Для изучения функции (2) рассмотрим ПРИЛОЖЕНИЕ I доказательства теоремы Ферма
ПРИЛОЖЕНИЕ I
В уравнении (7) можно в явном виде исключить переменную
и получить функцию переменной
при фиксированных натуральных
и
.Тогда получим уравнение (8)
.
Уравнение (8), так же как и уравнение (7), является необходимым условием существования экстремума функции (2) в произвольной точке с целыми координатами
и
.
Уравнение (8) так же можно рассматривать и как функцию
при фиксированных натуральных
и
.
Функция (8)
в ближайшей окрестности от точки
непрерывная, а в точке
функции (8) не определена, но можно вычислить предел, к которому стремится
функция (8) при
, для чего надо раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя.
Раскроем неопределенность
Теперь найдем предел функции
при стремлении
.
Зависимость
показана на Рис. 1.
Теперь докажем, в точках ближайшей окрестности от точки
функция (8) имеет минимумы.
Рассмотрим произвольную точку с координатами
и
.
Теперь зададимся произвольным значением
и запишем функцию (2)
где
.
Функцию (2) можно записать и в таком виде
где
при фиксированных
,
и
, то есть не зависят от
Функция
- синусоида, которая будет иметь минимум при
,
которое зависит от заданного значения
, то есть мы получаем зависимость
.
При изменении
изменяется и
, в которой функция будет иметь минимум.
То есть доказали, что каждому
соответствует свое
и свой минимум функции (2),
остается открытым только вопрос чему равен минимум функции (2), то есть равен минимум функции (2)
нулю или нет. То есть доказали, что в окрестности точки
функция (2) имеет минимумы,
координаты которого
при заданных
и
зависят от
.
На Рис.2 показано как перемещаются минимумы функции (2) в пространстве при изменении
.
Если приравнять функцию (2) нулю, то получим уравнение (9)
где
.
корнями уравнения (9) могут быть только целые числа,
то есть корнями уравнения (9) могут быть только корни уравнения Ферма.
Выводы:
1. Предел функции (8)
независимо от значений
и
равен 2, то есть
.
2. Переменная
и
, но рассматривать можно только целые значения
3. При значениях нецелых
функция (2) больше 0.
4. Чтобы функция (8)
была непрерывной, ее необходимо доопределить значением
.
5. Только значение корня
уравнения Ферма равно пределу функции (8)
,
другие корни уравнения Ферма, если они существуют, не равны пределу функции (8)
.