Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994

[Коровьев]

Vadim44, найденная точка (1,1) при $a=1$ является пока всего лишь критической точкой, и не больше.
Является ли она точкой экстремума, можно сказать только найдя гессиан данной функции.
Если он не равен нулю, то данная точка действительно будет экстремумом.
Но если он равен нулю, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя. Это теория.
Так вот, гессиан данной функции равен нулю!

[Vadim44]

Someone!
Если Вам от этого станет легче, то считайте,
что я напишу очередной безграмотный текст,
что обозначено номерами (3) и (4) — это вовсе никакие не условия,
что (3) и (4) — никакие не уравнения,
что (5) и (6) — не уравнения,
что я безграмотный и это меня не оправдывает,
если Вы сами не можете получить выражение функции $ n ( a ) $ , то извольте
$\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$
а желание писать и доказывать свою правоту, своими оскорблениями, Вы у меня не отобьете!

-- 19.11.2017, 18:55 --

Коровьев
переменные $ x $ $ y $ неравные взаимно простые числа,
в противном случае общий множитель можно сократить.

[grizzly]

Vadim44 в сообщении #1266944 писал(а):

$\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$

Похоже, и я дождался ответа на свой вопрос. Функция $n(a)$ не целочисленная. И теперь в этом доказательстве не видно, чтобы где-нибудь было использовано условие из формулировки ВТФ, что $n$ -- натуральное.

Я так понимаю, вопрос Shadow был о том же.

[Vadim44]

Shadow
$ n $ вещественное число больше 1

[shwedka]

Vadim44 в сообщении #1266872 писал(а):

Уважаемый Someone!
Давайте дождемся отзыва Shwedka,
она более квалифицированный специалист в области математики, чем Вы.

Утверждение не доказано, более того, вызывает большое сомнение.

Цитата:

Первое слагаемое в функции (2) представляет собой синусоиду с аргументом $ n $, которая имеет множество минимумов,

Некультурное выражение. Множество бывает и пустое. Вы хотели сказать 'много'? Да не очень много, лишь конечное число

Цитата:

поэтому и функция (2) будет иметь множественные минимумы. Соответствующим подборов значения $ n $ можно совместить минимум
функции (2) с координатами $ x $ и $ y $.

А вот это утверждение не доказано, более того, вызывает большое сомнение.

Цитата:

Поэтому функция (2) может иметь минимумы в любой точке с координатами $ x $ и $ y $ и при любом $ a $.

Не доказано

Коллега Someone совершенно точно задал вопрос. МОгу только присоединиться.

Someone в сообщении #1266852 писал(а):

Цитата:

Vadim44 в сообщении #1266792

писал(а):
$\frac{x_0^{n-1}}{y_0^{n-1}} =\frac{x_0}{y_0} .\ (8)$

Если Вы переходили к пределу, то здесь должно стоять не первоначальное значение $n$, а предельное значение функции $n(a)$. Вот и найдите его. Только тогда получите право писать

Цитата:

Vadim44 в сообщении #1266792

писал(а):
теорема Ферма доказана.

Если у Вас такое желание ещё останется.

[Vadim44]

grizzly
Целое $ n $ получается из решения $\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$
при $ a = 1$ и целых $ x_0 $ $ y_0 $ после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя.

[shwedka]

Vadim44 в сообщении #1266963 писал(а):

grizzly
Целое $ n $ получается из решения $\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$
при $ a = 1$ и целых $ x_0 $ $ y_0 $ после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя.

Получается не $n$, которое стоит в уравнении Ферма,
а
$\lim_{a\to 1}n(a)$
Равенство этих величин Вы доказать не можете.

[grizzly]

Vadim44 в сообщении #1266963 писал(а):

Целое $ n $ получается из решения $\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$

Даже если получится целое -- как это используется в доказательстве?
Вопрос: в каком именно месте доказательства используется условие, что $n$ -- натуральное?

Впрочем, я не указываю Вам на ошибку в доказательстве. На них указали shwedka и Someone. Это попытка пошатнуть Вашу уверенность.

[Shadow]

ishhan в сообщении #1266833 писал(а):

Откуда взялся этот нетривиальный подход?

Можно я отвечу? - Тупой развод с делением на 0. (см. мое доказательство рациональности $\sqrt 2$)

[Someone]

Vadim44 в сообщении #1266944 писал(а):

если Вы сами не можете получить выражение функции $ n ( a ) $ , то извольте
$\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$

Получить требуемое выражение я мог ещё тогда, когда был школьником, и за пятьдесят лет не разучился это делать. А Вы написали неверное выражение.

Vadim44 в сообщении #1266963 писал(а):

grizzly
Целое $ n $ получается из решения $\ n ( a ) = 1 + \frac{\ln( \frac {\sin(2 \pi a x_0)}{\sin(2 \pi a y_0)} ) } {\frac{x_0 }{y_0}}$

Это неверно.

Vadim44 в сообщении #1266944 писал(а):

Если Вам от этого станет легче, то считайте,
что я напишу очередной безграмотный текст,
что обозначено номерами (3) и (4) — это вовсе никакие не условия,
что (3) и (4) — никакие не уравнения,
что (5) и (6) — не уравнения,
что я безграмотный и это меня не оправдывает,

Пока Вы не даёте повода усомниться в вашей безграмотности. Вы бы всё-таки почитали учебники. То, что я написал по поводу (3), (4), (5), (6) — правда. (3) и (4) — это не условия и не уравнения, а выражения для частных производных. (5) и (6) — не уравнения, поскольку в уравнении должны быть две части — левая и правая, а между ними — знак равенства. Условие может выражаться уравнением.

Так какое правильное выражение для $n(a)$, и каков у него предел при $a\to 1$? От результата зависит, получается у Вас доказательство или нет. Кстати, правило Лопиталя при вычислении предела применять не обязательно, достаточно знать про первый замечательный предел.

[vxv]

shwedka в сообщении #1266957 писал(а):

Утверждение не доказано, более того, вызывает большое сомнение.

Не вызывает.

[Someone]

vxv в сообщении #1267204 писал(а):

shwedka в сообщении #1266957 писал(а):

Утверждение не доказано, более того, вызывает большое сомнение.

Не вызывает.

Какое именно утверждение не вызывает у Вас сомнения?

[ishhan]

Shadow в сообщении #1266988 писал(а):

Тупой развод с делением на 0. (см. мое доказательство рациональности $\sqrt 2$)

Shadow
Согласен, но я бы добавил, что ЗУ обратили излишне пристальное внимание на детали "тупого развода" и не слишком пристальное о том "откуда это взялось" и какие имеет следствия.
С уважением ко всем участникам обсуждения и ТС.

[Vadim44]

Уважаемые форумчане, приношу свои извинения за то, что не мог
без опечаток изложить доказательство теоремы ферма (очень волновался),
в формулах пропущена правая часть уравнений «=0»
Привожу исправленный текст доказательства теоремы Ферма

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма
$\ x^n+y^n=z^n. \ (1)$
Рассмотрим функцию переменных $ x $ , $ y $ , $ n $ и $ a $ .
$ F(x,y,n,a)=\sin^2(\pi a z)\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi n) \geq 0 , \ (2)$
где $ z = \sqrt[n]{x^n+y^n} $ .
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма обращают
функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2)
имеет локальные минимумы.
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (2):
$\frac{\partial F}{\partial x_0}=\pi a \ x^{n-1} \ z^{1-n}\ \sin(2 \pi a z)+\pi a\sin(2\pi a x) = 0 ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y_0}=\pi a \ y^{n-1} \ z^{1-n}\ \sin(2 \pi a z)+\pi a\sin(2\pi a y) = 0 .\ (4)$
Будем искать координаты минимума функции (2) во множестве
натуральных координат, поэтому запишем необходимые условия существования экстремума
функции (2) в точках с целыми координатами $ x_0$ и $ y_0$
для чего координаты $ x_0$ и $ y_0$ подставим в уравнения (3) и (4).
Тогда получим
$\pi a \ x_0^{n-1} \ z_0^{1-n}\ \sin(2 \pi a z_0)+\pi a\sin(2\pi a x_0) = 0 ,\ (5)$
$\pi a \ y_0^{n-1} \ z_0^{1-n}\ \sin(2 \pi a z_0)+\pi a\sin(2\pi a y_0) = 0 .\ (6)$
где $ z_0 = \sqrt[n]{x_0^n+y_0^n} $ .
Таким образом, получили два уравнения с переменными $ n $ и $ a $ и
постоянными коэффициентами $ x_0$ и $ y_0$.
В эти уравнения входит неопределенное число $\ z_0 = \sqrt[n]{(x_0^n+y_0^n)}$
неопределенное в смысле того, какое значение оно принимает
целое или иррациональное. Чтобы исключить это число
преобразуем уравнения (5) и (6) к виду:
$\frac{x_0^{n-1}}{y_0^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x_0)}{\sin(2\pi a y_0)} .\ (7)$
Уравнение (7) можно рассматривать как неявную функцию переменных $ n $ и $ a $,
то есть это уравнение позволяет найти нам функцию $ n ( a ) $, в которой $ x_0$ и $ y_0$
постоянны и не зависят от переменной $ a $.
В этом случае отношение $ \sin(2\pi a x_0) \ / \sin(2\pi a y_0) $
при $ a=1 $ не определено, но имеет вполне определенный смысл при
значениях $ a \neq 1 $ . Следовательно, может быть поставлен вопрос
о разыскании предела этого отношения при $ a \to 1 $ . Если
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, придем к уравнению
$\frac{x_0^{n-1}}{y_0^{n-1}} =\frac{x_0}{y_0} .\ (8)$
При $ x_0 $ и $ y_0 $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (8) противоречиво
и поэтому функция (2) в этих точках не может иметь минимума,
а, следовательно, и нет таких натуральных чисел, которые бы
удовлетворяли уравнению (1).
Таким образом, теорема Ферма доказана.

[shwedka]

Vadim44 в сообщении #1267670 писал(а):

придем к уравнению
$\frac{x_0^{n-1}}{y_0^{n-1}} =\frac{x_0}{y_0} .\ (8)$
При $ x_0 $ и $ y_0 $, равными различным натуральным числам,

Это уже повторение.
В пределе Вы получите не (8,) а
$\frac{x_0^{n_0-1}}{y_0^{n_0-1}} =\frac{x_0}{y_0} ,\ (8)$
где
$n_0=\lim_{a\to 1}n(a)$.
Да, действительно,
$n_0=2,$
ну и пусть. О показателе $n$ это ничего не говорит.
Вам очень хочется сказать, что $n=n_0$!
Доказывайте!