Единичный вектор в кинематике.

[SNet]

upgrade в сообщении #1338107 писал(а):

По формулам (формулы постулированы)

Ну а вы понимаете их? В школе вам давали? Вы знаете, как физически интерпретируются производная, интеграл, дифференциал? Разве вы в школе не выводили правила дифференцирования функций?
Дело в том, что в ВУЗе физика некоторое время сильно спешит относительно математики в своих методах: уже на первых лекциях дают определение скорости как производную векторной функции скалярного аргумента. По-видимому здесь делается упор на старшие классы средней школы, где какой-никакой опыт в обращении с понятиями математического анализа давался. Поэтому не стоит утверждать, будто не предполагается знание дифференциального исчисления. Напротив, оно активно используется и в некотором роде формируется через лекции по физике, так что снимите с себя эдакие рамки.

upgrade в сообщении #1338107 писал(а):

Это мгновенная скорость. Мгновенная скорость вводится через среднюю на интервале, который затем делают маленьким, но пока еще не объясняют что это пределы, бесконечно малые и т.п. - просто $d$ и всё.

Ну видите: а вы знаете-таки. И то же предполагают преподаватели.

upgrade в сообщении #1338107 писал(а):

Ускорение равно нулю, потому что производная константы равна нулю.

Ни в одной из предложенных задач нет нулевого ускорения. Разве что вы подразумевали тангенциальное (и то это справедливо не для всех трёх задач), но тогда всё нужно строго оговаривать...

upgrade в сообщении #1338107 писал(а):

$2C$

Неверно.

Вот давайте снимем с себя математические рамки. Тогда дифференциал некоторой физической величины $df$ получает смысл малого приращения этой величины $f$. Например, если $T$ -- температура, то $dT$ -- малое её приращение.
Определение модуля скорости такое: $v = \frac {ds}{dt}$. Оно буквально говорит, что модуль скорости есть отношение малого приращения пути $ds$ к малому промежутку времени $dt$, соответствующему этому приращению, и тогда в этих терминах мы получаем ясный смысл модуля скорости: он показывает, как быстро проходит частица малый путь в этой точке траектории. В общем же случае скорость векторная величина $\vec v = \frac{d\vec r}{dt}$, а значит помимо величины характеризуется ещё и направлением.
Ускорение определено как $\vec a = \frac {d\vec v}{dt}$, и здесь сразу стоит обратить внимание, что оно получается из дифференцирования вектора скорости. Поскольку $d\vec v$ мы интерпретируем как малое приращение векторной функции, то оно связано с изменением вектора скорости. Вспоминаем, что вектор характеризуется не только величиной, но и направлением, и получаем, что ускорение работает на двух уровнях:
1) Характеризует изменение величины скорости;
2) Характеризует изменение направления скорости

Выше я показал, как доказать соотношение $\vec v = v\vec \tau$. Оно аналитически показывает оговорённое словами, что вектор есть совокупность модуля и направления (это не определение!!!). Вектор $\tau$ всегда направлен по движению точки и "ответственен" за направление скорости, а величина $v$ -- за её модуль.
Дифференцируя это соотношение, получаем $\vec a = \frac{dv}{dt}\tau + v\frac{d\vec\tau}{dt}$. Оно на самом деле показывает аналитически то, что было оговорено об ускорении выше:
Первое слагаемое, направленное по движению, характеризует скорость изменения модуля скорости и называется тангенциальным ускорением. Второе направлено перпендикулярно $\vec\tau$ (это можно получить дифференцированием $\vec\tau^2 = 1$ и вспоминанием того, когда равно нулю скалярное произведение ненулевых векторов) и характеризует то, как "поворачивается вектор скорости". Оно называется нормальным ускорением.

Выше вам дали хорошую задачу (в целях ознакомления) с равномерным движением точки по окружности. В этом случае модуль скорости не меняется, зато вектор скорости, очевидно, вращается (годограф скорости тоже описывает окружность). Это значит, что тангенциального ускорения нет, зато есть нормальное, ибо иначе поворота не было бы.

Затем мы задали $v = Ct$, то есть уже модуль скорости меняется. Значит, появляется тангенциальное ускорение.

[upgrade]

SNet в сообщении #1338126 писал(а):

дифференциал некоторой физической величины $df$ получает смысл малого приращения этой величины $f$.

Есть целая тема из которой вовсю следует, что не все так просто. В общем, это уже глубины. Мне хотелось понять идею разложения полного ускорения, не более того.

[EUgeneUS]

upgrade
В той огромной теме наверное, и даже скорее всего, есть глубины.
Но меня гложут смутные сомнения, что Вы считаете глубинами какие-то банальности, которые обязан знать хороший школьник.
Напишите, пожалуйста, определение производной, которое Вы знаете и понимаете.

[SNet]

upgrade
Я не клал это в определение. Конечно, всё на самом деле сложнее, но в первом приближении для физики работает. Идею разложения я вроде пояснил там чуть ниже: мы хотим выделить в едином ускорении части, которые отвечают за изменение модуля скорости и её направления.

[upgrade]

SNet в сообщении #1338131 писал(а):

Идею разложения я вроде пояснил там чуть ниже: мы хотим выделить в едином ускорении части, которые отвечают за изменение модуля скорости и его направления.

Нет. Мы помним, что любой вектор можно представить как произведение скаляра и единичного вектора, и также любой вектор можно единственным образом представить как два ортогональных вектора. Затем мы замечаем, что для полного ускорения как производной от скорости это замечательно соблюдается и называем пару получающихся векторов тангенциальным и радиальным ускорением, затем последовательно доказывая, что они перпендикулярны. Всё красиво.

[EUgeneUS]

upgrade в сообщении #1338132 писал(а):

любой вектор можно единственным образом представить как два ортогональных вектора.

чего?

[upgrade]

Как векторную сумму двух перпендикулярных векторов.

[wrest]

upgrade в сообщении #1338132 писал(а):

и также любой вектор можно единственным образом представить как два ортогональных вектора.

Необязательно ортогональных, но обязательно не коллинеарных (т.е. линейно независимых).
Ну и два -- это в 2D (плоскости). В 3D надо три, попарно не коллинеарных.

upgrade в сообщении #1338132 писал(а):

Затем мы замечаем, что для полного ускорения как производной от скорости это замечательно соблюдается и называем пару получающихся векторов тангенциальным и радиальным ускорением,

Так оно получается потому, что прямая, касательная к окружности, перпендикулярна радиусу этой окружности, проходящему через точку касания, вот откуда "ноги растут". И поэтому тангенциальное ускорение перпендикулярно "радиальному" (нормальное, оно же центростремительное).

[EUgeneUS]

И сколько раз один (ненулевой) вектор можно представить в виде суммы двух перпендикулярных (ортогональных) векторов?

[arseniiv]

wrest в сообщении #1338136 писал(а):

Необязательно ортогональных, но обязательно не коллинеарных (т.е. линейно независимых).

Это уже в присутствии базиса, а без базиса ведь никакой однозначности. Так же как не будет однозначности и при разложении на тангенциальную и нормальную части без указания, по отношению к кому. В этом и суть вопроса к upgrade.

[wrest]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1338140 писал(а):

Это уже в присутствии базиса, а без базиса ведь никакой однозначности.

Конечно, это как бы подразумевается. Иначе сейчас же тема превратится в терминологическую и начинать надо будет либо с "вектор - это...", или с "уравнения называются линейно независимыми если..." и т.д. и бедняга upgrade совсем поникнет среди донов, обсуждающих заточку мечей. Можно ещё на предыдущей стадии подлить прогорклого масла в огонь "диференциал, даже в физике, это не бесконечно и даже не малая величина. вот взять, да хотя бы те же касательные пространства..."

[SNet]

upgrade
Ну, давайте пойдём по вашей процедуре.
Итак, любой вектор можно представить как произведение скаляра на орт, коллинеарный нашему вектору. Значит, скорость, в частности, можем представить так же. Затем вспоминаем, что любой вектор однозначно представляется линейной комбинацией базисных векторов пространства, в котором он живёт. Готово. Дифференцируем скорость -- о, ускорение распалось на два слагаемых. Но мы упорно держим в голове теорему о разложении по базису, и дальше доказываем, что в действительности эти два слагаемых в ускорении ортогональны и применяем теорему, одно называем тангенциальным, а второе -- нормальным. Готово.

Вам действительно это проясняет дело? Вам не кажется, что тут каша из ненужных контексту теорем?

На самом деле на нулевом этапе мы доказываем, что скорость касательна к траектории, потом представляем её как произведение модуля на орт и дифференцируем. Получаем, что ускорение слагается из двух векторов, один из которых касателен к траектории, и по смыслу характеризует скорость изменения модуля скорости, а второй идёт по направлению главной нормали, значит "вращает" скорость. Что и соответствует "физике ускорения".
Мы не хотим априори дифференцированием разложить ускорение по базису. Это лишняя сущность.

[upgrade]

SNet в сообщении #1338144 писал(а):

Вам действительно это проясняет дело? Вам не кажется, что тут каша из ненужных контексту теорем?

Да проясняет. Все очень просто рисуется на листочке и последовательно стыкуется как пазл. И запомнить легко, и общее правило (представление любого вектора как пара векторов) видно как работает в конкретном случае.

[EUgeneUS]

upgrade в сообщении #1338145 писал(а):

Да проясняет.

А вот прояснять это не должно.

Ибо:

SNet в сообщении #1338144 писал(а):

Затем вспоминаем, что любой вектор однозначно представляется линейной комбинацией базисных векторов пространства, в котором он живёт.

А откуда у Вас взялся этот базис на данном шаге? От сырости?

[SNet]

EUgeneUS в сообщении #1338148 писал(а):

А откуда у Вас взялся этот базис на данном шаге? От сырости?

Видимо, ТС хочет разложить "по любому, по которому раскладывается".

Тогда, правда, с такой философией до дифференцирования вектора скорости не доедешь, ибо можно произвольно определить базис и разложить по нему...