Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994

[Vadim44]

Доказательство теоремы Ферма
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма
$\ x^n+y^n=z^n. \ (1)$
$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y). \ (2)$
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма обращают
функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2) имеет минимум.
Запишем необходимые условия существования экстремума:
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$
Преобразуем уравнения (3) и (4) к виду:
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
Уравнения (3), (4) и (5) В точках минимума функции (2)
должны удовлетворяться при любых значениях $ a. $
Будем искать координаты минимума функции (2) во множестве
натуральных чисел. В этом случае отношение $ \sin(2\pi a x) \ / \sin(2\pi a y) $
при $ a=1 $ не определено, но имеет вполне определенный смысл при
значениях $ a \neq 1 $ . Следовательно может быть поставлен вопрос
о разыскании предела этого отношения при $ a \to 1 $ . Если
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, придем к уравнению
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (6) противоречиво
и поэтому функция (2) в этих точках не может иметь минимума,
а, следовательно, и нет таких натуральных чисел, которые бы
удовлетворяли уравнению (1).
Таким образом, теорема Ферма доказана.

[provincialka]

Переход в пределу -- опасная операция. Совсем не всегда дает правильный результат. Это нужно отдельно доказывать.

[shwedka]

Красиво, но неверно.
Корни системы (3,4) зависят от $ a$,
поэтому при вычислении предела по Лопиталю нужно это зависимость учитывать.
Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от $ a$

[provincialka]

shwedka
О! Точно, а я и не обратила внимание! В общем, хоть и неверно, но зато не банально.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Любой результат, как верный, так и неверный, должен быть оформлен по правилам форума.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено. См. также
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

[Sender]

shwedka в сообщении #1262732 писал(а):

Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от $ a$

А строчкой выше и синус при дифференцировании потеряли, но это так, мелочи.

[Vadim44]

Уважаемые Shwedka и Sender!
Благодарю Вас за ценные замечания.
Признаю, что в формулах (3) и (4) потеряны в первых слагаемых сомножители
$\\sin(2\pi a x)$ и $\\sin(2\pi a y)$
Формулы (3) и (4) должны быть записаны так
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$
Подскажите как исправить эти опечатки,
в теме не предусмотрена правка контента.
Буду Вам очень признателен
Vadim44

[Vadim44]

provincialka!
Доказательство и красивое, и верное! Подчеркиваю, что приведенное доказательство краткое (ставилась задача изложить суть доказательства теоремы Ферма
на одном листе), поэтому опускались доказательства элементарных и очевидных (на мой взгляд) фактов. Постараюсь популярно объяснить Ваши заблуждения.
Да, при вычислении предела переменные $\ x $ и $\ y $ осознано полагались не зависящими от параметра $\ a $ . Если переменные $\ x $ и $\ y $
будут зависеть от параметра $\ a $ , то неявная функция (5), зависящая от четырех переменных $\ x $ , $\ y $ и $\ n $ и $\ a $ , будет являться
необходимым условием существования экстремума функции (2) во всех (любых) точках пространства переменных $\ x $ и $\ y $ .
В рассматриваемом случае записаны необходимые условия существования экстремума функции (2) в произвольной (одной, фиксированной) точке
с целыми координатами $\ x $ и $\ y $ . Именно поэтому $\ x $ и $\ y $ будут независимыми от параметра $\ a $ . Эти условия можно
обобщить на все точки с целыми координатами.
В доказательстве решается задача установления точек , в которых функция (2) не может иметь экстремумы.
Для того, чтобы доказать, что в данной точке функция (2) не может иметь экстремум, необходимо показать,
что хотя бы одно из необходимых условий существования экстремума при подстановке в уравнение координат этой точки
не имело бы решений или имело бы решения, которые (все) не могут быть координатами экстремума функции (2)

[wrest]

Vadim44 в сообщении #1265781 писал(а):

Формулы (3) и (4) должны быть записаны так
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2\pi a x)\ +\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2\pi a y)\ +\pi a\sin(2\pi a y) ,\ (4)$

А разве теперь не нужно записать ваши формулы (5) и (6)

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):

$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):

$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$

Как
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} \frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)}=\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5')$
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =1 \ (5'')$

$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =1\ (6')$

И соответственно, утверждение

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):

При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (6) противоречиво

Записать как
+++
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 1 $ ,в том числе и при $ \ n=2 $, уравнение (6') противоречиво
+++

[Vadim44]

wrest!
Не ошибается тот, кто ничего не делает.
Опечатки возможны у всех, потому, что все человеки, а не роботы.
Надо смотреть первоисточник.
Все опечатки в теме и в сообщениях исправлены.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

[wrest]

Vadim44
Поясните пож-ста как из (3) и (4) получилось (5)?

[mihaild]

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):

Преобразуем уравнения (3) и (4) к виду:
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$

Можете расписать преобразование подробнее?

shwedka в сообщении #1262732 писал(а):

Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от $ a$

Там разве дифференцирование? Я подумал, что частные производные в равенствах заменяются на $0$, а дальше переносим слагаемое в левую часть и делим одно равенство на другое (не забыв при делении сократить на ноль).

Vadim44, вы заодно доказали отсутствие решений и при $n = 1$. Подставьте $x = 1, y = 2, z = 3, n = 1$ и ищите, какой переход неверен.