2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение14.10.2019, 15:14 


13/05/16
115
Где-то тут встречал утверждение о том,что если уравнение $x^3+y^3=z^3$ разрешимо в натуральных числах,то $x\cdot y\cdot z$ делится на $3,5,7,11,13$. Никто не помнит,где это утверждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение14.10.2019, 16:10 


19/04/14
276
Antoshka в сообщении #1420687 писал(а):
Где-то тут встречал утверждение о том,что если уравнение $x^3+y^3=z^3$ разрешимо в натуральных числах,то $x\cdot y\cdot z$ делится на $3,5,7,11,13$. Никто не помнит,где это утверждение?

УважаемыйAntoshka!
Хотел ответить на вскидку по памяти, но вспомнил, что для этих чисел по остаткам доказывается для биквадратов.
Как доказывается для кубов по числам 5, 11 мне тоже интересно узнать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение14.10.2019, 21:36 


13/05/16
115
binki в сообщении #1398639 писал(а):
Покажите это подробно. Скачкообразные выводы, как правило, содержат скрытые ошибки

Строго показать это у меня не получается, тем не менее закономерность есть: решением упомянутого уравнения во взаимно простых числах для показателя 5 являются степени двойки

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение29.10.2019, 14:24 


13/05/16
115
Теорема. Пусть имеем уравнение $x^5+y^5=z^5$. Пусть оно имеет какое-то решение в натуральных взаимно-простых числах.Числа везде натуральные. Тогда если $z$ делится на $5$,оно делится и на $11$. Доказательство. Перепишем исходное уравнение в виде $(z-m^5)^5+y^5=z^5$.Получается уравнение четвертой степени относительно $z$,которое имеет 4 корня,два из которых комплексные. Нас интересует корень $z=\frac{1}{2}(m^5+\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}})$. Имеем выражение вида $z=1/2(m^5+F)$,где $F=\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}}$. Но $y=m^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=\sqrt{-m^{10}+2\sqrt{m^{20}+20A\cdot m^{16}\cdot w+200A^2\cdot m^{12}\cdot w^2+1000A^3\cdot m^8\cdot w^3+2500A^4\cdot m^4\cdot w^4+2500A^5\cdot w^5}}$. Формулы Абеля записываются в данном случае как $(z-x)=m^5,(z-y)=w^5,z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A$.Теперь предположим,что $y$ делится на $11$. Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$,следовательно $m^4+5w\cdot A\equiv 0 \bmod 11\Rightarrow F^2\equiv{4,5}\bmod 11$. С другой стороны,$z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=w^5+x+y\Rightarrow F^2\equiv (2\pm1)^2\bmod 11\Rightarrow y$ не делится на $11$. Для $x$ доказательство аналогично $\Rightarrow z$ делится на $11$. Что и требовалось доказать

-- 29.10.2019, 14:24 --

Теорема. Пусть имеем уравнение $x^5+y^5=z^5$. Пусть оно имеет какое-то решение в натуральных взаимно-простых числах. Тогда если $z$ делится на $5$,оно делится и на $11$. Доказательство. Перепишем исходное уравнение в виде $(z-m^5)^5+y^5=z^5$.Получается уравнение четвертой степени относительно $z$,которое имеет 4 корня,два из которых комплексные. Нас интересует корень $z=\frac{1}{2}(m^5+\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}})$. Имеем выражение вида $z=1/2(m^5+F)$,где $F=\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}}$. Но $y=m^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=\sqrt{-m^{10}+2\sqrt{m^{20}+20A\cdot m^{16}\cdot w+200A^2\cdot m^{12}\cdot w^2+1000A^3\cdot m^8\cdot w^3+2500A^4\cdot m^4\cdot w^4+2500A^5\cdot w^5}}$. Формулы Абеля записываются в данном случае как $(z-x)=m^5,(z-y)=w^5,z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A$.Теперь предположим,что $y$ делится на $11$. Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$,следовательно $m^4+5w\cdot A\equiv 0 \bmod 11\Rightarrow F^2\equiv{4,5}\bmod 11$. С другой стороны,$z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=w^5+x+y\Rightarrow F^2\equiv (2\pm1)^2\bmod 11\Rightarrow y$ не делится на $11$. Для $x$ доказательство аналогично $\Rightarrow z$ делится на $11$. Что и требовалось доказать

-- 29.10.2019, 14:27 --

Корни уравнения относительно $z$ четвертой степени я посчитал с помощью Wolfram Mathematica. Только вот у меня выражение для $F$ в терминах $m,w,A$ получилось длинным,потому видимо не показывается полностью,хотя если навести курсор на формулу,видно,что она набрана полностью

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение30.10.2019, 12:34 


27/03/12
425
г. новосибирск
Уважаемый Antoshka!. Так как 5-я степень чисел принадлежащих множеству {1,2,3,...,10}сравнима с1 или -1 по модулю 11, то очевидно, чтобы выполнялось условие $x^5 + y^5- z^5\equiv 0\mod 11$
необходимо, чтобы одно из чисел x, y или z делилось на 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение30.10.2019, 20:12 


13/05/16
115
vasili перечитайте ещё раз, что я написал: моё утверждение отличается от вашего, ваше утверждаете и так понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение31.10.2019, 16:49 


19/04/14
276
Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):
Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$

Уважаемый Antoshka
Этот вывод справедлив только для частного случая, когда $11|(x+y)$. Но число $z$ составное и на 11 может делиться другое его число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение31.10.2019, 18:19 


19/04/14
276
То есть для вывода учтены свойства чисел $(z-x), (z-y), (x+y)$. Но не учитываются свойства других делителей степеней уравнения Ферма, которые тоже могут делиться на 11.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение31.10.2019, 21:54 


13/05/16
115
binki в сообщении #1423292 писал(а):
Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):
Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$

Уважаемый Antoshka
Этот вывод справедлив только для частного случая, когда $11|(x+y)$. Но число $z$ составное и на 11 может делиться другое его число.

Я от противного же доказываю. Сначала предполагаю, что $y$ делится на $11$, при этом $z$ на $11$ делиться никак не может. Но $y$ записывается в виде произведения двух чисел, составных, как $y=m\cdot (m^4+5w\cdot A)$. Нужно рассмотреть делимость каждого из этих чисел на $11$, что я и делаю собственно

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение01.11.2019, 07:31 


19/04/14
276
Antoshka в сообщении #1423344 писал(а):
Я от противного же доказываю.

Уважаемый Antoshka
Более подробно. При определении корней свойства натуральности чисел у Вас никак не проявляются. Поэтому $$(x-d)+(y+d)=x+y=5^4C^5$$ Но всегда найдётся число $d$ такое, что $y+d$ делится на 11.
Следовательно, Ваше утверждение не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение01.11.2019, 10:09 


13/05/16
115
binki в сообщении #1423368 писал(а):
Но всегда найдётся число $d$ такое, что $y+d$ делится на 11.

У меня $y$ делится на $11$. Ещё раз повторяю. Соответственно никакое $d$ искать не нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение01.11.2019, 21:54 


19/04/14
276
Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):
Тогда если $z$ делится на $5$,оно делится и на $11$.
проще это рассмотреть при произвольном фиксированном "$c$", используя уравнение с одним переменным "$y$"
$$(5^4c^5-y)^5+y^5=5^4c^5\cdot 5z_2^5$$ "$y$"- любое натуральное меньшее $5^4c^5$. Поэтому может делиться на 11. Ни каких противоречий, так как при изменении "$y$", в правой части изменяется только"$z_2$". При каких значениях "$y$", число"$z_2$" может предполагаться натуральным, -вопрос открытый и основной в теореме Ферма.
Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):
$x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$
Не ясно почему не делятся

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение01.11.2019, 23:28 


13/05/16
115
binki в сообщении #1423 513 писал(а):
Не ясно почему не делятся

Рассмотрим левую и правую части данного равенства по модулю $11$: слева будет $\pm 1$, справа $\pm 9$. Это следует из того, что $a^n\pm1\equiv 0 \bmod (2n+1)$. $2n+1$ простое число. Следовательно имеем противоречие

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение02.11.2019, 07:26 


19/04/14
276
Antoshka в сообщении #1423526 писал(а):
Рассмотрим левую и правую части данного равенства по модулю $11$: слева будет $\pm 1$, справа $\pm 9$. Это следует из того, что $a^n\pm1\equiv 0 \bmod (2n+1)$. $2n+1$ простое число. Следовательно имеем противоречие

В этом и есть Ваша ошибка. Вы учитываете только свойства числа $5^4c^5$ и забываете про делитель $z_2$. Посмотрите еще раз $$(5^4c^5-y)^5+y^5=5^4c^5\cdot 5z_2^5$$ Если $y$ делится на 11, то справа и слева одни и те же остатки +/-1

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение02.11.2019, 10:08 


13/05/16
115
binki в сообщении #1423513 писал(а):
Antoshka в сообщении #1422886
писал(а):
$x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$ Не ясно почему не делятся

Я вам ответил
Antoshka в сообщении #1423526 писал(а):
Рассмотрим левую и правую части данного равенства по модулю $11$: слева будет $\pm 1$, справа $\pm 9$. Это следует из того, что $a^n\pm1\equiv 0 \bmod (2n+1)$. $2n+1$ простое число. Следовательно имеем противоречие

Вы процитировали одно равенство, а говорите про другое

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 103 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group