2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение06.11.2017, 13:06 


05/11/17
53
Доказательство теоремы Ферма
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма
$\ x^n+y^n=z^n. \ (1)$
$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y). \ (2)$
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения Ферма обращают
функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2) имеет минимум.
Запишем необходимые условия существования экстремума:
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$
Преобразуем уравнения (3) и (4) к виду:
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
Уравнения (3), (4) и (5) В точках минимума функции (2)
должны удовлетворяться при любых значениях $ a. $
Будем искать координаты минимума функции (2) во множестве
натуральных чисел. В этом случае отношение $ \sin(2\pi a x) \ / \sin(2\pi a y) $
при $ a=1 $ не определено, но имеет вполне определенный смысл при
значениях $ a \neq 1 $ . Следовательно может быть поставлен вопрос
о разыскании предела этого отношения при $ a \to 1 $ . Если
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, придем к уравнению
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (6) противоречиво
и поэтому функция (2) в этих точках не может иметь минимума,
а, следовательно, и нет таких натуральных чисел, которые бы
удовлетворяли уравнению (1).
Таким образом, теорема Ферма доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение06.11.2017, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Переход в пределу -- опасная операция. Совсем не всегда дает правильный результат. Это нужно отдельно доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение06.11.2017, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3522
Швеция
Красиво, но неверно.
Корни системы (3,4) зависят от $ a$,
поэтому при вычислении предела по Лопиталю нужно это зависимость учитывать.
Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от $ a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение06.11.2017, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
shwedka
О! Точно, а я и не обратила внимание! В общем, хоть и неверно, но зато не банально.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.11.2017, 14:23 
Модератор


20/03/14
7799
 i  Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Любой результат, как верный, так и неверный, должен быть оформлен по правилам форума.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено. См. также
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.11.2017, 13:39 
Модератор


20/03/14
7799
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 14:04 
Заслуженный участник


14/01/11
1695
shwedka в сообщении #1262732 писал(а):
Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от $ a$

А строчкой выше и синус при дифференцировании потеряли, но это так, мелочи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 15:07 


05/11/17
53
Уважаемые Shwedka и Sender!
Благодарю Вас за ценные замечания.
Признаю, что в формулах (3) и (4) потеряны в первых слагаемых сомножители
$\\sin(2\pi a x)$ и $\\sin(2\pi a y)$
Формулы (3) и (4) должны быть записаны так
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$
Подскажите как исправить эти опечатки,
в теме не предусмотрена правка контента.
Буду Вам очень признателен
Vadim44

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 16:11 


05/11/17
53
provincialka!
Доказательство и красивое, и верное! Подчеркиваю, что приведенное доказательство краткое (ставилась задача изложить суть доказательства теоремы Ферма
на одном листе), поэтому опускались доказательства элементарных и очевидных (на мой взгляд) фактов. Постараюсь популярно объяснить Ваши заблуждения.
Да, при вычислении предела переменные $\ x $ и $\ y $ осознано полагались не зависящими от параметра $\ a $ . Если переменные $\ x $ и $\ y $
будут зависеть от параметра $\ a $ , то неявная функция (5), зависящая от четырех переменных $\ x $ , $\ y $ и $\ n $ и $\ a $ , будет являться
необходимым условием существования экстремума функции (2) во всех (любых) точках пространства переменных $\ x $ и $\ y $ .
В рассматриваемом случае записаны необходимые условия существования экстремума функции (2) в произвольной (одной, фиксированной) точке
с целыми координатами $\ x $ и $\ y $ . Именно поэтому $\ x $ и $\ y $ будут независимыми от параметра $\ a $ . Эти условия можно
обобщить на все точки с целыми координатами.
В доказательстве решается задача установления точек , в которых функция (2) не может иметь экстремумы.
Для того, чтобы доказать, что в данной точке функция (2) не может иметь экстремум, необходимо показать,
что хотя бы одно из необходимых условий существования экстремума при подстановке в уравнение координат этой точки
не имело бы решений или имело бы решения, которые (все) не могут быть координатами экстремума функции (2)

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 16:25 


05/09/16
2432
Vadim44 в сообщении #1265781 писал(а):
Формулы (3) и (4) должны быть записаны так
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2\pi a x)\ +\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2\pi a y)\ +\pi a\sin(2\pi a y) ,\ (4)$

А разве теперь не нужно записать ваши формулы (5) и (6)
Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
Как
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} \frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)}=\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5')$
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =1 \ (5'')$

$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =1\ (6')$

И соответственно, утверждение
Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (6) противоречиво
Записать как
+++
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 1 $ ,в том числе и при $ \ n=2 $, уравнение (6') противоречиво
+++

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 17:32 


05/11/17
53
wrest!
Не ошибается тот, кто ничего не делает.
Опечатки возможны у всех, потому, что все человеки, а не роботы.
Надо смотреть первоисточник.
Все опечатки в теме и в сообщениях исправлены.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.11.2017, 18:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12568
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.11.2017, 20:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12568
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 20:57 


05/09/16
2432
Vadim44
Поясните пож-ста как из (3) и (4) получилось (5)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1574
Москва
Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):
Преобразуем уравнения (3) и (4) к виду:
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
Можете расписать преобразование подробнее?

shwedka в сообщении #1262732 писал(а):
Авторы же дифференцуют в 5, как если бы эти корни не зависели от $ a$
Там разве дифференцирование? Я подумал, что частные производные в равенствах заменяются на $0$, а дальше переносим слагаемое в левую часть и делим одно равенство на другое (не забыв при делении сократить на ноль).

Vadim44, вы заодно доказали отсутствие решений и при $n = 1$. Подставьте $x = 1, y = 2, z = 3, n = 1$ и ищите, какой переход неверен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 156 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group