Великая теорема Ферма. Доказательство

[Antoshka]

В этой теме мною будет приведено доказательство ВТФ3, а затем, если повезёт, общий случай, что маловероятно, конечно, но в общем тем не менее. Начнём доказательство. Сразу напишу, что оно необычное, так как больше напоминает матанализ, но обо всем порядку. Сначала переформулируем теорему.
Уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных взаимно простых числах. Докажем от противного: пусть $\exists$ такие $x,y,z\in\mathbb{N} $, что вышеприведенное равенство выполняется. Возможны два случая (нет, не те что вы подумали, другие немного).
1)$\left\{ \begin{array}{rcl} x\in\mathbb{N}_{nech} \\ y\in\mathbb{N}_{chet}$\end{array} \right.$
2)$\left\{ \begin{array}{rcl} x\in\mathbb{N}_{nech} \\ y\in\mathbb{N}_{nech}$\end{array} \right.$ , где chet и nechet - это четные и нечетные числа соответственно
В обоих случаях у нас будет замена $z=x+y+k,k <0$
По определению положим $\left\{ \begin{array}{rcl} V=y+k \\ W=x+k $\end{array}\right.$
Тогда имеем $\left\{ \begin{array}{rcl} z=x+V\\ z=y+W $\end{array}\right.$
Продолжение следует

[Antoshka]

Следовательно имеем $\left\{ \begin{array}{rcl} x^3+y^3=(x+V)^3 \\ x^3+y^3=(y+W)^3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} x^2+Vx+\frac{V^3-y^3}{3V}=0 \\ y^2+Wy+\frac{W^3-x^3}{3W}=0 \end{array} \right.$
Теперь рассмотрим каждый из случаев отдельно. Начнём с того, который сложнее, то есть когда $x$ нечетное и $y$ четное. В связи с этим поставим цифру 1.
1) Тут в свою очередь возможны варианты.
Лемма 1.
$\left\{ \begin{array}{lcl} 2\not{\mid} \frac{v^3-y^3}{3v} \\ (x,y)=1 \\ 3\not{\mid} V \end{array} \right.$$\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} V=2^{3\alpha}\cdot V_0^3, V_0\in\mathbb{N}_{nech}\\ y=V+3\cdot 2^\alpha \cdot V_0h_y, h_y\in\mathbb{N}_{nech},(V_0,h_y)=1,\alpha\in\mathbb{N}\\ \end{array} \right.$
Конец леммы.
Лемма 2.
$\left\{ \begin{array}{lcl} 3{\mid} W\\ 3 {\mid} x \end{array} \right.$$\Rightarrow$ $3{\mid}\frac{W^3-x^3}{3W}$ $\Rightarrow$$3{\mid} y\Rightarrow$ имеем противоречие.
$\left\{ \begin{array}{lcl} 3{\mid} V\\ 3 {\mid} y \end{array} \right.$$\Rightarrow$ $3{\mid}\frac{V^3-y^3}{3V}$ $\Rightarrow$$3{\mid} x\Rightarrow$ имеем противоречие.
Конец леммы.
Лемма 3.
$\left\{ \begin{array}{lcl} 2{\mid} \frac{W^3-x^3}{3W} \\ (x,y)=1 \\ 3\not{\mid} W \end{array} \right.$$\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} W=W_0^3, W_0\in\mathbb{N}_{nech}\\ x=W+3\cdot2^\alpha W_0h_x, h_x\in\mathbb{N}_{nech},(W_0,h_x)=1,\alpha\in\mathbb{N}\\ \end{array} \right.$
Конец леммы.
Лемма 4.
$\left\{ \begin{array}{lcl} W>1\Rightarrow V=2^{3\alpha}, \alpha\in\mathbb{N} \\ V>2^{3\alpha}\Rightarrow W=1\\ \end{array} \right.$
Конец леммы.
а) Пусть $V>2^{3\alpha}\Rightarrow W=1$ по лемме 4.
$x-W=y-V=-k \Rightarrow x=y-V+1 \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} x=2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1 \\ y=2^{3\alpha}\cdot V_0^3+3\cdot 2^{\alpha} V_0h,V_0>1,h\in\mathbb{N} \end{array}\right.$ $\Rightarrow (1-\frac{2^{3\alpha}\cdot V_0^3}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1})^3+(1-\frac{1}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1})^3=1$;
Имеем уравнение $H(h,V_0,\alpha)=1$.
Пусть $h$ - аргумент функции, а $V_0,\alpha$ это некие параметры.
Докажем, что $\left\{ \begin{array}{lcl} H (V_0-1,V_0,\alpha)<1 \\ H (V_0+1,V_0,\alpha)>1 \\ \end{array} \right.$
Функция $H(h)$ возрастает на $D(h)=[1;\infty]$.
$H(V_0-1)=F (V_0)=(1-\frac{2^{3\alpha}\cdot V_0^3}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0(V_0-1)+1})^3+(1-\frac{1}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0(V_0-1)+1})^3$
Функция $F(V_0)$ возрастает на $D(F)=[3;+\infty]$, так как $F'(V_0)>0\ \forall\ V_0\geqslant3,\alpha\in\mathbb{N}$;
$\left\{ \begin{array}{lcl} \lim\limits_{V_0\to\infty}{F (V_0)}=1\\ \lim\limits_{V_0\to\infty}{\frac {F (V_0)}{V_0}}=0 \end{array} \right.$$\Rightarrow F=1$ - асимптота графика функции $F (V_0)$ $\Rightarrow H (V_0-1,V_0,\alpha)<1$.
Случай $H(V_0+1,V_0,\alpha)>1$ разбирается аналогично.
В результате имеем: $h\in (V_0-1,V_0+1)$. Но $h\in\mathbb{N}\Rightarrow h=V_0$. Получили противоречие с леммой 1.
б) $W>1\Rightarrow V=2^{3\alpha}, \alpha\in\mathbb{N}$ по лемме 4. Разбирается аналогично а). Таким образом, единственный оставшийся вариант - это $\left\{ \begin{array}{lcl} W=1 \\ V=2^{3\alpha}\\ \end{array} \right.$.
В этом случае

$$\left\{ \begin{array}{lcl} z=1+2^{3\alpha}+3\cdot 2^{\alpha}\cdot h \\ x=1+3\cdot 2^{\alpha}\cdot h \\ y=2^{3\alpha}+3\cdot 2^{\alpha}\cdot h,h,\alpha\in\mathbb{N} \end{array} \eqno (1) \right.$$

Настало время вспомнить лемму 2: $3\mid{xyz}\Rightarrow 3\mid z \Rightarrow$ по малой теореме Ферма $3\mid{2^{\alpha}+1 }\Rightarrow $ \alpha\in\mathbb{N}_{nech}$. Дальше анализируя последние цифры чисел уравнения после подстановки в него соотношений (1) без раскрытия скобок слева и справа получаем, что оставшийся случай также невозможен. Теперь рассмотрим второй случай, когда $x$ и $y$ оба нечетные. Он проще первого. Продолжение следует. Доказательства лемм я приведу потом по двум причинам: дело в том,что ошибка у меня найдётся и без них, а во вторых они не позволили бы увидеть идею доказательства

[vasili]

Лемма 1.
$\left\{ \begin{array}{lcl} 2\not{\mid} \frac{v^3-y^3}{3v} \\ (x,y)=1 \\ 3\not{\mid} V \end{array} \right.$$\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} V=2^{3\alpha}\cdot V_0^3, V_0\in\mathbb{N}_{nech}\\ y=V+3\cdot 2^\alpha \cdot V_0h_y, h_y\in\mathbb{N}_{nech},(V_0,h_y)=1,\alpha\in\mathbb{N}\\ \end{array} \right.$

Если в правой части последнего равенства заменим V на $z - x$ и перенесем это в левую часть, то получим известный трехчлен $x + y-z$ равный произведению известных делителей чисел $x,y,z$. У Вас в левой часть очевидно имеется делитель числа Y равный $2^aV_0$, а также видимо делитель числа z равный 3 (полагая $(z,3) = 3$), тогда делителе $h_y$ принадлежит какому числу или каким числам?

[ananova]

vasili в сообщении #1167522 писал(а):

тогда делитель $h_y$ принадлежит какому числу или каким числам?

$z$, если $W=1$ или
$x$ и $z$, если $W>1$

[vasili]

Тогда из леммы 3 следует, что $3h_x$ принадлежит z, а значит $3h_y =3h_xW_0$?

[Antoshka]

vasili в сообщении #1167683 писал(а):

Тогда из леммы 3 следует, что $3h_x$ принадлежит z, а значит $3h_y =3h_xW_0$?

Вообще не понял, что вы имеете ввиду. $h_x$ это нечетное натуральное число, а не целое, как вы написали. Об этом в условии леммы написано. Или вы имели ввиду что - то другое? Что вообще значит "делитель принадлежит числу"?

[vasili]

"....принадлежит z", это значит, что $3h_x$ является делителем z. Из равенства $y = 2^{3a}V_0^3 + 3\cdot 2^a V_0h$ (лемма 4) следует, что h является произведением известных делителей чисел z и x. Тогда $h_y = h$. Зачем одно тоже число обозначать по разному?

[Antoshka]

vasili в сообщении #1167704 писал(а):

Тогда $h_y = h$. Зачем одно тоже число обозначать по разному?

Я убрал индекс у переменной $h_y$ чисто для удобства, ведь дальше я буду исследовать функцию и чтобы поменьше писать я так поступил

[vasili]

А почему для исследования функции Вы выбрали окрестность $V_0$? Ведь $h>>V_0$.

[Aritaborian]

(ТеХническое)

$\gg$

[Antoshka]

vasili в сообщении #1167759 писал(а):

А почему для исследования функции Вы выбрали окрестность $V_0$? Ведь $h>>V_0$.

Потому что функция $H(h)$ монотонно возрастающая, следовательно каждое свое значение она принимает не более одного раза. $H(V_0-1)<1,H(V_0+1)>1$, функция непрерывна на рассматриваемом промежутке $\Rightarrow$ по теореме Больцано-Коши о нулях функции, непрерывной на отрезке существует точка, в который она равна единице и притом единственная

[Antoshka]

vasili в сообщении #1167759 писал(а):

Ведь $h>>V_0$.

А это откуда?

[vasili]

h является произведением известных делителей $ z_1$ и $x_1$ чисел z и x (см. формулы Абеля), где
$z_1^3 = 3(x + y)$ [для варианта, когда $(z, 3) = 3$], а $x_1^3 = z-y$ и $z-x =y_1^3 =2^{3a}V_0^3$.[Ваше обозначение] Тогда $h^3 = 3(x + y)(z-y) >>(z-x) =2^{3a}V_0^3$, отсюда $h >>V_0$.

[Antoshka]

vasili в сообщении #1168078 писал(а):

h является произведением известных делителей $ z_1$ и $x_1$ чисел z и x (см. формулы Абеля), где
$z_1^3 = 3(x + y)$ [для варианта, когда $(z, 3) = 3$], а $x_1^3 = z-y$ и $z-x =y_1^3 =2^{3a}V_0^3$.[Ваше обозначение] Тогда $h^3 = 3(x + y)(z-y) >>(z-x) =2^{3a}V_0^3$, отсюда $h >>V_0$.

Куда у вас второй множитель пропал? Если уж на то пошло, должно быть $h>>2^{\alpha}\cdot V_0$. Это первое.
Второе. Если подставить мои соотношения

Antoshka в сообщении #1167494 писал(а):

$x-W=y-V=-k \Rightarrow x=y-V+1 \Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} x=2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1 \\ y=2^{3\alpha}\cdot V_0^3+3\cdot 2^{\alpha} V_0h,V_0>1,h\in\mathbb{N} \end{array}\right.$

в соотношение, которое вы написали,то получится уравнение вида $h^3=3\cdot(m^3+6mh+1)$,где $m=2^{\alpha}\cdot V_0$, которое уже при $h=3m $, которое явно не много больше $m $, не имеет даже действительных положительных решений, больших единицы, не говоря о натуральных. И вообще я реально не понимаю, как вы так лихо выразили $h$ через $x,y,z$

[vasili]

1.Из Вашего равенства $y = V + 3\cdot2^aV_0h_y$ следует $y = z-x + 3\cdot2^aV_0h_y$ или
$x + y -z = 3\cdot2^aV_0h_y$, но багодаря формулам Абеля имеем
$x + y -z = z_1x_1 y_1$, где в Вашем обозначении
$y_1^3 = z-x =2^{3a}V_0^3$, отсюда
$y_1 = 2^aV_0$ и трехчлен будет
$x + y -z = z_1x_13h_y $, отсюда
$3h_Y = z_1x_1$, где $z_1^3 = 3(x + y)$[полагая $(z, 3) = 3$], а $x_1^3 = z-y$.

2.Очевидно, если $h >>2^aV_0$, то $h >> V_0$.