Гипотеза Римана

[atlakatl]

Skipper в сообщении #1234851 писал(а):

Тогда возможно ли, введение какой то принципиально новой аксиомы в математику, к примеру для того чтобы ее доказать?

Теорема Гёделя о неполноте говорит, что недоказуемые формулы будут при любой системе аксиом.
И если ГР не доказывается столько времени, то, возможно, она к этому классу относится.
Вводить новую аксиому, чтобы доказать ТГ, никто не будет. А будут веские основания, ведут.

[Anton_Peplov]

atlakatl в сообщении #1234869 писал(а):

Теорема Гёделя о неполноте говорит, что недоказуемые формулы будут при любой системе аксиом.

В (достаточно богатой) формальной теории с перечислимым множеством аксиом - да. О неформальных теориях ни одна теорема Гёделя ничего не сообщает. Over 99% современной математики не формализовано. Доказательство гипотезы Римана ищут неформальное. То, что доказательство долго не удается найти - слабый аргумент за то, что его не существует (доказательство теоремы Ферма-то сколько искали, а?).
Не путайтесь сами и не путайте человека.

-- 20.07.2017, 18:03 --

Skipper в сообщении #1234851 писал(а):

А может ли такое быть, что вот, с нынешней системой аксиом во всей математике, ГР верна но недоказуема?

У "всей математики" нет единой системы аксиом. Есть много разных аксиоматик той же теории множеств.
Исторически первой аксиоматикой теории множеств стала аксиоматика Цермело-Френкеля (ZF). Впоследствии было доказано, что т.н. "аксиому выбора" невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZF. Соответственно, можно получить три разных аксиоматики - собственно ZF, ZF с аксиомой выбора (ZFC) и ZF с отрицанием аксиомы выбора. Так что исторически случаи расширения аксиоматики известны.

Есть консенсус, что почти всю существующую математику можно формализовать в теории множеств с аксиомами Цермело-Френкеля и аксиомой выбора (ZFC), но де-факто этим никто не занимается (доказательства обычно вообще не формализуют, а если формализуют, то более удобными средствами, чем ZFC). Теоретически можно допустить, что когда-нибудь будет доказано: гипотезу Римана невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZFC. Тогда, кроме ZFC, можно будет рассмотреть две новые теории: ZFC с аксиомой Римана (ZFCR) и ZFC с ее отрицанием. Собственно, их можно рассмотреть и сейчас, но, если гипотеза Римана доказуема / опровержима в ZFC, одна из этих теорий окажется противоречивой.

Но, естественно, никто не будет вводить аксиому "гипотеза Римана верна" только для того, чтобы из нее в один ход доказать (ссылкой на аксиому), что гипотеза Римана верна. Это сделают, только если у этой аксиомы будет много других интересных следствий.

[Skipper]

Цитата:

гипотезу Римана невозможно ни доказать, ни опровергнуть в ZFC.

Тогда она верна! Вот что получается..
Это немного другой случай, нежели "аксиома выбора". Её-то может и нельзя и доказать и опровергнуть.

А гипотеза Римана, только если она неверна, то опровергается контрпримером - нулем вне критической прямой.

А вот именно если она верна, то может не существовать "в природе" доказательства ни в ZF, ни в ZFC ни в ZF с отрицанием аксиомы выбора,
а бесконечное количество нулей перебрать невозможно.
И если это так - человечество то истину никогда не узнает в таком случае. Вот это и есть самое неприятное и страшное в науке.

(т.е. гипотеза верна или нет, но мы об этом никогда не узнаем, если верна, но не существует, в природе доказательства).
Вот тогда и придется вводить или
ZFC с аксиомой Римана (ZFCR) или ZFC с ее отрицанием

Цитата:

Но, естественно, никто не будет вводить аксиому "гипотеза Римана верна" только для того, чтобы из нее в один ход доказать
(ссылкой на аксиому), что гипотеза Римана верна. Это сделают, только если у этой аксиомы будет много других интересных следствий.

Интересных следствий то много, только от недоказуемости ГР, следует также, что и следствия из нее будут недоказуемы.
Т.е. не раздел математики получается, а некая "вера" - я верю что верна, а кто то нет.
Так ?

-- Чт июл 20, 2017 17:43:12 --

Цитата:

Есть консенсус, что почти всю существующую математику можно формализовать в теории множеств с аксиомами
Цермело-Френкеля (ZFC), но де-факто этим никто не занимается

Ну так может быть, ее стоит формализовать, если неформальное доказательство получить не получится?

И кстати, интересно еще вот что.
Предположим, ГР формализовали, и доказали что,

2) в ZF с аксиомой выбора (ZFC) - гипотеза Римана верна - и найдено доказательство.
3) а в ZF с отрицанием аксиомы выбора. - гипотеза Римана не верна - и найдено доказательство (но не контрпример с явным нулем вне критической прямой).

И кому тогда верить, ZF с аксиомой выбора (ZFC) ? или ZF с отрицанием аксиомы выбора ?
:)

[Anton_Peplov]

Skipper в сообщении #1234902 писал(а):

А гипотеза Римана, только если она неверна, то опровергается контрпримером - нулем вне критической прямой.

А континуум-гипотеза, если она неверна, опровергается контрпримером - множеством, имеющим мощность больше счетной и меньше континуальной. Аналогия понятна?

Думаете, комплексные числа - что-то куда более конкретное и осязаемое, чем эти ваши абстрактные мощности? Ну-ну. Говорите, число, опровергающее гипотезу Римана, достаточно предъявить? А что это такое - предъявить? Выписать все знаки иррационального числа невозможно. Предъявить алгоритм, выписывающий любой знак невычислимого числа, невозможно. Контрпример вполне может оказаться таким хитровыдуманным, что встанет вопрос,в каком смысле мы можем утверждать, что это число "существует". И придется сводить его построение к некоторой аксиоматике, той же ZFC.

-- 20.07.2017, 18:50 --

Skipper в сообщении #1234902 писал(а):

Ну так может быть, ее стоит формализовать, если неформальное доказательство получить не получится?

И дальше что? Думаете, формальное доказательство проще искать, чем неформальное? Сильно заблуждаетесь.

Сначала находится неформальное доказательство, а потом оно переписывается на формальном языке, чтобы убедиться, что в нем нет ошибок. Только так. Правда, можно, конечно, формализовать гипотезу Римана и перебирать цепочки рассуждений в ZFC, пока одна из них не окажется ее доказательством. Если гипотеза Римана доказуема в ZFC, этот алгоритм даже когда-нибудь остановится. Скажем, через $100^{100^{100}}$ лет.

-- 20.07.2017, 18:58 --

Skipper в сообщении #1234902 писал(а):

И кстати, интересно еще вот что.
Предположим, ГР формализовали, и доказали что,

2) в ZF с аксиомой выбора (ZFC) - гипотеза Римана верна - и найдено доказательство.
3) а в ZF с отрицанием аксиомы выбора. - гипотеза Римана не верна - и найдено доказательство (но не контрпример с явным нулем вне критической прямой).

И кому тогда верить, ZF с аксиомой выбора (ZFC) ? или ZF с отрицанием аксиомы выбора ? :)

Что значит "верить"? Верят, что ребенок не от соседа. А системы аксиом выбирают на свое усмотрение - нет "правильных" и "неправильных", есть интересные и не. Вот ZF с отрицанием аксиомы выбора никому, кроме некоторых сумасшедших специалистов по основаниям математики, не интересна - т.к. многие нужные даже в матане и линале за первый курс доказательства в полный рост используют аксиому выбора.
А в описанном Вами случае просто будет доказано, что гипотеза Римана равносильна аксиоме выбора. И она пополнит теплую компанию ее равносильных формулировок, где уже пьют чай лемма Цорна и теорема о полном упорядочивании любого множества.

[Skipper]

Ясно, спасибо, хоть что то прояснилось.
Но а аксимы то сами (выбора к примеру) - могут быть в будущем опровергнуты?
Не может же быть "двух течений" - ZF с аксиомой выбора (ZFC)
и ZF с отрицанием аксиомы выбора.

Одна из них должна быть неверной.

[Anton_Peplov]

Skipper в сообщении #1234910 писал(а):

Не может же быть "двух течений" - ZF с аксиомой выбора (ZFC)
и ZF с отрицанием аксиомы выбора.

Одна из них должна быть неверной.

Ну елки да ежи! Вы про геометрию Евклида/Лобачевского/абсолютную что-нибудь слышали?

[Skipper]

Цитата:

Вы про геометрию Евклида/Лобачевского/абсолютную что-нибудь слышали?

Слышал. Там вроде как, они не противоречат друг другу. Просто у каждой своя область (применения).

А в приведенном мной примере -

Цитата:

2) в ZF с аксиомой выбора (ZFC) - гипотеза Римана верна - и найдено тому доказательство.
3) а в ZF с отрицанием аксиомы выбора. - гипотеза Римана не верна - и найдено тому доказательство (но не контрпример с явным нулем вне критической прямой).

явное противоречие. Т.е. по ZFC кто то найдет доказательство, и все поверят, что гипотеза верна.
А потом кто то найдет явный нуль вне критической прямой - и всё, ZFC можно будет отправить на свалку истории?

Или может я что то не так понимаю..

[Anton_Peplov]

Skipper в сообщении #1234914 писал(а):

Т.е. по ZFC кто то найдет доказательство, и все поверят, что гипотеза верна.
А потом кто то найдет явный нуль вне критической прямой - и всё, ZFC можно будет отправить на свалку истории?

Да, именно так. Это будет говорить ни больше ни меньше о том, что ZFC противоречит сама себе. Придется какие-то из ее аксиом заменять на более узкие.
Это, конечно, в том случае, если доказательство и контрпример действительно формализуются в ZFC. Обычно же ситуация "нашли доказательство - все поверили - нашли контрпример" означает банальную ошибку в (неформальном) доказательстве.

[Skipper]

Спасибо.. Очень интересно.
Ну на самом деле, это преувеличение, т.е. вряд ли окажется что гипотеза Римана эквивалентна аксиоме выбора.
Но суть примерно такая.

Цитата:

Придется какие-то из ее аксиом заменять на более узкие.

Возможно, для доказательства гипотезы - необходимо будет привлечь некую новую, более "узкую" аксиому (кажущуюся логичной, очевидной,
или как Цермело сказал: "неоспоримый логический принцип").
Т.е. существующих всех аксиом, может оказаться и недостаточно для доказательства гипотезы Римана..

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1234910 писал(а):

Одна из них должна быть неверной.

Не должна. Может быть, Вам будет проще смириться с этим, представляя дело так:

ZFC (с аксиомой выбора) описывает (по-видимому) "настоящие" множества, как их понимают большинство математиков, исходя из практики применения множеств в разных разделах математики.

ZF с отрицанием аксиомы выбора - ничем не хуже, но описывает не множества, а нечто другое и странное, называя это "нечто" множествами. Слэнг такой)

Впрочем, с гипотезой континуума сложнее.

Skipper в сообщении #1234914 писал(а):

Т.е. по ZFC кто то найдет доказательство, и все поверят, что гипотеза верна.

А в математике нет понятия абсолютной истинности какого-то утверждения. Есть доказуемость в некоторой системе аксиом.
Например, правда ли, что сумма углов любого треугольника равна 180 градусов? В евклидовой геометрии да, в геометрии Лобачевского нет.
Просто ZFC - самая распространённая аксиоматическая система, хорошо соответствующая и интуитивному понятию множества, и практике использования множеств в математике. Поэтому, грубо говоря, фразу "теорема верна в системе ZFC" часто для простоты сокращают и говорят "теорема верна". Но это всё равно сокращение. Просто верность (или доказуемость) того или иного утверждения - утверждать бессмысленно без указания системы аксиом.

[Droog_Andrey]

Anton_Peplov в сообщении #1234904 писал(а):

А что это такое - предъявить? Выписать все знаки иррационального числа невозможно. Предъявить алгоритм, выписывающий любой знак невычислимого числа, невозможно.

Все нули дзета-функции вычислимы.

Mikhail_K в сообщении #1234917 писал(а):

ZFC (с аксиомой выбора) описывает (по-видимому) "настоящие" множества, как их понимают большинство математиков, исходя из практики применения множеств в разных разделах математики.

ZF с отрицанием аксиомы выбора - ничем не хуже, но описывает не множества, а нечто другое и странное, называя это "нечто" множествами. Слэнг такой)

"Настоящесть" и там, и там условная. Если заменить аксиому выбора на аксиому детерминированности, то становится чуток "физичнее". Но всё равно это условности.

А вообще это всё тут офтоп.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #1234925 писал(а):

"Настоящесть" и там, и там условная.

Разумеется, не спорю. Я не утверждал что-то определённое, а советовал, какое представление может помочь Skipper'у преодолеть его "внутренний диссонанс".

(аксиома детерминированности)

Не буду развивать оффтопик, однако "множества", подчиняющиеся аксиоме детерминированности вместо аксиомы выбора, лично моей интуиции множествами не кажутся.

[Anton_Peplov]

Droog_Andrey в сообщении #1234925 писал(а):

Все нули дзета-функции вычислимы.

Круто! Не знал.

[Droog_Andrey]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1234928 писал(а):

"множества", подчиняющиеся аксиоме детерминированности вместо аксиомы выбора, лично моей интуиции множествами не кажутся.

А можно хотя бы два примера?

[Skipper]

Что получается:

1) если ГР неверна, и можно указать вычислимый нуль вне критической прямой (т.е. алгоритм для нахождения любой сколь угодно
длинной последовательности знаков мнимой части аргумента функции, при котором она обращается в нуль) -
то ложность ГР доказуема в ZFC.

2) если ГР верна, и можно найти доказательство отсутствия нулей, в рамках аксиом -
то истинность ГР доказуема в ZFC.

3) если и истинность и ложность ГР - недоказуемы в ZFC, то или а) ГР верна, но человечество никогда об этом не узнает,
или б) ГР может быть и неверна, но невозможно построить ни одного вычислимого нуля, вне критической прямой.

Тогда, всё что остаётся - расширить саму систему аксиом ZFC, по которой она будет или верна или нет.
Обычно новые аксиомы вводятся только в случае, когда мы сталкиваемся с чем то очевидным (как в примере с аксиомой выбора).
Саму новую аксиому "ГР верна" - очевидно, вводить никогда не будут, потому что это совсем не очевидное утсверждение,
а вот некую более узкую аксиому, которая покажется нам совсем очевидной - могут и ввести, расширив при этом ZFC,
и на основе ее - уже доказать истинность или ложность гипотезы.

4) Но поскольку,
Есть консенсус, что почти всю существующую математику можно формализовать в теории множеств с аксиомами Цермело-Френкеля (ZFC)

сколько? 99% (?) - математики (алгебра, анализ, любая геометрия (все таки там изучаются прямые, плоскости, пространства и т.д. - это те же множества, и
N-мерные пространства)) - можно формализовать в ZFC, то скорее всего, ее расширять больше и не будут.
(и до последнего все доказательства в математике будут искать в рамках ZFC)

Вроде всё так?

-- Чт июл 20, 2017 19:11:41 --

Droog_Andrey, я просто задался вопросом, если за 160 лет доказать гипотезу Римана не могут, то может быть,
не хватает какой нибудь аксиомы? Вполне логичный вопрос.
Но тут убедили что ZFC, настолько хороша, что ее и расширять видимо не придется, ведь 99% математики на ней построено?