}_1$. На вашем рисунке это видно. (Это не мой прием, я в одном видео узнал о нем. Может вам это поможет не путаться :))