Уважаемая Shwedka!
Вы пишете
Vadim44
В связи с происшедшими изменениями и толкованиями, поместите теперь новейшую версию Вашего 'доказательства'.
С удовольствием это сделаю. Давайте начнем с чистого листа.
Неприятие моего доказательства теоремы Ферма связано с путаницей и разночтением
трактования переменных

и

и толкованием функции (5)

.
В уравнениях (3,4,5) путают все множество координат точек экстремумов и
координаты экстремума в произвольной точке.
В уравнениях (3,4,5) путают координаты экстремума в произвольной точке и
координаты экстремума в произвольной точке с целыми координатами

и

.
В функции (5) путают зависимость

и

от параметра
с независимостью

и

от параметра

.
А путают потому, что различные переменные обозначены одинаковыми буквами,
в одних случаях переменные

и

рассматриваются как независимые,
а в других как зависимые.
И так начнем!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма

Рассмотрим функцию двух переменных

и

и двух параметров

и

.
![$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y). \ (2)$ $ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y). \ (2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/1/ac1c8945ef2f637de5ca262cd13b29eb82.png)
Очевидно, что при

корни уравнения Ферма обращают
функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2)
имеет локальные минимумы.
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (2):
![$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a x) ,\ (3)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/7/6a7171ce6a3326370f0d7aa60b1e757c82.png)
![$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$ $\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/1/4d16c2b661a5072e1667016d84e9263e82.png)
Будем искать координаты минимума функции (2) во множестве
натуральных координат.
Теперь запишем необходимые условия существования экстремума
функции (2) в точках с целыми координатами

и
для чего координаты

и

подставим в уравнения (3) и (4).
Тогда получим
![$\pi x_0^{n-1}\sqrt[n]{{(x_0^n+y_0^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x_0^n+y_0^n})+\pi a\sin(2\pi a x_0) ,\ (5)$ $\pi x_0^{n-1}\sqrt[n]{{(x_0^n+y_0^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x_0^n+y_0^n})+\pi a\sin(2\pi a x_0) ,\ (5)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/1/e0113b1ae1b85bfabe2c04e30814b67c82.png)
![$\pi y_0^{n-1}\sqrt[n]{{(x_0^n+y_0^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x_0^n+y_0^n})+\pi a\sin(2\pi a y_0) .\ (6)$ $\pi y_0^{n-1}\sqrt[n]{{(x_0^n+y_0^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x_0^n+y_0^n})+\pi a\sin(2\pi a y_0) .\ (6)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/d/a2d07fce1e8fdf40e4ba560585206ee982.png)
Таким образом, получили два уравнения с переменными

и

и
постоянными коэффициентами

и

.
В эти уравнения входит неопределенный корень
в смысле неопределенности того, какое значение он принимает
целое или иррациональное. Чтобы исключить этот корень
преобразуем уравнения (5) и (6) к виду:

Уравнение (7) можно рассматривать как неявную функцию переменных

и

,
то есть это уравнение позволяет найти нам функцию

, в которой

и

постоянны и не зависят от переменно

.
В этом случае отношение

при

не определено, но имеет вполне определенный смысл при
значениях

. Следовательно может быть поставлен вопрос
о разыскании предела этого отношения при

. Если
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, придем к уравнению

При

и

, равными различным натуральным числам, и

,в том числе и при

, уравнение (8) противоречиво
и поэтому функция (2) в этих точках не может иметь минимума,
а, следовательно, и нет таких натуральных чисел, которые бы
удовлетворяли уравнению (1).
Таким образом, теорема Ферма доказана.