Раньше я понимал производную как отношение приращений функции и аргумента при устремлении приращения аргумента к нулю, т.е. скорость изменения функции в точке и всегда исходил из этого понимания, чуть позднее - как тангенс угла наклона в выбранной с.о. (т.к. отношение приращений - это катет разделить на катет), с момента прочтений той темы у меня сложилось впечатление, что ни то ни другое полностью не дает понимания производной.
Ну почему же, и то и другое верно.
Та тема была больше о дифференциалах...
В простых случаях, когда
(например
) то есть функция задана явно, производная считается по [данной свыше великими математиками прошлого] таблице производных и правилам (суммы, произведения и т.п.). В немного более сложных случаях когда
(например
применяются формулы взятия производной для сложной функции. На следующем "этаже" -- производные неявно заданной функции, когда
-- там тоже свои правила (взятия производной от
по
или наоборот, например:
), на еще следующем этаже -- параметрически заданные функции (как вам предложил Munin)...
Но
если у функции есть такой график, что к нему можно провести касательную в какой-то точке принадлежащей графику, то тангенс угла наклона этой касательной к оси
будет равен производной
а тангенс угла наклона к оси
-- производной
(в соответствующей точке). В этой же точке будет сохраняться и