Единичный вектор в кинематике.

[upgrade]

В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена
$\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}$
Я так понимаю, что у тау нет размерности и это такой индикатор направления.
Дальше появляется векторная сумма $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$.
Не уловил, каким образом пришли к выводу что эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$.
Насколько я вижу $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$ - это обычное произведение вектора на скаляр, значит направление итогового вектора совпадает с $\overrightarrow{\tau}$, с чего это тангенциальное ускорение, если $\overrightarrow{\tau}$ - не тангенциальное?
Из-за того, что производная - тангенс, а при умножении гипотенузы на тангенс получается катет?

[mihaild]

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

с чего это тангенциальное ускорение, если $\overrightarrow{\tau}$ - не тангенциальное?

Определение тангенциального ускорения знаете?

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$

Направление первого совпадает (собственно если умножит вектор на положительный скаляр, то получится вектор, сонаправленный исходному).
Направление второго ортогонально первому (и это по-хорошему надо бы отдельно доказывать).

[arseniiv]

Странно, что ТС не наткнулся на курс, где не доказывают.

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

Из-за того, что производная - тангенс, а при умножении гипотенузы на тангенс получается катет?

Нет, у тангенса и тангенциального ускорения (и tangent bundle) параллельные этимологии.

[wrest]

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена

"Тангенциальное" означает "касательное". В данном случае -- касательное к направлению скорости, то есть коллинеарное (параллельное) скорости, направленное в ту же сторону, что и скорость (ускорение) или в противоположную (замедление).

[upgrade]

mihaild в сообщении #1337853 писал(а):

Определение тангенциального ускорения знаете?

Его вывести надо, поэтому, я так понимаю, предполагается, что не знаю ни тангенциального ни нормального.

mihaild в сообщении #1337853 писал(а):

Направление первого совпадает

Как это?
Вот это полная скорость
$\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}$
Вот это полное ускорение
$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d(v\cdot \overrightarrow{\tau})}{dt}=\frac{v d \overrightarrow{\tau}+\cdot \overrightarrow{\tau} dv }{dt}$
Как может совпадать направление полной скорости с векторной суммой двух векторов разного направления?

arseniiv в сообщении #1337855 писал(а):

Нет, у тангенса и тангенциального ускорения (и tangent bundle) параллельные этимологии.

А почему тангенциальное ускорение (касательная к кривой) равно по направлению $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$, как влияет на направление $\frac{dv}{dt}$...откуда это математически берется

-- 10.09.2018, 14:39 --

mihaild в сообщении #1337853 писал(а):

Направление второго ортогонально первому (и это по-хорошему надо бы отдельно доказывать).

Это чуть дальше доказывается.

[mihaild]

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

Его вывести надо

Вывести определение невозможно.
Можно только дать определение, а потом доказать, что оно эквивалентно какому-то другому (или что эту величину можно считать таким-то способом, или еще что-то аналогичное).

Известно, что если нам даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{a} = \alpha \vec{b} + \vec{c}$, где $\vec{c} \perp \vec{b}$. Вот возьмем в качества $\vec{a}$ вектор ускорения, в качестве $\vec{b}$ вектор скорости, а компоненты разложения назовем тангенциальным и нормальным ускорением.

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

Как может совпадать направление полной скорости с векторной суммой двух векторов разного направления?

Так направление скорости и не обязано совпадать с направлением ускорения.

[upgrade]

mihaild в сообщении #1337881 писал(а):

Можно только дать определение, а потом доказать, что оно эквивалентно какому-то другому (или что эту величину можно считать таким-то способом, или еще что-то аналогичное).

Ааа, вон оно что, теперь понятно! Спасибо.

[pogulyat_vyshel]

В цивилизованном виде это все делается в терминах репера Френе $\boldsymbol\tau(s)\boldsymbol n(s)\boldsymbol b(s)$, где $s$ -- натуральный параметр. Если $s=s(t)$ -- закон движения точки по траектории, то с помощью формул Френе, дифференцированием равенства $\boldsymbol v=\dot s\boldsymbol\tau$ сразу получаем

$$\boldsymbol a=\ddot s\boldsymbol\tau+\dot s^2k(s)\boldsymbol n,$$

где $k> 0$ -- кривизна.

[misha.physics]

upgrade,

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена
$\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}$
Я так понимаю, что у тау нет размерности и это такой индикатор направления.

Да, это безразмерный единичный вектор, касательный к траектории и направлен в ту же сторону, что и вектор скорости тела.

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

Дальше появляется векторная сумма $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$.
Не уловил, каким образом пришли к выводу что эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$.

В общем случае да, не совпадают. Но здесь важно, что первое слагаемое это вектор коллинеарный $\overrightarrow{\tau}$. А что вы можете сказать о направлении второго слагаемого вектора?

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

Насколько я вижу $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$ - это обычное произведение вектора на скаляр, значит направление итогового вектора совпадает с $\overrightarrow{\tau}$

Это если этот скаляр положителен, то есть изменение модуля скорости положительно. Что это значит?

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

с чего это тангенциальное ускорение, если $\overrightarrow{\tau}$ - не тангенциальное?

Почему не тангенциальное? Вектор $\overrightarrow{\tau}$ указывает направление вектора скорости, а это касательный вектор к траектории. А касательный и тангенциальный это очень близкие понятия :)

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

Из-за того, что производная - тангенс, а при умножении гипотенузы на тангенс получается катет?

Это здесь не при чем да и неправильно. Тангенс это не есть катет делённый на гипотенузу.

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

Его вывести надо, поэтому, я так понимаю, предполагается, что не знаю ни тангенциального ни нормального.

Да, пока не вывели не знаете. Но когда получили два слагаемые, то в силу некоторых соображений можете назвать одно из них тангенциальным, а другое - нормальным ускорением.

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

Вот это полное ускорение
$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d(v\cdot \overrightarrow{\tau})}{dt}=\frac{v d \overrightarrow{\tau}+\cdot \overrightarrow{\tau} dv }{dt}$
Как может совпадать направление полной скорости с векторной суммой двух векторов разного направления?

Эта формула говорит что направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора -- суммы этих двух слагаемых векторов. Про направление вектора скорости здесь речь не идет. Кстати, а в каком случае направление вектора скорости будет совпадать с направлением вектора ускорения? А когда они будут лежать на одной прямой?

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

А почему тангенциальное ускорение (касательная к кривой) равно по направлению $\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt}$

Немного корявенько. Почему "равно по направлению"? Оно просто равно. По определению. Потому, что этот вектор коллинеарный тангенциальному вектору $\overrightarrow{\tau}$, если так можно выразиться.

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

как влияет на направление $\frac{dv}{dt}$

Вы умножать скаляры на векторы умеете? Если да, то сами ответите.

upgrade в сообщении #1337880 писал(а):

откуда это математически берется

Вы же сами написали. Из дифференцирования произведения.

-- 10 сен 2018, 21:39 --

upgrade,
Представьте себе равномерное (с постоянным модулем скорости) движение тела по окружности. Как здесь работает формула?:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$
Куда направлены векторы $\overrightarrow{\tau}$ и $\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$ в каждый момент времени? Чему равно $\frac{dv}{dt}$? Куда направлено результирующее ускорение $\overrightarrow{a}$? Чему оно равно?

[SNet]

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

В кинематике при разложении полного ускорения на нормальное и тангенциальное используется замена

Это не замена. Дело в том, что задать движение материальной точки можно естественным образом, выбрав на траектории условную начальную точку и записав функцию $s(t)$ -- пройденного пути, отсчитывая его от выбранной точки, и через радиус-вектор $\vec r(t)$ (конечно, это не все способы задать движение точки). Разумеется, можно определить ещё и функцию $\vec r(s) = \vec r(t)$, которая также задаёт движение точки и неявно зависит от времени. Имеем тогда $\vec v = \dot{\vec r} = \frac {d\vec r}{ds} \frac {ds}{dt}$. Понятно, что $|d\vec r| = ds$, причём, поскольку прямую в бесконечно малой окрестности некоторой внутренней точки можно аппроксимировать касательной в этой точке, $\frac{d\vec r}{ds} = \vec \tau$, где $\vec \tau$ -- орт касательной в рассматриваемой точке. Ну и к тому же $\frac {ds}{dt} = v$ (из тех же соображений), так что по итогу имеем $\vec v = v \vec \tau$

misha.physics в сообщении #1337966 писал(а):

Представьте себе равномерное (с постоянным модулем скорости) движение тела по окружности. Как здесь работает формула?:
$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\tau} \frac{dv}{dt} + v\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$
Куда направлены векторы $\overrightarrow{\tau}$ и $\frac{d \overrightarrow{\tau}}{dt}$ в каждый момент времени? Чему равно $\frac{dv}{dt}$? Куда направлено результирующее ускорение $\overrightarrow{a}$? Чему оно равно?

А потом, для прояснения новых терминов, рассмотрите чуть более сложные движения:

1) То же движение по окружности, но теперь $v = Ct$, где $C =\operatorname{const}$. Что изменилось? Почему?

2) Точка движется в плоскости $xOy$ вдоль кривой $y = Cx^2$, где $C =\operatorname{const}$, с постоянной скоростью $v$. Найти модуль полного ускорения в $x = 0$.

[upgrade]

misha.physics
SNet
Практически все ответы на Ваши вопросы содержатся вот тут (с моей т.з., конечно)

mihaild в сообщении #1337881 писал(а):

Известно, что если нам даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде $\vec{a} = \alpha \vec{b} + \vec{c}$, где $\vec{c} \perp \vec{b}$.

SNet в сообщении #1337985 писал(а):

Понятно, что $|d\vec r| = ds$, причём, поскольку прямую в бесконечно малой окрестности...

К сожалению, предполагается, что бесконечно-малые и окрестности покамест неизвестны.

[Munin]

upgrade в сообщении #1338062 писал(а):

К сожалению, предполагается, что бесконечно-малые и окрестности покамест неизвестны.

А как же вы производные тогда берёте?

[SNet]

SNet в сообщении #1337985 писал(а):

Понятно, что $|d\vec r| = ds$, причём, поскольку прямую

Прошу прощения, я имел ввиду кривую.

-- 11.09.2018, 12:20 --

upgrade в сообщении #1338062 писал(а):

Практически все ответы на Ваши вопросы содержатся вот тут (с моей т.з., конечно)

Ну вы ответьте. Если сможете, то достоверно может быть констатировано понимание. А то зачастую ссылка на утверждение кажется тривиально доказывающей утверждение, а как пробуешь всё сделать аккуратно, обнаруживаешь: не всё так гладко.

upgrade в сообщении #1338062 писал(а):

К сожалению, предполагается, что бесконечно-малые и окрестности покамест неизвестны.

То есть вам даже не дали определение скорости? Ведь $\vec v = \frac {d\vec r}{dt}$. Тогда говорить об ускорении вообще рано.

[upgrade]

Munin в сообщении #1338077 писал(а):

А как же вы производные тогда берёте?

По формулам (формулы постулированы)

SNet в сообщении #1338080 писал(а):

То есть вам даже не дали определение скорости? Ведь $\vec v = \frac {d\vec r}{dt}$.

Это мгновенная скорость. Мгновенная скорость вводится через среднюю на интервале, который затем делают маленьким, но пока еще не объясняют что это пределы, бесконечно малые и т.п. - просто $d$ и всё.

-- 11.09.2018, 14:20 --

SNet в сообщении #1337985 писал(а):

Что изменилось? Почему?

Ускорение равно нулю, потому что производная константы равна нулю.

SNet в сообщении #1337985 писал(а):

Найти модуль полного ускорения в $x = 0$.

$2C$

[EUgeneUS]

upgrade в сообщении #1338107 писал(а):

По формулам (формулы постулированы)

Так-с. Где постулированы? Издание, страница.