2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение07.04.2017, 09:47 


13/05/16
59
Получается, что у уравнения $a^3+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно. Я посмотрел на приведенные выше решения и заметил такую закономерность. Пусть $b$ - четное натуральное число. Тогда $a$ и $c$ будут нечетными только в случае который привёл venco
venco в сообщении #1206861 писал(а):
$b$ может быть любым:
$a=b^3-1, c=b^3+1$


-- 07.04.2017, 09:56 --

Данная закономерность имеет какое то объяснение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение08.04.2017, 18:27 


22/11/13
139
Antoshka в сообщении #1207204 писал(а):
Получается, что у уравнения $a^2+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно.


В явном виде можно выписать для любых b. Но это большая работа.
Например при b=6 имеется 7 решений и 7 конкретных формул.
Две их этих формул универсальные для всех b.
Для b=4, имеется 3 решения. 2 универсальных и одно дополнительное:
$a_1=b^3/2-b/2$
$c_1=b^3/2+b/2$
Это дополнительное решение не подходит для b=6.

Для всех простых чисел b имеются только два решения.
И эти решения (универсальные) являются только частными для непростых чисел b.
$a_1=b^3-1$
$c_1=b^3+1$
$a_2=b^2-b$
$c_2=b^2+b$

Иван Горин

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение08.04.2017, 23:20 


13/05/16
59
Antoshka в сообщении #1207204 писал(а):
Получается, что у уравнения $a^3+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно. Я посмотрел на приведенные выше решения и заметил такую закономерность. Пусть $b$ - четное натуральное число. Тогда $a$ и $c$ будут нечетными только в случае который привёл venco
venco в сообщении #1206861 писал(а):
$b$ может быть любым:
$a=b^3-1, c=b^3+1$


-- 07.04.2017, 09:56 --

Данная закономерность имеет какое то объяснение?

Сам себе и отвечу: $4\cdot 12^3=91^2-37^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение09.04.2017, 18:12 


22/11/13
139
Antoshka в сообщении #1207709 писал(а):
Antoshka в сообщении #1207204 писал(а):
Получается, что у уравнения $a^3+4b^3=c^2$ много решений в натуральных числах и все их в явном виде выписать невозможно. Я посмотрел на приведенные выше решения и заметил такую закономерность. Пусть $b$ - четное натуральное число. Тогда $a$ и $c$ будут нечетными только в случае который привёл venco
venco в сообщении #1206861 писал(а):
$b$ может быть любым:
$a=b^3-1, c=b^3+1$


-- 07.04.2017, 09:56 --

Данная закономерность имеет какое то объяснение?

Сам себе и отвечу: $4\cdot 12^3=91^2-37^2$

Вы привели 1 решение для b=12
А этих решений 14.
1. $4\cdot 12^3=84^2-12^2$
2. $4\cdot 12^3=86^2-22^2$
3. $4\cdot 12^3=91^2-37^2$
4. $4\cdot 12^3=96^2-48^2$
5. $4\cdot 12^3=114^2-78^2$
6. $4\cdot 12^3=124^2-92^2$
7. $4\cdot 12^3=156^2-132^2$
8. $4\cdot 12^3=201^2-183^2$
9. $4\cdot 12^3=224^2-208^2$
10. $4\cdot 12^3=294^2-282^2$
11. $4\cdot 12^3=436^2-428^2$
12. $4\cdot 12^3=579^2-573^2$
13. $4\cdot 12^3=866^2-862^2$
14. $4\cdot 12^3=1729^2-1727^2$
Все решения независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение09.04.2017, 22:53 


13/05/16
59
Но среди этих 14 решений только приведенное мной состоит из взаимно простых чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.04.2017, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
Не только. Есть ещё одно. Последнее в списке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.04.2017, 07:47 


13/05/16
59
Someone в сообщении #1208083 писал(а):
Не только. Есть ещё одно. Последнее в списке.

Вообще говоря да! Но оно представляет из себя тривиальное тождество, верное для любого нейтрального числа

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.04.2017, 10:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
Antoshka в сообщении #1208100 писал(а):
Но оно представляет из себя тривиальное тождество, верное для любого нейтрального числа
Ну и что? Главное, что оно есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение10.04.2017, 10:53 


13/05/16
59
Someone в сообщении #1208119 писал(а):
Цитата:
Ну и что? Главное, что оно есть.

Это да

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.04.2017, 08:26 


13/05/16
59
Все равно не понимаю. Имеем уравнение $a^2+4\cdot b^3=c^2$. Известно, что $a,b,c$ это взаимно простые натуральные числа. Пусть возможны две ситуации.
1.$b$ это четное число, которое не является степенью двойки, $a$ и $c$ нечетные.
2.$b$ это нечетное число, большее трех, $a$ и $c$ четные. Моя гипотеза заключается в том, что при таком раскладе возможны только два представления в виде разности квадратов. Первое причем будет через тривиальное тождество, на которое я указал выше. Интересно, верно ли мое предположение? Мне пока удалось вывести формулу для разложений, но из нее не очень видно, охватывает ли она все возможные разложения во взаимно простых числах

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.04.2017, 09:31 


13/05/16
59
В первом случае я имел ввиду что $b\ne 2^m,m\in\mathbb{N}$. Для второго случая отмечу еще что $b\ne p^m,m\in\mathbb{N}$,$p$ простое число

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.04.2017, 13:15 


03/10/06
675
Чем на большее число сомножителей разлагается $b$, тем больше решений можно получить, вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.04.2017, 14:03 


13/05/16
59
yk2ru в сообщении #1208619 писал(а):
Чем на большее число сомножителей разлагается $b$, тем больше решений можно получить, вроде так.

Это вы про разложение числа $b$ по основной теореме арифметики?

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.04.2017, 14:44 


03/10/06
675
Antoshka в сообщении #1208635 писал(а):
Это вы про разложение числа $b$ по основной теореме арифметики?

Да, но повторяющиеся сомножители будут уменьшать количество решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Великая теорема Ферма. Доказательство
Сообщение11.04.2017, 16:42 


13/05/16
59
yk2ru в сообщении #1208645 писал(а):
Antoshka в сообщении #1208635 писал(а):
Это вы про разложение числа $b$ по основной теореме арифметики?

Да, но повторяющиеся сомножители будут уменьшать количество решений.

Нет. Гипотеза не верна. Я проглядел что то. $6119^2-631^2=10261^2-8261^2=4 \cdot 210^3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group