2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 21:20 


05/11/17

53
Уважаемый wrest!
Уравнение (5) получается, если уравнение (3) поделить на $\pi x^{n-1}$ ,
а уравнение (4) поделить на $\pi y^{n-1}$ , затем из первого вычесть второе и
преобразовать полученное уравнение к виду уравнения (5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
mihaild в сообщении #1265884 писал(а):
Там разве дифференцирование?
Имелось в виду использование правила Лопиталя при переходе к равенству (6). А тогда нужно учитывать, что $x$ зависит от $a$ (иначе мы бы не получили (5) при $a\ne 1$).

Но в самом деле достаточно красивая попытка :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 21:58 


05/11/17

53
mihaild
Уравнение (5) не дифференцируется и не делится на 0, а находится предел правой части по правилу Лопиталя.
wrest
Уравнение (5) получается, если уравнение (3) поделить на $ \pi x^{n-1}$,
а уравнение (4) поделить на $ \pi y^{n-1}$ , затем из первого вычесть второе, и полученное уравнение преобразовать к виду
уравнения (5)
mihaild
При $ \ {n=1}$, частные производные принимают другой вид, и другой вид примет и уравнение (5),
в левой части переменные отсутствуют и левая часть будет равна 1, в этом случае Вы будите
делить на 0. Поясните пожалуйста в какое уравнение Вы подставляете значения переменных.
grizzly и mihaild
Читаете внимательно мое сообщение provincialka

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение16.11.2017, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
grizzly в сообщении #1265894 писал(а):
Имелось в виду использование правила Лопиталя при переходе к равенству (6).
Ага, я придумал свой вывод (5) из (3) и (4), с еще одной ошибкой. Но да, тут всё честно.

Vadim44 в сообщении #1265912 писал(а):
При $ \ {n=1}$, частные производные принимают другой вид, и другой вид примет и уравнение (5),
в левой части переменные отсутствуют и левая часть будет равна 1, в этом случае Вы будите
делить на 0.
Не очень понимаю, что это значит. Но производные будут иметь ровно такой же вид (будут $x$ и $y$ в степени $n - 1$, т.е. нулевой).
Предел вы находите у выражения, не зависящего от $n$, так что в итоге получите $\frac{x^0}{y^0} = \frac{x}{y}$.

Ну и да, вы получили, что если $x, y, a$ - точка экстремума $F$, то выполнено (5). Вы не можете в этом равенстве просто переходить к пределу по $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 13:40 


05/11/17

53
mihaild
Предел берется не потому, что делю 0 на 0, а потому что я ищу предел функции $ \ n(a) $ .
При $ n=1 $, уравнения (3) и (4) вырождаются и поэтому уравнение (5) уже не будет зависеть от $ n $
и поэтому искать предел функции $ \ n(a) $ нельзя. Поэтому случай, когда $ n=1 $ исключается.
Поэтому $ n>1 $.
И пожалуйста не добавляйте своих ошибок, у меня своих достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Vadim44 в сообщении #1266038 писал(а):
Предел берется не потому, что делю 0 на 0, а потому что я ищу предел функции $ \ n(a) $ .
Что за функция?

Пока что я понимаю, что (5) - необходимое условие экстремума $F$ в точке $n, x, y, a$. Что вы с ним делаете дальше?
Vadim44 в сообщении #1265785 писал(а):
неявная функция (5), зависящая от четырех переменных $\ x $ , $\ y $ и $\ n $ и $\ a $ , будет являться необходимым условием существования экстремума функции (2) во всех (любых) точках пространства переменных $\ x $ и $\ y $ .
Функция не может являться условием. А еще я не могу понять, как можно было бы поставить кванторы в этом предложении.

Ладно, не хотите $n = 1$ (хотя я всё еще не понимаю почему) - другой пример. Давайте все ваши рассуждения проводить для уравнения $x^n + y^n + z^n = v^n$. Условия на производные по $x$ и $y$ останутся почти теми же (под корнем добавится $z^n$, но корни всё равно сократятся). Тем самым вы доказали еще и гипотезу Эйлера для $n=4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 15:17 


05/11/17

53
mihaild
Давайте не будем усложнять задачу и сначала разберемся с теоремой Ферма.
Уравнения (3) и (4) одновременно являются и неявными функциями и уравнениями, как на это посмотреть.
Да, неявная функция (5) является необходимым условием существования экстремума
и в произвольной точке и в точке с целыми координатами $ x $ и $ y $ ,
не знаю будет Вам понятней или нет, если их мы обозначим $ x 0 $ и $ y 0 $, тогда
неявная функция (5) становит уравнением $ n ( a ) $ с коэффициентами
$ x 0 $ и $ y 0 $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 15:29 


05/09/16
11469
mihaild в сообщении #1266059 писал(а):
Давайте все ваши рассуждения проводить для уравнения $x^n + y^n + z^n = v^n$. Условия на производные по $x$ и $y$ останутся почти теми же (под корнем добавится $z^n$, но корни всё равно сократятся).

Это как? Будет функция от трех переменных $xyz$, три частных производных, система из трех уравнений - и почти ничего не поменяется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Vadim44 в сообщении #1266079 писал(а):
Давайте не будем усложнять задачу и сначала разберемся с теоремой Ферма.
Никто не усложняет задачу. Вам указали на ошибку. Затем Вам привели замечательный пример (такой красивый пример не так просто придумать!). Не спешите с ответом -- попытайтесь посмотреть и понять.

-- 17.11.2017, 15:37 --

wrest в сообщении #1266082 писал(а):
три частных производных, система из трех уравнений - и почти ничего не поменяется?
Зачем Вам три? Рассмотрите те же два. Да, ничего не поменяется -- вторая половина "доказательства" сохранится вообще без изменений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 16:00 


05/11/17

53
grizzly
Уточните пожалуйста, что за ошибка в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Vadim44 в сообщении #1266092 писал(а):
grizzly
Уточните пожалуйста, что за ошибка в доказательстве.
Нет, это Вы сами должны найти ошибку в следующем рассуждении. Это почти добуквенно Ваше рассуждение и Вам будет легче в нём сориентироваться. (Я подправил Вашу цитату, но оставил стиль и почти все буквы на месте, чтобы Вам было легче.) Ошибка там есть, поскольку имеется контрпример к утверждению.
Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):
$\ x^n+y^n+t^n=z^n. \ (1)$
$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n+t^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi a t). \ (2)$
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения (1) обращают
функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2) имеет минимум.
Запишем [некоторые] необходимые условия существования экстремума:
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n+t^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n+t^n})+\pi a\sin(2\pi a x),\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n+t^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n+t^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$
Преобразуем уравнения (3) и (4) к виду:
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
Уравнения (3), (4) и (5) в точках минимума функции (2)
должны удовлетворяться при любых значениях $ a. $
Будем искать координаты минимума функции (2) во множестве
натуральных чисел. В этом случае отношение $ \sin(2\pi a x) \ / \sin(2\pi a y) $
при $ a=1 $ не определено, но имеет вполне определенный смысл при
значениях $ a \neq 1 $ . Следовательно может быть поставлен вопрос
о разыскании предела этого отношения при $ a \to 1 $ . Если
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, придем к уравнению
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (6) противоречиво
и поэтому функция (2) в этих точках не может иметь минимума,
а, следовательно, и нет таких натуральных чисел, которые бы
удовлетворяли уравнению (1).


-- 17.11.2017, 16:18 --

Вот пример, в котором все числа различны
$2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 17:14 


05/11/17

53
grizzly
А почему Вы рассмотрели только два условия существования экстремумов функции (2)
и не рассмотрели третье -производную по $ t $ .
В этом случае у Вас будет не одно уравнение (5), а система уравнений (5) и (5').
А Вы рассматриваете только одно уравнение, когда надо решать систему.
Пока довольно, что Вы на это скажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Vadim44
Вы задали резонный вопрос и я уже отвечал на него выше другому участнику.
Чуть подробнее. Да, мы можем выписать все 3 уравнения. Но поскольку каждое из них в отдельности является необходимым условием, мы можем для начала рассмотреть только первые 2. Из них мы получили $x=y$. Это противоречит знаменитому контрпримеру (см. выше). Следовательно, мы уже пришли к противоречию и последнее условие просто нет необходимости рассматривать (потому я его и не выписывал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 18:09 


05/11/17

53
grizzly
В Вашем случае при нахождении производных по правилу Лопиталя уже нельзя
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .
Поэтому уравнение $\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$ Вы не получите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994
Сообщение17.11.2017, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Vadim44
Вы верно нашли ошибочное место. В Вашем случае -- та же проблема.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 156 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group