"Категорный" vs "некатегорный" подход

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1208968 писал(а):

что любая более-менее мощная техника перенесённая оттуда туда будет очень полезной.

Я рад, что не сюда.

[Chanzaa]

Metford в сообщении #1207309 писал(а):

что за него придётся слишком дорого заплатить?

Вы переоцениваете сложность категорий. Основы можно изложить всего в нескольких абзацах.

Рассмотрим ориентированный мультиграф - мультиграф это почти как обычный граф, только между двумя вершинами может быть сколь угодно много стрелок, а не только нуль или одна, как в обычном графе. Путем из начальной вершины в конечную будем называть последовательность стрелок такую, что конец очередной стрелки - начало последующей. Примем, что для каждого пути из первой вершины во вторую существует - определена, указана, - одна стрелка оттуда туда же, называемая композицией этого пути. Также примем, что в каждой вершине висит петелька, называемая тождественной стрелкой. Потребуем выполнения двух аксиом:
1. композиция всего пути не изменится, если любой подпуть заменить композицией
2. если выкинуть из пути тождественную стрелку, то композиция пути не изменится
Такой мультиграф называется категорией.

Если в качестве вершин взять всевозможные множества, в качестве стрелок - отображения множеств, то получится категория Set всех множеств. Если в качестве вершин взять всевозможные группы, в качестве стрелок - гомоморфизмы групп, то получится категория Grp всех групп. Аналогично определяются категории колец, алгебр, векторных пространств (стрелки - линейные отображения) и т.п. Не обязательно рассматривать все множества - если взять три множества и рассмотреть пять-шесть функций между ними, то это тоже получится категория, причем вполне обозримая, её можно будет даже зарисовать на бумажке.

По-другому вершины называются объекты, стрелки называются морфизмы.

Подобно тому как между группами есть гомоморфизмы, между категориями есть функторы. Функтор - это отображение первой категории во вторую, которое объекты переводит в объекты, стрелки - в стрелки, сохраняет концы стрелок и сохраняет тождественные морфизмы. А ещё функтор перестановочен с операцией композиции - если взять путь и применить функтор к композиции этого пути, то получится в точности та же самая стрелка, которая получится, если применить функтор к каждой стрелке пути по отдельности и взять композицию уже потом.

Так же быстро определяются естественные преобразования, всевозможные -измы, конусы, пределы, монады и топосы.

Metford в сообщении #1207286 писал(а):

нужен пример того, как в терминах теории категорий формулируется нечто физическое.

Самый известный пример, как мне кажется, - категории Фукая. Не знаю, насколько они просты, но, вроде бы как, вполне физичны. С теорией бран они точно связаны.

kp9r4d в сообщении #1208883 писал(а):

группы

Кстати, здесь возникает довольно наглядный пример обогащения языка.

Группой называется категория с одним объектом, в которой каждая стрелка - изоморфизм.
С обычной группой это связано так: элементы этой категории образуют группу относительно операции композции, тождественный элемент будет единицей этой группы.

Функторы из группы в Set - это в точности действия группы.
Функторы из группы в Vect - это в точности линейные представления группы.
Функторы из группы в произвольную категорию будут "действиями" этой группы на произвольной категории. Эти действия интересно исследовать, поскольку на них переносится вся интуиция, связанная с действиями и представлениями.

И ведь такая красота есть не только для групп. Например, примем, что у нас есть категория с одним объектом. Она называется кольцом, если на множестве её стрелок введена операция "плюсик", относительно которой стрелки образуют абелеву группу, и вдобавок относительно которой композиция стрелок дистрибутивна. Такая категория называется кольцом.
Так вот, модулями над этим кольцом будут в точности функторы в категорию абелевых групп. Но интуицию, связанную с модулями, можно перенести и на функторы в другие категории.

kp9r4d в сообщении #1208193 писал(а):

это более-менее невозможно без какого-либо ущемления категорий

Вроде бы для этого достаточно одного большого кардинала. Не уверен. Про это где-то написал Ловер, а где - я забыл.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

Как определить множества только в терминах теории категорий и пользуясь только её аксиоматикой.

Маклейн предложил формальный язык, содержащий логику первого порядка и несколько нелогических аксиом; аксиомы множеств в этот язык не входят. Этот язык называется "метакатегория". На этом языке (и его диалектах) можно дать чистое определение множеств, чистое определение групп и даже чистое определение категорий. Самые известные результаты здесь принадлежат Ловеру. Он предложил диалект метакатегории под названием ETAC (элементарную теорию абстрактной категории) и с его помощью сделал ETCC и ETCS - соответственно элементарную теорию категории всех категорий и элементарную теорию категории всех множеств, то есть метаязык для категорий и метаязык множеств, в которых не встречается слово "множество" и тем более "класс".

ETCS слабее ZFC. Самое заметное отличие в том, что Ловер недолюбливает аксиому подстановки и утверждает, что с её помощью можно строить "эзотерические" сущности. Вслед за Ловером эту аксиому не любит и его научная школа. Однако во-первых, все недостающие аксиомы ZFC можно добавить к ETCS, во-вторых, чистая ETCS предоставляет уже довольно-таки большой запас множеств - по меньшей мере вплоть до алеф-омеги.

Проблема здесь не в том, чтобы получить хоть какое-то определение множеств на категорном языке. Таких определений много - берем элементарный топос и добавляем к нему столько аксиом, сколько нам угодно. Проблема в том, что не получается среди большого вороха возможных топосов выбрать какой-нибудь один и назначить его естественной, самой каноничной теорией множеств. Внезапно оказывается, что у топоса, являющегося ZFC, нет никаких преимуществ по сравнению с другими топосами. Он даже не самый красивый. Повторяется та же ситуация, которая была с геометриями: есть целая россыпь геометрий на любой вкус, и выбрать из них какую-нибудь одну "правильную" - сложно.

К слову, дело не ограничивается множествами. Можно чистым языком теории категорий определить категорию всех групп, тогда понятие "группа" можно будет определить как "объект категории групп". И так для любой известной структуры. Но это не слишком интересно.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

Можно ли определить $\mathbb{N}$ действительно строго средствами теории категорий

Да, можно. Только определяются не натуральные числа, но сразу множество всех натуральных чисел: даются требования к объекту, являющиеся категорной переформулировкой аксиом Пеано. Тогда этот объект оказывается множеством натуральных чисел. Интересно, что такие объекты возникают во многих разных категориях, что даёт нетривиальные примеры множеств со структурой Пеано.

[kp9r4d]

Буду разгребать долги по чуть-чуть.

Mikhail_K в сообщении #1208930 писал(а):

Поясните всё-таки, чем Вам не нравились банаховы пространства до того, как Вы узнали о категориях. (Предыдущий Ваш ответ был именно на языке категорий и оттого непонятен мне.)
Дело в том, что у меня такое же чувство в отношении обобщённых функций, что и у Вас - но не в отношении банаховых пространств.
Что банаховы пространства бывают с самыми разнообразными свойствами, не похожими на свойства пространств гильбертовых - не понимаю, чем это плохо.

Претензии примерно следующие.
1) Для меня низкоуровневый абстрактный функциональный анализ делится на две части: науку о TVS (всякие эффекты, связанные с выпуклостью, слабой сходимостью и прочим таким) и науку о гильбертовых пространствах (соответственно, просто бесконечномерная евклидова линейная алгебра). Поэтому "банаховы пространства" для меня зависают где-то между, ровно как и какие-нибудь "локально-бочечные", "бронологические" и прочие пространства, и мне всё время было непонятно: отчего на них делают такую ставку? Как объекты - ведут себя крайне плохо, каких-то мощных теорем которые были бы прямо сверхполезными при исследовании конкретных случаев - тоже не так, чтобы были; охватывают в основном $L_p$-подобные конструкции, то есть даже языковую функцию выполняют плохо. Если теперь говорить в категорных терминах то, грубо, я не вижу какому универсальному свойству они среди всех TVS удовлетворяют (в случае с гильбертовыми не так, универсальное свойство очень простое - это, очевидно, просто копредел хаусдорфовых конечномерных TVS по вложениям).
2) Следующая претензия относится ко всему низкоуровневому функциональному анализу, и озвучу я её единственной фразой, которую запомнил с лекций по мат.анализу на первых курсах: "В функциональном анализе, чтобы сделать какое-то движение нужно применить 6 разных теорем". То есть он ужасно организован именно на уровне ООП, на уровне интерфейса. Скажем, теория меры говорит: "Если у вас есть структура пространства с мерой, то вот у вас есть функционал (на измеримых функциях) и вот он обладает такими-то хорошими свойствами - пользуетесь", в какой-нибудь гомологической алгебре то же самое: "Если у вас есть точный с какой-нибудь стороны аддитивный функтор, то можно построить последовательность производных функторов, они будут удовлетворять таким-то свойствам - пользуйтесь". В доказательствах в низкоуровневом анализе, ощущение, что постоянно приходится повторять одни и те же логические фигуры и делать очень много ритуальных танцев, скажем, чтобы доказать какое-то неравенство иногда приходится строить какие-то сети и брать какие-то ультрафильтры по ним - это следствие именно этой вот плохой организации на уровне интерфейса.
3) Ну и последнее, я вот недавно смотрел лекцию Воеводского по категорной теории вероятностей, он там приводил категорное определение мартингала через универсальное свойство и оно оказалась чуть-чуть неэквивалентно классическому. Для меня это значит ровно одно - что с классическим определением класики не угадали. Вот ощущение, что с банаховыми пространствами тоже не угадали.
Кстати, в этой же лекции он приводил довольно интересный аргумент, почему TVS слишком широкая категория, чтобы быть содержательной. Я его точно не воспроизведу, надо пересмотреть, но на спекулятивном уровне: если туда вкладывать "категорию вероятностных объектов" и "категорию квантовых объектов" то вложения будут не fully faithful, поэтому полноценно миксовать их на фреймворке TVS не выйдет. Значит, нужна более узкая категория.

GAA:

Оффтопик отделён в Чулан

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1209482 писал(а):

в случае с гильбертовыми не так, универсальное свойство очень простое - это, очевидно, просто копредел хаусдорфовых конечномерных TVS по вложениям

Хм, правда, что ли? Можете более точно сформулировать?

kp9r4d в сообщении #1209482 писал(а):

соответственно, просто бесконечномерная евклидова линейная алгебра

Я плохо понимаю, как вы будете смотреть на бесконечномерные вещи типа индекса или классификации спектральных мер с конечномерной точки зрения. Кроме того, $B(H)$ -- это в некотором смысле универсальная $C^*$-алгебра, и вложение в $B(H)$ является довольно распространённым техническим приёмом в изучении последних.

-- Пт, 14 апр 2017 11:52:19 --

kp9r4d в сообщении #1208616 писал(а):

Кстати, что мне правда хорошо запомнилось в категорном Хелемском это то, что функтор банаховой сопряженности переводит точные последовательности в точные - красивая теорема довольно.

Скажем так, это переформулировка теоремы, которая и так сама по себе несложна. Не уверен, что она так уж много байтов в мозгу экономит. Если из-за миллиона таких переформулировок вылетает, например, теорема о замкнутом графике и неограниченные операторы, то это не тру. Почти все операторы в квантовой механике неограничены, и математическая формулировка КМ была одной из причин, по которой функциональный анализ в существующем виде вообще появился.

[kp9r4d]

g______d в сообщении #1209488 писал(а):

Хм, правда, что ли? Можете более точно сформулировать?

Да вроде как. Ну, точная формулировка, скажем: пусть у нас есть индуктивная система $(V_i, \varphi_{ij})$ конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to ...$ со стрелками "вложение в первые $n-1$ координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS. (Конечно, это не очень удовлетворительная конструкция, хотелось бы, чтобы они получались "процедурой пополнения" категории евклидовых конечномерных пространств, но я ничего такого не находил, но уверен, что такое быть должно).

g______d в сообщении #1209488 писал(а):

Я плохо понимаю, как вы будете смотреть на бесконечномерные вещи типа индекса или классификации спектральных мер с конечномерной точки зрения. Кроме того, $B(H)$ -- это в некотором смысле универсальная $C^*$-алгебра, и вложение в $B(H)$ является довольно распространённым техническим приёмом в изучении последних.

Ну, как вы только что сами и упомянули, на сюжет со спектральными мерами нужно смотреть как на функциональное исчисление в $C^*$-алгебрах, и не забивать мозги себе всякими спектральными мерами.
А индекс вообще вещь дико категорная и связанная буквально с операторной К-теорией.
Про ГНС-конструкцию знаю, но я думаю вы не совсем правильно меня поняли, то, что универсальное свойство формулируется в терминах конечномерных TVS (которые сами обладают некоторым универсальным свойством) не значит, что всегда и везде на гильбертовы пространства нужно смотреть как на предел конечномерных TVS, а значит просто то, что их рассматривать вообще имеет смысл.

-- 14.04.2017, 21:42 --

g______d в сообщении #1209488 писал(а):

Скажем так, это переформулировка теоремы, которая и так сама по себе несложна. Не уверен, что она так уж много байтов в мозгу экономит. Если из-за миллиона таких переформулировок вылетает, например, теорема о замкнутом графике и неограниченные операторы, то это не тру. Почти все операторы в квантовой механике неограничены, и математическая формулировка КМ была одной из причин, по которой функциональный анализ в существующем виде вообще появился.

Ну, я в КМ разбираюсь на очень низком уровне, но я слышал, что при формализации на таком языке в сложных случаях бывают проблемы и, пока что, никакого единого формализма для КМ нету. Так что в качестве мировоззренческой затычки я предпочитаю смотреть на эти неограниченные операторы как на временное решение: чтобы иметь возможность эффекты КМ хоть как-то формулировать, но не как на финальный язык.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):

Ну, как вы только что сами и упомянули, на сюжет со спектральными мерами нужно смотреть как на функциональное исчисление в $C^*$-алгебрах

Не получится. Два оператора с одним и тем же спектром, но разными типами спектральных мер порождают изоморфные $C^*$-подалгебры в $B(H)$. При том что куча физических результатов зависит именно от типа спектральной меры.

Что-то разумное можно получить, если рассматривать коммутативные алгебры фон Неймана, но классификация таких алгебр как раз и будет давать те же самые спектральные меры.

-- Пт, 14 апр 2017 13:16:50 --

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):

как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.

Что-то мне кажется, что здесь глупость написана, даже "как множество" это не правда, не говоря уже о топологии. То, что вы построили, будет множеством всех векторов из $l^2$, в которых идут нули начиная с некоторого места (поэтому неважно, $l^2$ или, например, $l^{\infty}$), с топологией покоординатной сходимости. Оно даже не полно. Причём никакого канонического способа пополнения нет: например, эта топология индуцируется любой $l^p$-нормой, поэтому при пополнении можно получить как минимум любое $l^p$ (и подозреваю, что вообще любое или почти любое сепарабельное банахово пространство).

-- Пт, 14 апр 2017 13:24:28 --

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):

пока что, никакого единого формализма для КМ нету

Есть, например, книжка фон Неймана.

[kp9r4d]

g______d в сообщении #1209517 писал(а):

Что-то разумное можно получить, если рассматривать коммутативные алгебры фон Неймана, но классификация таких алгебр как раз и будет давать те же самые спектральные меры.

Да, разумеется, имел в виду именно их.

g______d в сообщении #1209517 писал(а):

Что-то мне кажется, что здесь глупость написана, даже "как множество" это не правда, не говоря уже о топологии. То, что вы построили, будет множеством всех векторов из $l^2$, в которых идут нули начиная с некоторого места (поэтому неважно, $l^2$ или, например, $l^{\infty}$), с топологией покоординатной сходимости. Оно даже не полно. Причём никакого канонического способа пополнения нет: например, эта топология индуцируется любой $l^p$-нормой, поэтому при пополнении можно получить как минимум любое $l^p$ (и подозреваю, что вообще любое или почти любое сепарабельное банахово пространство).

Да, правильно, сгоряча ерунду написал. Я ещё подумаю. (Вообще вторая мысль, которая сразу на ум пришла: это то, что гильбертовы - это объекты с базисом, а значит это просто свободные объекты в категории TVSов и именно так на них нужно смотреть, но я теперь проверю тщательнее).

g______d в сообщении #1209517 писал(а):

Есть, например, книжка фон Неймана.

Ну я когда-то давно этот топик читал по нему складывается впечатление, что формализовать получается только хорошие случаи.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1209523 писал(а):

Ну я когда-то давно этот топик читал
по нему складывается впечатление, что формализовать получается только хорошие случаи.

Ну этот топик вообще не о том, если коротко. Откройте фон Неймана или Рида-Саймона.

[kp9r4d]

g______d в сообщении #1209524 писал(а):

Ну этот топик вообще не о том, если коротко. Откройте фон Неймана или Рида-Саймона.

Ну я фон Неймана не нашёл, а Рида-Саймона открыл и там не нашёл какой-нибудь чёткой формализации квантовой механики. Возможно если учебник изучать, то будет более понятно, но я всегда думал, что "формализация в духе фон Неймана" это как раз ровно то, что тут написано. Ну и там же написано, где этого формализма не хватает.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1209566 писал(а):

Ну и там же написано, где этого формализма не хватает.

Скажем так, если квантовый гамильтониан системы известен, то все дальнейшие вопросы о поведении системы абсолютно строго формулируются в терминах спектральной теории этого гамильтониана. Как правило, он является неограниченным оператором. Примеров физических задач, в которых гамильтониан известен и задача поставлена математически строго, полно уже в книжке Рида и Саймона, и с тех пор стало только больше.

-- Пт, 14 апр 2017 22:28:43 --

kp9r4d в сообщении #1209566 писал(а):

Ну я фон Неймана не нашёл

На либгене есть, называется "математические основы квантовой механики" по-русски.

[Someone]

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):

Ну, точная формулировка, скажем: пусть у нас есть индуктивная система $(V_i, \varphi_{ij})$ конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to ...$ со стрелками "вложение в первые $n-1$ координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.

Нет, ну что Вы. Такие топологии сплошь и рядом имеют несчётный характер, и данный случай явно таков. Там даже метрики (в топологическом смысле) не будет, так что какое уж из него гильбертово пространство…

Может быть, обратный предел попробовать?

[g______d]

Someone в сообщении #1209711 писал(а):

Может быть, обратный предел попробовать?

Я бы предположил, что любая подобная попытка обречена на провал. Все конечномерные хаусдорфовы ТВП выглядят с точки зрения топологии абсолютно одинаково. Поэтому иметь только конечномерную топологическую информацию -- всё равно что не иметь никакой информации уже даже чтобы отличить банахово пространство от гильбертова.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1209739 писал(а):

только конечномерную топологическую информацию -- всё равно что не иметь никакой информации уже даже чтобы отличить банахово пространство от гильбертова.

А банахово от счётно-нормированного?

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1209742 писал(а):

А банахово от счётно-нормированного?

Ну "не иметь никакой информации", по-видимому, означает, что не удастся вообще различить никакие два хаусдорфовых ТВП.

[Someone]

g______d в сообщении #1209739 писал(а):

Я бы предположил, что любая подобная попытка обречена на провал.

Я в этом практически уверен. Если ТВП имеет достаточно много непрерывных линейных отображений на конечномерные векторные пространства, то легко соорудить обратный спектр, пределом которого и будет данное ТВП. Правда, на обратный спектр можно налагать всякие ограничения, но далеко не очевидно, что нужные ограничения вообще удастся найти.