2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 22  След.
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение13.04.2017, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10316
Hogtown
kp9r4d в сообщении #1208968 писал(а):
что любая более-менее мощная техника перенесённая оттуда туда будет очень полезной.
Я рад, что не сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение14.04.2017, 17:20 
Аватара пользователя


22/08/15
20
Metford в сообщении #1207309 писал(а):
что за него придётся слишком дорого заплатить?

Вы переоцениваете сложность категорий. Основы можно изложить всего в нескольких абзацах.

Рассмотрим ориентированный мультиграф - мультиграф это почти как обычный граф, только между двумя вершинами может быть сколь угодно много стрелок, а не только нуль или одна, как в обычном графе. Путем из начальной вершины в конечную будем называть последовательность стрелок такую, что конец очередной стрелки - начало последующей. Примем, что для каждого пути из первой вершины во вторую существует - определена, указана, - одна стрелка оттуда туда же, называемая композицией этого пути. Также примем, что в каждой вершине висит петелька, называемая тождественной стрелкой. Потребуем выполнения двух аксиом:
1. композиция всего пути не изменится, если любой подпуть заменить композицией
2. если выкинуть из пути тождественную стрелку, то композиция пути не изменится
Такой мультиграф называется категорией.

Если в качестве вершин взять всевозможные множества, в качестве стрелок - отображения множеств, то получится категория Set всех множеств. Если в качестве вершин взять всевозможные группы, в качестве стрелок - гомоморфизмы групп, то получится категория Grp всех групп. Аналогично определяются категории колец, алгебр, векторных пространств (стрелки - линейные отображения) и т.п. Не обязательно рассматривать все множества - если взять три множества и рассмотреть пять-шесть функций между ними, то это тоже получится категория, причем вполне обозримая, её можно будет даже зарисовать на бумажке.

По-другому вершины называются объекты, стрелки называются морфизмы.

Подобно тому как между группами есть гомоморфизмы, между категориями есть функторы. Функтор - это отображение первой категории во вторую, которое объекты переводит в объекты, стрелки - в стрелки, сохраняет концы стрелок и сохраняет тождественные морфизмы. А ещё функтор перестановочен с операцией композиции - если взять путь и применить функтор к композиции этого пути, то получится в точности та же самая стрелка, которая получится, если применить функтор к каждой стрелке пути по отдельности и взять композицию уже потом.

Так же быстро определяются естественные преобразования, всевозможные -измы, конусы, пределы, монады и топосы.

Metford в сообщении #1207286 писал(а):
нужен пример того, как в терминах теории категорий формулируется нечто физическое.

Самый известный пример, как мне кажется, - категории Фукая. Не знаю, насколько они просты, но, вроде бы как, вполне физичны. С теорией бран они точно связаны.

kp9r4d в сообщении #1208883 писал(а):
группы

Кстати, здесь возникает довольно наглядный пример обогащения языка.

Группой называется категория с одним объектом, в которой каждая стрелка - изоморфизм.
С обычной группой это связано так: элементы этой категории образуют группу относительно операции композции, тождественный элемент будет единицей этой группы.

Функторы из группы в Set - это в точности действия группы.
Функторы из группы в Vect - это в точности линейные представления группы.
Функторы из группы в произвольную категорию будут "действиями" этой группы на произвольной категории. Эти действия интересно исследовать, поскольку на них переносится вся интуиция, связанная с действиями и представлениями.

И ведь такая красота есть не только для групп. Например, примем, что у нас есть категория с одним объектом. Она называется кольцом, если на множестве её стрелок введена операция "плюсик", относительно которой стрелки образуют абелеву группу, и вдобавок относительно которой композиция стрелок дистрибутивна. Такая категория называется кольцом.
Так вот, модулями над этим кольцом будут в точности функторы в категорию абелевых групп. Но интуицию, связанную с модулями, можно перенести и на функторы в другие категории.

kp9r4d в сообщении #1208193 писал(а):
это более-менее невозможно без какого-либо ущемления категорий

Вроде бы для этого достаточно одного большого кардинала. Не уверен. Про это где-то написал Ловер, а где - я забыл.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):
Как определить множества только в терминах теории категорий и пользуясь только её аксиоматикой.

Маклейн предложил формальный язык, содержащий логику первого порядка и несколько нелогических аксиом; аксиомы множеств в этот язык не входят. Этот язык называется "метакатегория". На этом языке (и его диалектах) можно дать чистое определение множеств, чистое определение групп и даже чистое определение категорий. Самые известные результаты здесь принадлежат Ловеру. Он предложил диалект метакатегории под названием ETAC (элементарную теорию абстрактной категории) и с его помощью сделал ETCC и ETCS - соответственно элементарную теорию категории всех категорий и элементарную теорию категории всех множеств, то есть метаязык для категорий и метаязык множеств, в которых не встречается слово "множество" и тем более "класс".

ETCS слабее ZFC. Самое заметное отличие в том, что Ловер недолюбливает аксиому подстановки и утверждает, что с её помощью можно строить "эзотерические" сущности. Вслед за Ловером эту аксиому не любит и его научная школа. Однако во-первых, все недостающие аксиомы ZFC можно добавить к ETCS, во-вторых, чистая ETCS предоставляет уже довольно-таки большой запас множеств - по меньшей мере вплоть до алеф-омеги.

Проблема здесь не в том, чтобы получить хоть какое-то определение множеств на категорном языке. Таких определений много - берем элементарный топос и добавляем к нему столько аксиом, сколько нам угодно. Проблема в том, что не получается среди большого вороха возможных топосов выбрать какой-нибудь один и назначить его естественной, самой каноничной теорией множеств. Внезапно оказывается, что у топоса, являющегося ZFC, нет никаких преимуществ по сравнению с другими топосами. Он даже не самый красивый. Повторяется та же ситуация, которая была с геометриями: есть целая россыпь геометрий на любой вкус, и выбрать из них какую-нибудь одну "правильную" - сложно.

К слову, дело не ограничивается множествами. Можно чистым языком теории категорий определить категорию всех групп, тогда понятие "группа" можно будет определить как "объект категории групп". И так для любой известной структуры. Но это не слишком интересно.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):
Можно ли определить $\mathbb{N}$ действительно строго средствами теории категорий

Да, можно. Только определяются не натуральные числа, но сразу множество всех натуральных чисел: даются требования к объекту, являющиеся категорной переформулировкой аксиом Пеано. Тогда этот объект оказывается множеством натуральных чисел. Интересно, что такие объекты возникают во многих разных категориях, что даёт нетривиальные примеры множеств со структурой Пеано.

 Профиль  
                  
 
 "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение14.04.2017, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Буду разгребать долги по чуть-чуть.

Mikhail_K в сообщении #1208930 писал(а):
Поясните всё-таки, чем Вам не нравились банаховы пространства до того, как Вы узнали о категориях. (Предыдущий Ваш ответ был именно на языке категорий и оттого непонятен мне.)
Дело в том, что у меня такое же чувство в отношении обобщённых функций, что и у Вас - но не в отношении банаховых пространств.
Что банаховы пространства бывают с самыми разнообразными свойствами, не похожими на свойства пространств гильбертовых - не понимаю, чем это плохо.
Претензии примерно следующие.
1) Для меня низкоуровневый абстрактный функциональный анализ делится на две части: науку о TVS (всякие эффекты, связанные с выпуклостью, слабой сходимостью и прочим таким) и науку о гильбертовых пространствах (соответственно, просто бесконечномерная евклидова линейная алгебра). Поэтому "банаховы пространства" для меня зависают где-то между, ровно как и какие-нибудь "локально-бочечные", "бронологические" и прочие пространства, и мне всё время было непонятно: отчего на них делают такую ставку? Как объекты - ведут себя крайне плохо, каких-то мощных теорем которые были бы прямо сверхполезными при исследовании конкретных случаев - тоже не так, чтобы были; охватывают в основном $L_p$-подобные конструкции, то есть даже языковую функцию выполняют плохо. Если теперь говорить в категорных терминах то, грубо, я не вижу какому универсальному свойству они среди всех TVS удовлетворяют (в случае с гильбертовыми не так, универсальное свойство очень простое - это, очевидно, просто копредел хаусдорфовых конечномерных TVS по вложениям).
2) Следующая претензия относится ко всему низкоуровневому функциональному анализу, и озвучу я её единственной фразой, которую запомнил с лекций по мат.анализу на первых курсах: "В функциональном анализе, чтобы сделать какое-то движение нужно применить 6 разных теорем". То есть он ужасно организован именно на уровне ООП, на уровне интерфейса. Скажем, теория меры говорит: "Если у вас есть структура пространства с мерой, то вот у вас есть функционал (на измеримых функциях) и вот он обладает такими-то хорошими свойствами - пользуетесь", в какой-нибудь гомологической алгебре то же самое: "Если у вас есть точный с какой-нибудь стороны аддитивный функтор, то можно построить последовательность производных функторов, они будут удовлетворять таким-то свойствам - пользуйтесь". В доказательствах в низкоуровневом анализе, ощущение, что постоянно приходится повторять одни и те же логические фигуры и делать очень много ритуальных танцев, скажем, чтобы доказать какое-то неравенство иногда приходится строить какие-то сети и брать какие-то ультрафильтры по ним - это следствие именно этой вот плохой организации на уровне интерфейса.
3) Ну и последнее, я вот недавно смотрел лекцию Воеводского по категорной теории вероятностей, он там приводил категорное определение мартингала через универсальное свойство и оно оказалась чуть-чуть неэквивалентно классическому. Для меня это значит ровно одно - что с классическим определением класики не угадали. Вот ощущение, что с банаховыми пространствами тоже не угадали.
Кстати, в этой же лекции он приводил довольно интересный аргумент, почему TVS слишком широкая категория, чтобы быть содержательной. Я его точно не воспроизведу, надо пересмотреть, но на спекулятивном уровне: если туда вкладывать "категорию вероятностных объектов" и "категорию квантовых объектов" то вложения будут не fully faithful, поэтому полноценно миксовать их на фреймворке TVS не выйдет. Значит, нужна более узкая категория.

 i  GAA:
Оффтопик отделён в Чулан

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение14.04.2017, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5927
kp9r4d в сообщении #1209482 писал(а):
в случае с гильбертовыми не так, универсальное свойство очень простое - это, очевидно, просто копредел хаусдорфовых конечномерных TVS по вложениям


Хм, правда, что ли? Можете более точно сформулировать?

kp9r4d в сообщении #1209482 писал(а):
соответственно, просто бесконечномерная евклидова линейная алгебра


Я плохо понимаю, как вы будете смотреть на бесконечномерные вещи типа индекса или классификации спектральных мер с конечномерной точки зрения. Кроме того, $B(H)$ -- это в некотором смысле универсальная $C^*$-алгебра, и вложение в $B(H)$ является довольно распространённым техническим приёмом в изучении последних.

-- Пт, 14 апр 2017 11:52:19 --

kp9r4d в сообщении #1208616 писал(а):
Кстати, что мне правда хорошо запомнилось в категорном Хелемском это то, что функтор банаховой сопряженности переводит точные последовательности в точные - красивая теорема довольно.


Скажем так, это переформулировка теоремы, которая и так сама по себе несложна. Не уверен, что она так уж много байтов в мозгу экономит. Если из-за миллиона таких переформулировок вылетает, например, теорема о замкнутом графике и неограниченные операторы, то это не тру. Почти все операторы в квантовой механике неограничены, и математическая формулировка КМ была одной из причин, по которой функциональный анализ в существующем виде вообще появился.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение14.04.2017, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
g______d в сообщении #1209488 писал(а):
Хм, правда, что ли? Можете более точно сформулировать?

Да вроде как. Ну, точная формулировка, скажем: пусть у нас есть индуктивная система $(V_i, \varphi_{ij})$ конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to ...$ со стрелками "вложение в первые $n-1$ координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS. (Конечно, это не очень удовлетворительная конструкция, хотелось бы, чтобы они получались "процедурой пополнения" категории евклидовых конечномерных пространств, но я ничего такого не находил, но уверен, что такое быть должно).

g______d в сообщении #1209488 писал(а):
Я плохо понимаю, как вы будете смотреть на бесконечномерные вещи типа индекса или классификации спектральных мер с конечномерной точки зрения. Кроме того, $B(H)$ -- это в некотором смысле универсальная $C^*$-алгебра, и вложение в $B(H)$ является довольно распространённым техническим приёмом в изучении последних.

Ну, как вы только что сами и упомянули, на сюжет со спектральными мерами нужно смотреть как на функциональное исчисление в $C^*$-алгебрах, и не забивать мозги себе всякими спектральными мерами.
А индекс вообще вещь дико категорная и связанная буквально с операторной К-теорией.
Про ГНС-конструкцию знаю, но я думаю вы не совсем правильно меня поняли, то, что универсальное свойство формулируется в терминах конечномерных TVS (которые сами обладают некоторым универсальным свойством) не значит, что всегда и везде на гильбертовы пространства нужно смотреть как на предел конечномерных TVS, а значит просто то, что их рассматривать вообще имеет смысл.

-- 14.04.2017, 21:42 --

g______d в сообщении #1209488 писал(а):
Скажем так, это переформулировка теоремы, которая и так сама по себе несложна. Не уверен, что она так уж много байтов в мозгу экономит. Если из-за миллиона таких переформулировок вылетает, например, теорема о замкнутом графике и неограниченные операторы, то это не тру. Почти все операторы в квантовой механике неограничены, и математическая формулировка КМ была одной из причин, по которой функциональный анализ в существующем виде вообще появился.

Ну, я в КМ разбираюсь на очень низком уровне, но я слышал, что при формализации на таком языке в сложных случаях бывают проблемы и, пока что, никакого единого формализма для КМ нету. Так что в качестве мировоззренческой затычки я предпочитаю смотреть на эти неограниченные операторы как на временное решение: чтобы иметь возможность эффекты КМ хоть как-то формулировать, но не как на финальный язык.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение14.04.2017, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5927
kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):
Ну, как вы только что сами и упомянули, на сюжет со спектральными мерами нужно смотреть как на функциональное исчисление в $C^*$-алгебрах


Не получится. Два оператора с одним и тем же спектром, но разными типами спектральных мер порождают изоморфные $C^*$-подалгебры в $B(H)$. При том что куча физических результатов зависит именно от типа спектральной меры.

Что-то разумное можно получить, если рассматривать коммутативные алгебры фон Неймана, но классификация таких алгебр как раз и будет давать те же самые спектральные меры.

-- Пт, 14 апр 2017 13:16:50 --

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):
как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.


Что-то мне кажется, что здесь глупость написана, даже "как множество" это не правда, не говоря уже о топологии. То, что вы построили, будет множеством всех векторов из $l^2$, в которых идут нули начиная с некоторого места (поэтому неважно, $l^2$ или, например, $l^{\infty}$), с топологией покоординатной сходимости. Оно даже не полно. Причём никакого канонического способа пополнения нет: например, эта топология индуцируется любой $l^p$-нормой, поэтому при пополнении можно получить как минимум любое $l^p$ (и подозреваю, что вообще любое или почти любое сепарабельное банахово пространство).

-- Пт, 14 апр 2017 13:24:28 --

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):
пока что, никакого единого формализма для КМ нету


Есть, например, книжка фон Неймана.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение14.04.2017, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
g______d в сообщении #1209517 писал(а):
Что-то разумное можно получить, если рассматривать коммутативные алгебры фон Неймана, но классификация таких алгебр как раз и будет давать те же самые спектральные меры.

Да, разумеется, имел в виду именно их.

g______d в сообщении #1209517 писал(а):
Что-то мне кажется, что здесь глупость написана, даже "как множество" это не правда, не говоря уже о топологии. То, что вы построили, будет множеством всех векторов из $l^2$, в которых идут нули начиная с некоторого места (поэтому неважно, $l^2$ или, например, $l^{\infty}$), с топологией покоординатной сходимости. Оно даже не полно. Причём никакого канонического способа пополнения нет: например, эта топология индуцируется любой $l^p$-нормой, поэтому при пополнении можно получить как минимум любое $l^p$ (и подозреваю, что вообще любое или почти любое сепарабельное банахово пространство).

Да, правильно, сгоряча ерунду написал. Я ещё подумаю. (Вообще вторая мысль, которая сразу на ум пришла: это то, что гильбертовы - это объекты с базисом, а значит это просто свободные объекты в категории TVSов и именно так на них нужно смотреть, но я теперь проверю тщательнее).

g______d в сообщении #1209517 писал(а):
Есть, например, книжка фон Неймана.

Ну я когда-то давно этот топик читал по нему складывается впечатление, что формализовать получается только хорошие случаи.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5927
kp9r4d в сообщении #1209523 писал(а):
Ну я когда-то давно этот топик читал
по нему складывается впечатление, что формализовать получается только хорошие случаи.


Ну этот топик вообще не о том, если коротко. Откройте фон Неймана или Рида-Саймона.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 05:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
g______d в сообщении #1209524 писал(а):
Ну этот топик вообще не о том, если коротко. Откройте фон Неймана или Рида-Саймона.

Ну я фон Неймана не нашёл, а Рида-Саймона открыл и там не нашёл какой-нибудь чёткой формализации квантовой механики. Возможно если учебник изучать, то будет более понятно, но я всегда думал, что "формализация в духе фон Неймана" это как раз ровно то, что тут написано. Ну и там же написано, где этого формализма не хватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 08:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5927
kp9r4d в сообщении #1209566 писал(а):
Ну и там же написано, где этого формализма не хватает.


Скажем так, если квантовый гамильтониан системы известен, то все дальнейшие вопросы о поведении системы абсолютно строго формулируются в терминах спектральной теории этого гамильтониана. Как правило, он является неограниченным оператором. Примеров физических задач, в которых гамильтониан известен и задача поставлена математически строго, полно уже в книжке Рида и Саймона, и с тех пор стало только больше.

-- Пт, 14 апр 2017 22:28:43 --

kp9r4d в сообщении #1209566 писал(а):
Ну я фон Неймана не нашёл


На либгене есть, называется "математические основы квантовой механики" по-русски.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17663
Москва
kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):
Ну, точная формулировка, скажем: пусть у нас есть индуктивная система $(V_i, \varphi_{ij})$ конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to ...$ со стрелками "вложение в первые $n-1$ координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.
Нет, ну что Вы. Такие топологии сплошь и рядом имеют несчётный характер, и данный случай явно таков. Там даже метрики (в топологическом смысле) не будет, так что какое уж из него гильбертово пространство…

Может быть, обратный предел попробовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5927
Someone в сообщении #1209711 писал(а):
Может быть, обратный предел попробовать?


Я бы предположил, что любая подобная попытка обречена на провал. Все конечномерные хаусдорфовы ТВП выглядят с точки зрения топологии абсолютно одинаково. Поэтому иметь только конечномерную топологическую информацию -- всё равно что не иметь никакой информации уже даже чтобы отличить банахово пространство от гильбертова.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
10316
Hogtown
g______d в сообщении #1209739 писал(а):
только конечномерную топологическую информацию -- всё равно что не иметь никакой информации уже даже чтобы отличить банахово пространство от гильбертова.
А банахово от счётно-нормированного?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5927
Red_Herring в сообщении #1209742 писал(а):
А банахово от счётно-нормированного?


Ну "не иметь никакой информации", по-видимому, означает, что не удастся вообще различить никакие два хаусдорфовых ТВП.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение15.04.2017, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17663
Москва
g______d в сообщении #1209739 писал(а):
Я бы предположил, что любая подобная попытка обречена на провал.
Я в этом практически уверен. Если ТВП имеет достаточно много непрерывных линейных отображений на конечномерные векторные пространства, то легко соорудить обратный спектр, пределом которого и будет данное ТВП. Правда, на обратный спектр можно налагать всякие ограничения, но далеко не очевидно, что нужные ограничения вообще удастся найти.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 325 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group