Великая теорема Ферма. Доказательство

[Antoshka]

Где-то тут встречал утверждение о том,что если уравнение $x^3+y^3=z^3$ разрешимо в натуральных числах,то $x\cdot y\cdot z$ делится на $3,5,7,11,13$. Никто не помнит,где это утверждение?

[binki]

Antoshka в сообщении #1420687 писал(а):

Где-то тут встречал утверждение о том,что если уравнение $x^3+y^3=z^3$ разрешимо в натуральных числах,то $x\cdot y\cdot z$ делится на $3,5,7,11,13$. Никто не помнит,где это утверждение?

УважаемыйAntoshka!
Хотел ответить на вскидку по памяти, но вспомнил, что для этих чисел по остаткам доказывается для биквадратов.
Как доказывается для кубов по числам 5, 11 мне тоже интересно узнать.

[Antoshka]

binki в сообщении #1398639 писал(а):

Покажите это подробно. Скачкообразные выводы, как правило, содержат скрытые ошибки

Строго показать это у меня не получается, тем не менее закономерность есть: решением упомянутого уравнения во взаимно простых числах для показателя 5 являются степени двойки

[Antoshka]

Теорема. Пусть имеем уравнение $x^5+y^5=z^5$. Пусть оно имеет какое-то решение в натуральных взаимно-простых числах.Числа везде натуральные. Тогда если $z$ делится на $5$,оно делится и на $11$. Доказательство. Перепишем исходное уравнение в виде $(z-m^5)^5+y^5=z^5$.Получается уравнение четвертой степени относительно $z$,которое имеет 4 корня,два из которых комплексные. Нас интересует корень $z=\frac{1}{2}(m^5+\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}})$. Имеем выражение вида $z=1/2(m^5+F)$,где $F=\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}}$. Но $y=m^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=\sqrt{-m^{10}+2\sqrt{m^{20}+20A\cdot m^{16}\cdot w+200A^2\cdot m^{12}\cdot w^2+1000A^3\cdot m^8\cdot w^3+2500A^4\cdot m^4\cdot w^4+2500A^5\cdot w^5}}$. Формулы Абеля записываются в данном случае как $(z-x)=m^5,(z-y)=w^5,z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A$.Теперь предположим,что $y$ делится на $11$. Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$,следовательно $m^4+5w\cdot A\equiv 0 \bmod 11\Rightarrow F^2\equiv{4,5}\bmod 11$. С другой стороны,$z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=w^5+x+y\Rightarrow F^2\equiv (2\pm1)^2\bmod 11\Rightarrow y$ не делится на $11$. Для $x$ доказательство аналогично $\Rightarrow z$ делится на $11$. Что и требовалось доказать

-- 29.10.2019, 14:24 --

Теорема. Пусть имеем уравнение $x^5+y^5=z^5$. Пусть оно имеет какое-то решение в натуральных взаимно-простых числах. Тогда если $z$ делится на $5$,оно делится и на $11$. Доказательство. Перепишем исходное уравнение в виде $(z-m^5)^5+y^5=z^5$.Получается уравнение четвертой степени относительно $z$,которое имеет 4 корня,два из которых комплексные. Нас интересует корень $z=\frac{1}{2}(m^5+\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}})$. Имеем выражение вида $z=1/2(m^5+F)$,где $F=\frac{\sqrt{-5m^{10}+\frac{2\sqrt{5}\sqrt{m^{30}+4m^5\cdot y^5}}{m^5}}}{\sqrt{5}}$. Но $y=m^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=\sqrt{-m^{10}+2\sqrt{m^{20}+20A\cdot m^{16}\cdot w+200A^2\cdot m^{12}\cdot w^2+1000A^3\cdot m^8\cdot w^3+2500A^4\cdot m^4\cdot w^4+2500A^5\cdot w^5}}$. Формулы Абеля записываются в данном случае как $(z-x)=m^5,(z-y)=w^5,z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A$.Теперь предположим,что $y$ делится на $11$. Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$,следовательно $m^4+5w\cdot A\equiv 0 \bmod 11\Rightarrow F^2\equiv{4,5}\bmod 11$. С другой стороны,$z=m^5+w^5+5m\cdot w\cdot A\Rightarrow F=w^5+x+y\Rightarrow F^2\equiv (2\pm1)^2\bmod 11\Rightarrow y$ не делится на $11$. Для $x$ доказательство аналогично $\Rightarrow z$ делится на $11$. Что и требовалось доказать

-- 29.10.2019, 14:27 --

Корни уравнения относительно $z$ четвертой степени я посчитал с помощью Wolfram Mathematica. Только вот у меня выражение для $F$ в терминах $m,w,A$ получилось длинным,потому видимо не показывается полностью,хотя если навести курсор на формулу,видно,что она набрана полностью

[vasili]

Уважаемый Antoshka!. Так как 5-я степень чисел принадлежащих множеству {1,2,3,...,10}сравнима с1 или -1 по модулю 11, то очевидно, чтобы выполнялось условие $x^5 + y^5- z^5\equiv 0\mod 11$
необходимо, чтобы одно из чисел x, y или z делилось на 11.

[Antoshka]

vasili перечитайте ещё раз, что я написал: моё утверждение отличается от вашего, ваше утверждаете и так понятно

[binki]

Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):

Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$

Уважаемый Antoshka
Этот вывод справедлив только для частного случая, когда $11|(x+y)$. Но число $z$ составное и на 11 может делиться другое его число.

[binki]

То есть для вывода учтены свойства чисел $(z-x), (z-y), (x+y)$. Но не учитываются свойства других делителей степеней уравнения Ферма, которые тоже могут делиться на 11.

[Antoshka]

binki в сообщении #1423292 писал(а):

Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):

Опять-таки по формуле Абеля будет $x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$

Уважаемый Antoshka
Этот вывод справедлив только для частного случая, когда $11|(x+y)$. Но число $z$ составное и на 11 может делиться другое его число.

Я от противного же доказываю. Сначала предполагаю, что $y$ делится на $11$, при этом $z$ на $11$ делиться никак не может. Но $y$ записывается в виде произведения двух чисел, составных, как $y=m\cdot (m^4+5w\cdot A)$. Нужно рассмотреть делимость каждого из этих чисел на $11$, что я и делаю собственно

[binki]

Antoshka в сообщении #1423344 писал(а):

Я от противного же доказываю.

Уважаемый Antoshka
Более подробно. При определении корней свойства натуральности чисел у Вас никак не проявляются. Поэтому

$$(x-d)+(y+d)=x+y=5^4C^5$$

Но всегда найдётся число $d$ такое, что $y+d$ делится на 11.
Следовательно, Ваше утверждение не верно.

[Antoshka]

binki в сообщении #1423368 писал(а):

Но всегда найдётся число $d$ такое, что $y+d$ делится на 11.

У меня $y$ делится на $11$. Ещё раз повторяю. Соответственно никакое $d$ искать не нужно

[binki]

Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):

Тогда если $z$ делится на $5$,оно делится и на $11$.

проще это рассмотреть при произвольном фиксированном "$c$", используя уравнение с одним переменным "$y$"

$$(5^4c^5-y)^5+y^5=5^4c^5\cdot 5z_2^5$$

"$y$"- любое натуральное меньшее $5^4c^5$. Поэтому может делиться на 11. Ни каких противоречий, так как при изменении "$y$", в правой части изменяется только"$z_2$". При каких значениях "$y$", число"$z_2$" может предполагаться натуральным, -вопрос открытый и основной в теореме Ферма.

Antoshka в сообщении #1422886 писал(а):

$x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$

Не ясно почему не делятся

[Antoshka]

binki в сообщении #1423 513 писал(а):

Не ясно почему не делятся

Рассмотрим левую и правую части данного равенства по модулю $11$: слева будет $\pm 1$, справа $\pm 9$. Это следует из того, что $a^n\pm1\equiv 0 \bmod (2n+1)$. $2n+1$ простое число. Следовательно имеем противоречие

[binki]

Antoshka в сообщении #1423526 писал(а):

Рассмотрим левую и правую части данного равенства по модулю $11$: слева будет $\pm 1$, справа $\pm 9$. Это следует из того, что $a^n\pm1\equiv 0 \bmod (2n+1)$. $2n+1$ простое число. Следовательно имеем противоречие

В этом и есть Ваша ошибка. Вы учитываете только свойства числа $5^4c^5$ и забываете про делитель $z_2$. Посмотрите еще раз

$$(5^4c^5-y)^5+y^5=5^4c^5\cdot 5z_2^5$$

Если $y$ делится на 11, то справа и слева одни и те же остатки +/-1

[Antoshka]

binki в сообщении #1423513 писал(а):

Antoshka в сообщении #1422886
писал(а):
$x+y=5^4C^5\Rightarrow w^5+m^5+10m\cdot w\cdot A=5^4C^5\Rightarrow m,w $ не делятся на $11$ Не ясно почему не делятся

Я вам ответил

Antoshka в сообщении #1423526 писал(а):

Рассмотрим левую и правую части данного равенства по модулю $11$: слева будет $\pm 1$, справа $\pm 9$. Это следует из того, что $a^n\pm1\equiv 0 \bmod (2n+1)$. $2n+1$ простое число. Следовательно имеем противоречие

Вы процитировали одно равенство, а говорите про другое