Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[vpb]

irod
21 опять неправильно. Подумайте еще, если не понимаете, в чем там дело, отложим. Намеченный план, во всяком случае в пунктах 1) и 2), одобряю. Что приходится возвращаться еще дальше (не на уровень 1 курса, а аж в 7 класс) --- мало приятно, конечно, однако же так, тут ничего не поделаешь. Если оценивать Ваши знания (по алгебре 7--9) по пятибалльной шкале, от "1-" до "5+", то примерно 4 или 4+. А надо 5. Такие дела.

Еще уточнение: возможно, в Мордковиче-Николаеве тоже иногда будут встречаться задачи особо повышенной трудности, имейте это в виду, чтоб не застревать на них понапрасну.

kotenok gav
ответы на вопросы 1--6 правильные (а решения, в некоторых местах, выглядят несколько нестандартно).

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

7) Решить неравенство $|x-1|+|x+3|\leq6$.

(Оффтоп)

1 случай. $x<-3$.

$$1-x-3-x\leq6$$

$$-2x\leq8$$

$$x\geq-4$$

$$-4\leq x<-3$$

2 случай. $-3\leq x<1$.

$$1-x+x+3\leq6$$

$$4\leq6$$

$$-3\leq x<1$$

3 случай. $x\geq1$.

$$x-1+x+3\leq6$$

$$2x\leq4$$

$$x\leq2$$

$$1\leq x\leq2$$

Ответ:

$$-4\leq x\leq 2$$

.

[Dragon27]

kotenok gav
У вас в первом случае вторая скобка в чёрти-что превратилась.

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

8) Какова вероятность того, что случайным образом выбранное натуральное
число из интервала $(5{,}9; 47{,}1)$ делится на 3 ?

(Оффтоп)

Всего чисел в этом интервале 42, делящихся - 14. $\frac{14}{42}=\frac13$.

-- 12 май 2018, 17:56 --

Dragon27 в сообщении #1311845 писал(а):

kotenok gav
У вас в первом случае вторая скобка в чёрти-что превратилась.

Исправил.

-- 12 май 2018, 17:57 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

9) Найдите $A\cap B$, где $A=(-\infty; 0)$, $B=[-1; +\infty)$.

(Оффтоп)

$$A\cap B=[-1; 0)$$

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

10) Числа $a$ и $b$ таковы, что система двух уравнений

$$\begin{equation} \begin{cases} 3x+ay=8 \\ (2a+1)x+12y=b \end{cases} \notag \end{equation}$$

имеет бесконечное множество решений. Найти $a$ и $b$ (перечислить все возможности).

(Оффтоп)

1) $a=0$.

$$3x=8$$

$$x=\frac83$$

$$\frac83+12y=b$$

$$y=\frac{b-\frac83}{12}$$

Решение одно для каждого b.
2) $a=-\frac92$.

$$y=\frac{-2(8-3x)}9=\frac{b+8x}{12}$$

$$-24(8-3x)=9(b+8x)$$

$$-192=9b$$

$$b=-\frac{64}3$$

Система при $a=-\frac92$ и $b=-\frac{64}3$ имеет бесконечно много решений.
3) $a=4$.

$$y=\frac{8-3x}4=\frac{b-9x}{12}$$

$$4(b-9x)=12(8-3x)$$

$$4b=96$$

$$b=24$$

Система при $a=4$ и $b=24$ имеет бесконечно много решений.
4) $a\neq 0, -\frac92, 4$.

$$y=\frac{8-3x}a=\frac{b-(2a+1)x}{12}$$

$$12(8-3x)=a(b-(2a+1)x)$$

$$96-ab=(36-a-2a^2)x$$

$$x=\frac{96-ab}{36-a-2a^2}$$

Система при каждом a и b имеет одно решение.
Ответ: $a=-\frac92$, $b=-\frac{64}3$ и $a=4$, $b=24$.

-- 12 май 2018, 19:45 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

11) Найти площадь множества точек на координатной плоскости, удовлетворящих системе неравенств

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

Еще не знаю.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

12) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда относятся как $2:3:5$, а площадь поверхности равна $248$. Найти длины ребер.

(Оффтоп)

Пусть ребра равны $2x, 3x, 5x$. Тогда площадь поверхности равна $2(2x\times 3x+3x\times 5x+2x\times 5x)=248$.

$$62x^2=248$$

$$x^2=4$$

$$x=2$$

Длины ребер равны 4, 6, 10.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

13) Разложите не множители $x^6y^5-y^8+2x^6-2y^3$.

(Оффтоп)

$x^6y^5-y^8+2x^6-2y^3=(x^6-y^3)(y^5+2)=(x^2-y)(x^4+x^2y+y^2)(y^5+2)$

-- 12 май 2018, 19:52 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

14) Решить уравнение $x^3-x^2-4x+4=0$.

(Оффтоп)

$$(x-1)(x-2)(x+2)=x^3-x^2-4x+4=0$$

$$x=-2,1,2$$

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

15) Известно, что $x+y=5$ и $xy=-3$. Найти $x^4+y^4$.

(Оффтоп)

$$x^4+y^4=(x+y)^4-6(xy)^2-4xy(y^2+x^2)=625-54+12((x+y)^2-2xy)=571+12(25+6)=571+372=943$$

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

16) Решить уравнение

$$ \frac{x^3-x^2}{x-1}=-2x+3.$$

(Оффтоп)

$$x^2=-2x+3$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$D=4^2$$

$$x=\frac{-2\pm4}2=-1\pm2$$

x равен 1 или -3.

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

17) Решить систему

$$ \begin{equation} \begin{cases} 9y^2-6xy-5x+x^2+15y=0 \\ 3x-4y=20 \end{cases} \notag \end{equation} $$

(Оффтоп)

$$ \begin{equation} \begin{cases} 9y^2-6xy-5x+x^2+15y=0 \\ 3x-4y=20 \end{cases} \notag \end{equation} $$

$$9y^2-6xy-5x+x^2+15y=0$$

$$D=(15-6x)^2-36(x^2-5x)=15^2$$

$$y=\frac{6x-15\pm15}{18}=\frac{2x-5\pm5}6$$

1) $y=\frac{x}3$.

$$3x-\frac{4x}3=20$$

$$9x-4x=60$$

$$5x=60$$

$$x=12$$

$$y=4$$

2) $y=\frac{x-5}3$.

$$3x-\frac{4x-20}3=20$$

$$9x-4x+20=60$$

$$5x=40$$

$$x=8$$

$$y=1$$

Ответ: $x=12$, $y=4$ и $x=8$, $y=1$.

-- 12 май 2018, 20:21 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

18) При каких значениях $x$ и $y$ многочлен $x^2+2xy-3y^2-5x-y+1$ принимает наибольшее значение, при дополнительном условии, что $x+y=1$?

(Оффтоп)

$$x^2+2xy-3y^2-5x-y+1=(x+y)^2-4y^2-5(1-y)-y+1=-3-4y^2+4y=-(2y-1)^2-2\leq -2$$

$$-(2\times 0.5-1)^2-2=-2$$

$$y=0.5$$

$$x=0.5$$

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

19) Решить уравнение $x^6+9x^5+27x^4+27x^3=0$.

(Оффтоп)

$$x_1=0$$

$$x^3+9x^2+27x+27=0$$

$$(x+3)(x^2-3x+9)+9x(x+3)=0$$

$$x_2=-3$$

$$(x+3)^2=x^2+6x+9=0$$

$$x_3=x_4=x_2=-3$$

Ответ: $x=-3,0$.

-- 12 май 2018, 20:41 --

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

20) При каких значениях $m$ и $n$ соотношение $(x^2x^m)^n=(x^3x^n)^m:x^6$ --- тождество?

(Оффтоп)

$$x^{2n+mn}=x^{3m+mn-6}$$

$$2n+mn=3m+mn-6$$

$2n-3m+6=0$ для вещественных или рациональных решений.

$$m=2k$$

$$n-3k+3=0$$

$$n=3(k-1)$$

Ответ: $m=2k$ и $n=3(k-1)$ для целых k (для целых решений).

[vpb]

kotenok gav
В 16) описка (цифры 2 и 3 перепутали). А вообще весьма похвально! Должен сказать, вообще этот тест был написан с другой целью, а именно чтобы люди уже взрослые проверили, как они школьную алгебру знают. Ну а Вы его используете не как тест, а как список упражнений. Ну и решайте на здоровье, Вам полезно (я в детстве и юности тоже, помню, как увижу какую задачку, так тут же стремлюсь её решать.)

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1311873 писал(а):

В 16) описка (цифры 2 и 3 перепутали).

Исправил.

-- 12 май 2018, 20:54 --

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

21) Решить уравнение

$$ \frac{x+2}{2x+1}+\frac{ax+3}{x+1}=5, $$

где $a$ --- параметр.

(Оффтоп)

$$(x+2)(x+1)+(ax+3)(2x+1)=5(2x+1)(x+1)$$

$$5+9x+x^2+ax+2ax^2=10x^2+15x+5$$

$$(9-2a)x^2+(6-a)x=0$$

$$x_1=0$$

$$(9-a)x+6-a=0$$

$$x_2=\frac{a-6}{9-a}$$

.

-- 12 май 2018, 21:04 --

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

22) Найдите область существования выражения $3((x^0-(x-1)^{-1})^0-x)^{-1}$.

(Оффтоп)

$$3((x^0-(x-1)^{-1})^0-x)^{-1}=\frac3{\frac{\frac{x}x-\frac1{x-1}}{\frac{x}x-\frac1{x-1}}-x}$$

1) x=0 - выражение не определено ($\frac{x}x=\frac00$ не определено).
2) x=1 - выражение не определено ($\frac1{x-1}=\frac10$ не определено).
3) x=2 - выражение не определено ($\frac{\frac{x}x-\frac1{x-1}}{\frac{x}x-\frac1{x-1}}=\frac00$ не определено).
4) $x\neq0,1,2$ - выражение определено.
Ответ: $x\neq0,1,2$.

-- 12 май 2018, 21:18 --

vpb в сообщении #1309998 писал(а):

23) Решить уравнение

$$ \sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7. $$

(Оффтоп)

$$x\geq1.5$$

$$x+3+2\sqrt{3x^2+7x-6}+3x-2=49$$

$$\sqrt{3x^2+7x-6}=24-2x$$

$$3x^2+7x-6=576-96x+4x^2$$

$$x^2-103x+582=0$$

$$D=103^2-582\times4=10609-2328=8281=91^2$$

$$x=\frac{103\pm91}2$$

x равен 6 или 97 но 97 не подходит. x равен 6.

-- 12 май 2018, 21:32 --

vpb в сообщении #1309876 писал(а):

11) Найти площадь множества точек на координатной плоскости, удовлетворящих системе неравенств

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

(Оффтоп)

$$ \begin{equation} \begin{cases} x-y-2\leq0 \\ x+y+2\geq0 \\ |y+1|<1 \end{cases} \notag \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{cases} -y-2\leq x\leq y+2 \\ -2<y<0 \end{cases} \notag \end{equation} $$

Наше множество точек - равнобедренная трапеция с основаниями 4, 8 и высотой 2. Ее площадь равна $\frac{4+8}2\times2=12$.

[Xaositect]

kotenok gav в сообщении #1311876 писал(а):

vpb в сообщении #1311873 писал(а):

В 16) описка (цифры 2 и 3 перепутали).

Исправил.

Решено неверно.

-- Сб май 12, 2018 13:09:15 --

В (21) тоже не все случаи рассмотрены.

[kotenok gav]

Xaositect в сообщении #1311879 писал(а):

Решено неверно.

Где именно?

Xaositect в сообщении #1311879 писал(а):

В (21) тоже не все случаи рассмотрены.

Исправление:

(Оффтоп)

1) $a\neq9,3$.

$$(x+2)(x+1)+(ax+3)(2x+1)=5(2x+1)(x+1)$$

$$5+9x+x^2+ax+2ax^2=10x^2+15x+5$$

$$(9-2a)x^2+(6-a)x=0$$

$$x_1=0$$

$$(9-a)x+6-a=0$$

$$x_2=\frac{a-6}{9-a}$$

.
2) $a=3$.

$$3x^2+3x=0$$

$x=0,-1$ но -1 не подходит - $x=0$.
3) $a=9$.

$$-3x=0$$

$$x=0$$

.

[vpb]

Xaositect
Сдается мне, что с kotenok gav имеется систематическая проблема. Видимо, он не ориентируется
в таких понятиях, как "ОДЗ", "равносильные преобразования", "лишние корни". В его весьма юном возрасте это вообще плохо воспринимается, по себе знаю (да и, строго говоря, это вещи не первостепенные). Отсюда в обоих пунктах 16) и 21) проблемы.

kotenok gav
В 11) ошибка, думайте где. Над 16) и 21) Вам сейчас думать не стоит. Если хотите узнать, в чем там дело, можно почитать учебник Мордковича-Николаева (см. выше), там все очень доходчиво написано. Причем, я бы даже сказал, не почитать, а поизучать систематически.

[vpb]

vpb в сообщении #1311883 писал(а):

Над 16) и 21) Вам сейчас думать не стоит. Если хотите узнать, в чем там дело, можно почитать учебник Мордковича-Николаева (см. выше), там все очень доходчиво написано. Причем, я бы даже сказал, не почитать, а поизучать систематически.

Можно уточнить. Весь учебник наверное читать будет скучно, да и знаете в основном что там написано, судя по тесту. Достаточно поизучать из 7 класса гл.6, из 8-го гл.1 и 6. (Но вообще-то это тоже скучно, по математике для детей есть книжки и журналы поинтереснее).

[irod]

Я только что закончил читать учебник для 7-го класса Мордковича и Николаева. Потратил на чтение суммарно 6 часов, читал внимательно.
Все прочитанное мне в целом было известно, но тем не менее чтение расцениваю как полезное, как будто что-то в глубине головы упорядочилось.
Задачник к учебнику проглядел по диагонали, задачи элементарные, решать (кроме как в уме) ничего не стал.

Отмечу следующие моменты.
Прямоугольная система координат - детское (ну оно и понятно, для 7 класса-то) объяснение по сравнению с курсом ангема. В ангеме сначала вводилась афинная система как точка начала координат с приложенными к ней базисными векторами, а прямоугольная система вводилась как афинная с ортонормированным базисом, если я не ошибаюсь. Надеюсь возврат к детским определениям не будет мне вреден.
Линейная функция - определение не совпадает с определением из линала и даже ему противоречит ($y=kx+m$ vs $f(ax_1+bx_2)=af(x_1)+bf(x_2)$). Как это понимать? Два различных противоречащих друг другу определения линейной функции живут параллельно и стараются не встречаться?
Вообще глава про линейную функцию $y=kx+m$ не понравилась, самая интересная теорема - когда прямые (графики линейных функций) параллельны - была дана без доказательства. Я как-то плохо запоминаю факты без объяснений (хотя я и так конечно знаю доказательство: $k$ - это тангенс наклона прямой, тангенсы совпадают => прямые параллельны).
Хороший ликбез по многочленам. Я чувствую что по многочленам у меня есть пробелы, и хотя в этом учебнике ничего нового по ним не было, в следующих классах, уверен, наткнусь на что-нибудь неизвестное/забытое. Задачи на нахождение наименьшего/наибольшего значения многочлена - отметил себе, что надо выделить полный квадрат, это было мне неочевидно.
Про рисование графиков как-то совсем мало, я все это гораздо лучше изучил по соответствующему листку Давидовича и книге Гельфанда, Шень и Глаголевой (забыл ранее указать ее в списке пройденного из школьной математики).

Перехожу к 8 классу.

[Dragon27]

irod в сообщении #1312703 писал(а):

Как это понимать? Два различных противоречащих друг другу определения линейной функции живут параллельно и стараются не встречаться?

Примерно так. Здесь (в простейшем анализе и подобных) под линейной функцией имеется в виду обычно функции, графиком которых являются прямые линии (ну или полиномиальная функция степени не выше единицы). Тогда как в линейной алгебре (и связанных дисциплинах) уже говорят о линейных отображениях (которые линейны по своему аргументу). Это разные понятия (разные "линейные функции").

[vpb]

irod
Хорошо, что Вы дочитали учебник 7 класса. Однако, я ожидал, что Вы возможно, пропустите 9/10 всех задач, но не ожидал, что ограничитесь просматриванием задачника по диагонали и решением некоторых задач устно. Это как-то чересчур. С тем, как Вы решали тест, это не согласуется. Боюсь, что Вы переоцениваете свои знания. (Заметим в скобках. Кое-кто решал тест одновременно с Вами, и у них гораздо лучше получалось. Так что есть с чем сравнивать, не говоря уже о том, что и я до некоторой степени помню "школьные годы чудесные").

Думаю, Вам стоит еще раз проработать главу 6, более тщательно. Тем более Вы сами писали о том, что имеется некоторая
неясность с многочленами. А в книжке Гельфанд-Шень, скажем, про разложение на множители написано маловато, мягко говоря.

Вы можете выбрать один из следующих путей.

А. Берете параграф в учебнике, скажем 27-й. Еще раз читаете, при необходимости. Затем берете листочек, на нем пишете
"27.1, 27.2, ... " и т.д. до "27.19" (в 27-м параграфе задачника 19 задач). Потом просматриваете эти задачи, и те, которые
совсем уж очевидные, из этого списка вычеркиваете. (из 27-го параграфа, кстати, может случиться, вычеркнете все; ну а дальше вряд ли). А оставшиеся решаете письменно и сравниваете с ответом (постить на форум отнюдь не надо). Решая, из каждого нетривиального номера берете "половину" (буквочки а) и б) ). (Обратите внимание: сначала надо отобрать задачи, подлежащие решению, и только потом, когда список готов, их решать. Иначе будет рассеиваться внимание. Проверено на себе. ). Потом переходите к следующему параграфу.

Б. Отбираете из главы где-то 30-40 наиболее трудных задач, на глаз, тоже решаете их письменно (т.е. 60-80 отдельных примерчиков).

После того, как Вы вновь проработаете главу, я дам Вам небольшую контрольную.

Наконец, если Вы думаете, что и так уже достаточно хорошо знаете эту тему (может быть и такое, хотя маловероятно...), можете мне об этом сообщить. Тогда я дам Вам контрольную сразу, на всякий случай. Но это уж на свой страх и риск: если в итоге знания и умения разлагать многочлены у Вас окажутся недостаточно крепкими, и это выяснится позже, при изучении
"взрослой" математики --- только на себя пенять...