Великая теорема Ферма. Доказательство

[Antoshka]

Получается, что у уравнения $a^3+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно. Я посмотрел на приведенные выше решения и заметил такую закономерность. Пусть $b$ - четное натуральное число. Тогда $a$ и $c$ будут нечетными только в случае который привёл venco

venco в сообщении #1206861 писал(а):

$b$ может быть любым:
$a=b^3-1, c=b^3+1$

-- 07.04.2017, 09:56 --

Данная закономерность имеет какое то объяснение?

[ludwig51]

Antoshka в сообщении #1207204 писал(а):

Получается, что у уравнения $a^2+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно.

В явном виде можно выписать для любых b. Но это большая работа.
Например при b=6 имеется 7 решений и 7 конкретных формул.
Две их этих формул универсальные для всех b.
Для b=4, имеется 3 решения. 2 универсальных и одно дополнительное:
$a_1=b^3/2-b/2$
$c_1=b^3/2+b/2$
Это дополнительное решение не подходит для b=6.

Для всех простых чисел b имеются только два решения.
И эти решения (универсальные) являются только частными для непростых чисел b.
$a_1=b^3-1$
$c_1=b^3+1$
$a_2=b^2-b$
$c_2=b^2+b$

Иван Горин

[Antoshka]

Antoshka в сообщении #1207204 писал(а):

Получается, что у уравнения $a^3+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно. Я посмотрел на приведенные выше решения и заметил такую закономерность. Пусть $b$ - четное натуральное число. Тогда $a$ и $c$ будут нечетными только в случае который привёл venco

venco в сообщении #1206861 писал(а):

$b$ может быть любым:
$a=b^3-1, c=b^3+1$

-- 07.04.2017, 09:56 --

Данная закономерность имеет какое то объяснение?

Сам себе и отвечу: $4\cdot 12^3=91^2-37^2$

[ludwig51]

Antoshka в сообщении #1207709 писал(а):

Antoshka в сообщении #1207204 писал(а):

Получается, что у уравнения $a^3+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно. Я посмотрел на приведенные выше решения и заметил такую закономерность. Пусть $b$ - четное натуральное число. Тогда $a$ и $c$ будут нечетными только в случае который привёл venco

venco в сообщении #1206861 писал(а):

$b$ может быть любым:
$a=b^3-1, c=b^3+1$

-- 07.04.2017, 09:56 --

Данная закономерность имеет какое то объяснение?

Сам себе и отвечу: $4\cdot 12^3=91^2-37^2$

Вы привели 1 решение для b=12
А этих решений 14.
1. $4\cdot 12^3=84^2-12^2$
2. $4\cdot 12^3=86^2-22^2$
3. $4\cdot 12^3=91^2-37^2$
4. $4\cdot 12^3=96^2-48^2$
5. $4\cdot 12^3=114^2-78^2$
6. $4\cdot 12^3=124^2-92^2$
7. $4\cdot 12^3=156^2-132^2$
8. $4\cdot 12^3=201^2-183^2$
9. $4\cdot 12^3=224^2-208^2$
10. $4\cdot 12^3=294^2-282^2$
11. $4\cdot 12^3=436^2-428^2$
12. $4\cdot 12^3=579^2-573^2$
13. $4\cdot 12^3=866^2-862^2$
14. $4\cdot 12^3=1729^2-1727^2$
Все решения независимы.

[Antoshka]

Но среди этих 14 решений только приведенное мной состоит из взаимно простых чисел

[Someone]

Не только. Есть ещё одно. Последнее в списке.

[Antoshka]

Someone в сообщении #1208083 писал(а):

Не только. Есть ещё одно. Последнее в списке.

Вообще говоря да! Но оно представляет из себя тривиальное тождество, верное для любого нейтрального числа

[Someone]

Antoshka в сообщении #1208100 писал(а):

Но оно представляет из себя тривиальное тождество, верное для любого нейтрального числа

Ну и что? Главное, что оно есть.

[Antoshka]

Someone в сообщении #1208119 писал(а):

Цитата:

Ну и что? Главное, что оно есть.

Это да

[Antoshka]

Все равно не понимаю. Имеем уравнение $a^2+4\cdot b^3=c^2$. Известно, что $a,b,c$ это взаимно простые натуральные числа. Пусть возможны две ситуации.
1.$b$ это четное число, которое не является степенью двойки, $a$ и $c$ нечетные.
2.$b$ это нечетное число, большее трех, $a$ и $c$ четные. Моя гипотеза заключается в том, что при таком раскладе возможны только два представления в виде разности квадратов. Первое причем будет через тривиальное тождество, на которое я указал выше. Интересно, верно ли мое предположение? Мне пока удалось вывести формулу для разложений, но из нее не очень видно, охватывает ли она все возможные разложения во взаимно простых числах

[Antoshka]

В первом случае я имел ввиду что $b\ne 2^m,m\in\mathbb{N}$. Для второго случая отмечу еще что $b\ne p^m,m\in\mathbb{N}$,$p$ простое число

[yk2ru]

Чем на большее число сомножителей разлагается $b$, тем больше решений можно получить, вроде так.

[Antoshka]

yk2ru в сообщении #1208619 писал(а):

Чем на большее число сомножителей разлагается $b$, тем больше решений можно получить, вроде так.

Это вы про разложение числа $b$ по основной теореме арифметики?

[yk2ru]

Antoshka в сообщении #1208635 писал(а):

Это вы про разложение числа $b$ по основной теореме арифметики?

Да, но повторяющиеся сомножители будут уменьшать количество решений.

[Antoshka]

yk2ru в сообщении #1208645 писал(а):

Antoshka в сообщении #1208635 писал(а):

Это вы про разложение числа $b$ по основной теореме арифметики?

Да, но повторяющиеся сомножители будут уменьшать количество решений.

Нет. Гипотеза не верна. Я проглядел что то. $6119^2-631^2=10261^2-8261^2=4 \cdot 210^3$