2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение07.11.2016, 23:31 


13/05/16
59
В этой теме мною будет приведено доказательство ВТФ3, а затем, если повезёт, общий случай, что маловероятно, конечно, но в общем тем не менее. Начнём доказательство. Сразу напишу, что оно необычное, так как больше напоминает матанализ, но обо всем порядку. Сначала переформулируем теорему.
Уравнение $x^3+y^3=z^3$ не имеет решений в натуральных взаимно простых числах. Докажем от противного: пусть $\exists$ такие $x,y,z\in\mathbb{N} $, что вышеприведенное равенство выполняется. Возможны два случая (нет, не те что вы подумали, другие немного).
1)$\left\{
\begin{array}{rcl}
  x\in\mathbb{N}_{nech} \\
  y\in\mathbb{N}_{chet}$\end{array}
\right.$
2)$\left\{
\begin{array}{rcl}
  x\in\mathbb{N}_{nech} \\
  y\in\mathbb{N}_{nech}$\end{array}
\right.$ , где chet и nechet - это четные и нечетные числа соответственно
В обоих случаях у нас будет замена $z=x+y+k,k <0$
По определению положим $\left\{
\begin{array}{rcl}
 V=y+k \\
 W=x+k $\end{array}\right.$
Тогда имеем $\left\{
\begin{array}{rcl}
 z=x+V\\
 z=y+W $\end{array}\right.$
Продолжение следует

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение09.11.2016, 15:20 


13/05/16
59
Следовательно имеем $\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^3+y^3=(x+V)^3  \\
 x^3+y^3=(y+W)^3 
\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{
\begin{array}{lcl}
 x^2+Vx+\frac{V^3-y^3}{3V}=0   \\
 y^2+Wy+\frac{W^3-x^3}{3W}=0   
\end{array}
\right.$
Теперь рассмотрим каждый из случаев отдельно. Начнём с того, который сложнее, то есть когда $x$ нечетное и $y$ четное. В связи с этим поставим цифру 1.
1) Тут в свою очередь возможны варианты.
Лемма 1.
$\left\{
\begin{array}{lcl}
 2\not{\mid} \frac{v^3-y^3}{3v} \\
 (x,y)=1 \\
 3\not{\mid} V 
 \end{array}
\right.$$\Rightarrow$ $\left\{
\begin{array}{lcl}
 V=2^{3\alpha}\cdot V_0^3, V_0\in\mathbb{N}_{nech}\\
 y=V+3\cdot 2^\alpha \cdot V_0h_y, h_y\in\mathbb{N}_{nech},(V_0,h_y)=1,\alpha\in\mathbb{N}\\
\end{array}
\right.$
Конец леммы.
Лемма 2.
$\left\{
\begin{array}{lcl}
  3{\mid} W\\
  3 {\mid} x
\end{array}
\right.$$\Rightarrow$ $3{\mid}\frac{W^3-x^3}{3W}$ $\Rightarrow$$3{\mid} y\Rightarrow$ имеем противоречие.
$\left\{
\begin{array}{lcl}
  3{\mid} V\\
  3 {\mid} y
\end{array}
\right.$$\Rightarrow$ $3{\mid}\frac{V^3-y^3}{3V}$ $\Rightarrow$$3{\mid} x\Rightarrow$ имеем противоречие.
Конец леммы.
Лемма 3.
$\left\{
\begin{array}{lcl}
 2{\mid} \frac{W^3-x^3}{3W} \\
 (x,y)=1 \\
 3\not{\mid} W
 \end{array}
\right.$$\Rightarrow$ $\left\{
\begin{array}{lcl}
 W=W_0^3, W_0\in\mathbb{N}_{nech}\\
 x=W+3\cdot2^\alpha W_0h_x, h_x\in\mathbb{N}_{nech},(W_0,h_x)=1,\alpha\in\mathbb{N}\\
\end{array}
\right.$
Конец леммы.
Лемма 4.
$\left\{
\begin{array}{lcl}
 W>1\Rightarrow V=2^{3\alpha}, \alpha\in\mathbb{N} \\
 V>2^{3\alpha}\Rightarrow W=1\\
\end{array}
\right.$
Конец леммы.
а) Пусть $V>2^{3\alpha}\Rightarrow W=1$ по лемме 4.
$x-W=y-V=-k \Rightarrow x=y-V+1 \Rightarrow$ $\left\{
\begin{array}{lcl}
 x=2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1 \\
 y=2^{3\alpha}\cdot V_0^3+3\cdot 2^{\alpha} V_0h,V_0>1,h\in\mathbb{N}
\end{array}\right.$ $\Rightarrow (1-\frac{2^{3\alpha}\cdot V_0^3}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1})^3+(1-\frac{1}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1})^3=1$;
Имеем уравнение $H(h,V_0,\alpha)=1$.
Пусть $h$ - аргумент функции, а $V_0,\alpha$ это некие параметры.
Докажем, что $\left\{
\begin{array}{lcl}
 H (V_0-1,V_0,\alpha)<1 \\
 H (V_0+1,V_0,\alpha)>1 \\
\end{array}
\right.$
Функция $H(h)$ возрастает на $D(h)=[1;\infty]$.
$H(V_0-1)=F (V_0)=(1-\frac{2^{3\alpha}\cdot V_0^3}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0(V_0-1)+1})^3+(1-\frac{1}{2^{3\alpha}\cdot V_0^3+2^{\alpha}\cdot 3V_0(V_0-1)+1})^3$
Функция $F(V_0)$ возрастает на $D(F)=[3;+\infty]$, так как $F'(V_0)>0\ \forall\ V_0\geqslant3,\alpha\in\mathbb{N}$;
$\left\{
\begin{array}{lcl}
\lim\limits_{V_0\to\infty}{F (V_0)}=1\\
\lim\limits_{V_0\to\infty}{\frac {F (V_0)}{V_0}}=0
\end{array}
\right.$$\Rightarrow
F=1$ - асимптота графика функции $F (V_0)$ $\Rightarrow H (V_0-1,V_0,\alpha)<1$.
Случай $H(V_0+1,V_0,\alpha)>1$ разбирается аналогично.
В результате имеем: $h\in (V_0-1,V_0+1)$. Но $h\in\mathbb{N}\Rightarrow h=V_0$. Получили противоречие с леммой 1.
б) $W>1\Rightarrow V=2^{3\alpha}, \alpha\in\mathbb{N}$ по лемме 4. Разбирается аналогично а). Таким образом, единственный оставшийся вариант - это $\left\{
\begin{array}{lcl}
 W=1 \\
 V=2^{3\alpha}\\
\end{array}
\right.$.
В этом случае $$\left\{
\begin{array}{lcl}
 z=1+2^{3\alpha}+3\cdot 2^{\alpha}\cdot h \\
 x=1+3\cdot 2^{\alpha}\cdot h         \\
 y=2^{3\alpha}+3\cdot 2^{\alpha}\cdot h,h,\alpha\in\mathbb{N}
\end{array} \eqno  (1)
\right.$$
Настало время вспомнить лемму 2: $3\mid{xyz}\Rightarrow 3\mid z \Rightarrow$ по малой теореме Ферма $3\mid{2^{\alpha}+1 }\Rightarrow $ \alpha\in\mathbb{N}_{nech}$. Дальше анализируя последние цифры чисел уравнения после подстановки в него соотношений (1) без раскрытия скобок слева и справа получаем, что оставшийся случай также невозможен. Теперь рассмотрим второй случай, когда $x$ и $y$ оба нечетные. Он проще первого. Продолжение следует. Доказательства лемм я приведу потом по двум причинам: дело в том,что ошибка у меня найдётся и без них, а во вторых они не позволили бы увидеть идею доказательства

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение09.11.2016, 17:54 


27/03/12
378
г. новосибирск
Лемма 1.
$\left\{ \begin{array}{lcl} 2\not{\mid} \frac{v^3-y^3}{3v} \\ (x,y)=1 \\ 3\not{\mid} V \end{array} \right.$$\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{lcl} V=2^{3\alpha}\cdot V_0^3, V_0\in\mathbb{N}_{nech}\\ y=V+3\cdot 2^\alpha \cdot V_0h_y, h_y\in\mathbb{N}_{nech},(V_0,h_y)=1,\alpha\in\mathbb{N}\\ \end{array} \right.$

Если в правой части последнего равенства заменим V на $z - x$ и перенесем это в левую часть, то получим известный трехчлен $x + y-z$ равный произведению известных делителей чисел $x,y,z$. У Вас в левой часть очевидно имеется делитель числа Y равный $2^aV_0$, а также видимо делитель числа z равный 3 (полагая $(z,3) = 3$), тогда делителе $h_y$ принадлежит какому числу или каким числам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение09.11.2016, 18:18 


15/12/05
740
vasili в сообщении #1167522 писал(а):
тогда делитель $h_y$ принадлежит какому числу или каким числам?

$z$, если $W=1$ или
$x$ и $z$, если $W>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 05:45 


27/03/12
378
г. новосибирск
Тогда из леммы 3 следует, что $3h_x$ принадлежит z, а значит $3h_y =3h_xW_0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 08:26 


13/05/16
59
vasili в сообщении #1167683 писал(а):
Тогда из леммы 3 следует, что $3h_x$ принадлежит z, а значит $3h_y =3h_xW_0$?

Вообще не понял, что вы имеете ввиду. $h_x$ это нечетное натуральное число, а не целое, как вы написали. Об этом в условии леммы написано. Или вы имели ввиду что - то другое? Что вообще значит "делитель принадлежит числу"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 09:15 


27/03/12
378
г. новосибирск
"....принадлежит z", это значит, что $3h_x$ является делителем z. Из равенства $y = 2^{3a}V_0^3 + 3\cdot 2^a V_0h$ (лемма 4) следует, что h является произведением известных делителей чисел z и x. Тогда $h_y = h$. Зачем одно тоже число обозначать по разному?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 10:19 


13/05/16
59
vasili в сообщении #1167704 писал(а):
Тогда $h_y = h$. Зачем одно тоже число обозначать по разному?

Я убрал индекс у переменной $h_y$ чисто для удобства, ведь дальше я буду исследовать функцию и чтобы поменьше писать я так поступил

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 12:06 


27/03/12
378
г. новосибирск
А почему для исследования функции Вы выбрали окрестность $V_0$? Ведь $h>>V_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 12:12 
Аватара пользователя


11/06/12
7768
Минск

(ТеХническое)

$\gg$

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.11.2016, 19:44 


13/05/16
59
vasili в сообщении #1167759 писал(а):
А почему для исследования функции Вы выбрали окрестность $V_0$? Ведь $h>>V_0$.

Потому что функция $H(h)$ монотонно возрастающая, следовательно каждое свое значение она принимает не более одного раза. $H(V_0-1)<1,H(V_0+1)>1$, функция непрерывна на рассматриваемом промежутке $\Rightarrow$ по теореме Больцано-Коши о нулях функции, непрерывной на отрезке существует точка, в который она равна единице и притом единственная

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.11.2016, 13:16 


13/05/16
59
vasili в сообщении #1167759 писал(а):
Ведь $h>>V_0$.

А это откуда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.11.2016, 16:27 


27/03/12
378
г. новосибирск
h является произведением известных делителей $ z_1$ и $x_1$ чисел z и x (см. формулы Абеля), где
$z_1^3 = 3(x + y)$ [для варианта, когда $(z, 3) = 3$], а $x_1^3 = z-y$ и $z-x =y_1^3 =2^{3a}V_0^3$.[Ваше обозначение] Тогда $h^3 = 3(x + y)(z-y) >>(z-x) =2^{3a}V_0^3$, отсюда $h >>V_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.11.2016, 22:50 


13/05/16
59
vasili в сообщении #1168078 писал(а):
h является произведением известных делителей $ z_1$ и $x_1$ чисел z и x (см. формулы Абеля), где
$z_1^3 = 3(x + y)$ [для варианта, когда $(z, 3) = 3$], а $x_1^3 = z-y$ и $z-x =y_1^3 =2^{3a}V_0^3$.[Ваше обозначение] Тогда $h^3 = 3(x + y)(z-y) >>(z-x) =2^{3a}V_0^3$, отсюда $h >>V_0$.

Куда у вас второй множитель пропал? Если уж на то пошло, должно быть $h>>2^{\alpha}\cdot V_0$. Это первое.
Второе. Если подставить мои соотношения
Antoshka в сообщении #1167494 писал(а):
$x-W=y-V=-k \Rightarrow x=y-V+1 \Rightarrow$ $\left\{
\begin{array}{lcl}
x=2^{\alpha}\cdot 3V_0h+1 \\
y=2^{3\alpha}\cdot V_0^3+3\cdot 2^{\alpha} V_0h,V_0>1,h\in\mathbb{N}
\end{array}\right.$
в соотношение, которое вы написали,то получится уравнение вида $h^3=3\cdot(m^3+6mh+1)$,где $m=2^{\alpha}\cdot V_0$, которое уже при $h=3m $, которое явно не много больше $m $, не имеет даже действительных положительных решений, больших единицы, не говоря о натуральных. И вообще я реально не понимаю, как вы так лихо выразили $h$ через $x,y,z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение12.11.2016, 04:27 


27/03/12
378
г. новосибирск
1.Из Вашего равенства $y = V + 3\cdot2^aV_0h_y$ следует $y = z-x + 3\cdot2^aV_0h_y$ или
$x + y -z = 3\cdot2^aV_0h_y$, но багодаря формулам Абеля имеем
$x + y -z = z_1x_1 y_1$, где в Вашем обозначении
$y_1^3 = z-x =2^{3a}V_0^3$, отсюда
$y_1 = 2^aV_0$ и трехчлен будет
$x + y -z = z_1x_13h_y $, отсюда
$3h_Y = z_1x_1$, где $z_1^3 = 3(x + y)$[полагая $(z, 3) = 3$], а $x_1^3 = z-y$.

2.Очевидно, если $h >>2^aV_0$, то $h >> V_0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group