"Категорный" vs "некатегорный" подход

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1207291 писал(а):

Вряд ли бы квантовый язык появился и был бы кому-то интересен, если бы он отвечал только на собственные вопросы.

Metford в сообщении #1207294 писал(а):

Вот-вот.

Ну вот даже в физике это абсолютно не так. (Metford, кому в классической физике могла нафиг понадобиться теория антиферромагнетизма?) А в математике это вообще ровно наоборот. Математика ("чистая", начиная с середины 19 века) отвечает именно что только на собственные вопросы. И именно это диктует её развитие.

-- 07.04.2017 16:49:11 --

Metford
Сформулируем на чисто практическом языке. Хотели бы вы делать выкладки в 10 раз быстрее? Хотели бы вы для 9/10 научных задач, которые вы ставите сами себе, заранее видеть, что они тривиальны / перспективны / нерешаемы? Тогда покупайте наших слонов! :-)

[Metford]

Munin
Ну, вот Вы смогли привести пример того, как дифференциальная геометрия в нынешнем её понимании что-то даёт физической стороне. Удобство - это, конечно, хорошо... Но не есть ли это такое удобство, что за него придётся слишком дорого заплатить? То есть в данный конкретный момент я для себя вижу больше пользы в том, чтобы как следует изучить функциональный анализ, а не теорию категорий. Не вижу я сейчас тех ландшафтов, которые мне может она открыть. Возможно, просто потому что я имею крайне слабое представление о ней. Но мне вовсе не хочется погружаться в сложную абстракцию, не имея никакой гарантии. Да, я сейчас рассуждаю чисто прагматически. Возможно, когда-нибудь из академического интереса (который и сейчас присутствует) я возьмусь прочитать книгу по категориям. На пенсии где-то. Сейчас же мне придётся для этого что-то отставить в сторону - и может оказаться... болезненно.

Munin в сообщении #1207306 писал(а):

кому в классической физике могла нафиг понадобиться теория антиферромагнетизма?

Некорректно. Изначально говорилось о возможности отвечать не только на свои вопросы. Квантовая теория началась с вопросов, поставленных до её открытия. И у того же ферромагнетизма, например, есть классическое описание. Да, феноменология, да теперь несколько лучше дела обстоят. Но вопрос был уже поставлен до. А после оказалось, что и новые вопросы появились, и со старыми подразобрались.

Munin в сообщении #1207306 писал(а):

Хотели бы вы делать выкладки в 10 раз быстрее? Хотели бы вы для 9/10 научных задач, которые вы ставите сами себе, заранее видеть, что они тривиальны / перспективны / нерешаемы? Тогда покупайте наших слонов!

Я с удовольствием куплю Вашего слона, когда Вы покажете, как он работает, скажем на ниве теории поля

А никто из математиков своего слова не скажет?..

[kp9r4d]

Metford в сообщении #1207309 писал(а):

А никто из математиков своего слова не скажет?..

Абсолютно прагматическая перспектива: $C^*$-алгебры создавались фон Нейманом в попытке полностью формализовать квантовую механику; когда стало понятно, что для полной формализации их не хватает (и даже всякие AQFT оказались не очень жизнеспособными), тогда начали думать о построении некоммутативной геометрии. Сейчас, конечно, ситуация такова, что у каждого великого математика есть свой вариант некоммутативной геометрии, но умные люди говорят, что в последнее время начинает вырисовываться нечто определённое. Без категорий в некоммутативной геометрии делать абсолютно нечего - это наверняка.

[Munin]

Metford в сообщении #1207309 писал(а):

Но не есть ли это такое удобство, что за него придётся слишком дорого заплатить? То есть в данный конкретный момент я для себя вижу больше пользы в том, чтобы как следует изучить функциональный анализ, а не теорию категорий.

Ну так я и не агитирую вас за Красную Армию. Изучайте что вам больше нравится / хочется / кажется нужным. Вы, небось, большой уже, чтобы сами решить. (А если нет, то у вас есть научрук.)

Но "дорого" не надо преувеличивать. Здоровенную книжку по категориям читать не нужно - от неё и у мехматянина вскипят мозги. (Завидую kp9r4d.) А вот несколько правил и несколько наглядных примеров применения - это недолго и круто.

Metford в сообщении #1207309 писал(а):

Но мне вовсе не хочется погружаться в сложную абстракцию, не имея никакой гарантии. Да, я сейчас рассуждаю чисто прагматически.

Тут всё очень просто. Молодые и безбашенные часто рискуют без гарантии. И выигрывают. Это можно наблюдать со стороны. Если это вас не стимулирует - я не возьмусь дать вам стимула более сильного.

Metford в сообщении #1207309 писал(а):

Возможно, когда-нибудь из академического интереса (который и сейчас присутствует) я возьмусь прочитать книгу по категориям. На пенсии где-то. Сейчас же мне придётся для этого что-то отставить в сторону - и может оказаться... болезненно.

Смотрите, чтобы на пенсии вы не ощутили болезненность за то, что не сделали этого на десятилетия раньше. "...Прожить ее надо так, чтобы не было мучительно больно за бесцельно прожитые годы..."

(Мне за кое-какие ошибки молодости уже больно, но вот знакомство с дифгемом и с категориями в них не входит.)

Metford в сообщении #1207309 писал(а):

Я с удовольствием куплю Вашего слона, когда Вы покажете, как он работает, скажем на ниве теории поля :-)

Про дифгем я, вроде, именно это и сказал и показал. Про категории - говорят и показывают другие, тут надо передний край с arXiv читать.

Ещё не сказал: я думаю, что вековая мечта человечества - решение уравнения Янга-Миллса - будет достигнута именно дифгемом.

-- 07.04.2017 17:07:39 --

kp9r4d
На вопрос post1207283.html#p1207283 ответите?

[kp9r4d]

Munin в сообщении #1207314 писал(а):

kp9r4d
На вопрос post1207283.html#p1207283 ответите?

Не заметил, прошу прощения.

По учебникам ситуация примерно такая: есть тонна учебной литературы по дифференциальной геометрии, и в лучшем случае 20-30 учебников в которых что-то написано о джетах, и при этом написано везде разное. То есть это ещё нечто совсем не сформированное и я точно могу не знать. Но основная проблема в том, что если в линейном случае мы имеем $d(f \circ g) = df dg$ то в случае $d^k$ формула композиции получается сложной, а если самая первая формула, на которой всё и стоит получается сложной, то что можно говорить о каких-то дальнейших построениях. Я не вижу, как эту проблему смогла бы исправить кэлеровость, римановость или что-то в этом духе. Хотя я не специалист; я косвенно знаком с тройкой специалистов по джетам, и они говорят, что всё там красиво и они умеют много чего с ними делать. Только говорят они так всю жизнь, а не делают пока ничего, так что я как-то не особо доверяю им.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1207314 писал(а):

А вот несколько правил и несколько наглядных примеров применения - это недолго и круто.

Если имеется в виду применение в том же объёме, в котором применяется наивная теория множеств (см. пост vpb), то наверняка недолго и полезно, а вот для крутости, мне показалось, надо погружаться глубже. Впрочем, кто как линию проведёт.

[kp9r4d]

Есть ещё такая страничка: Higher category theory and physics

[Munin]

Мне на топорном уровне представлялось так: функцию можно разложить в точке в ряд, коэффициенты которого суть тензоры возрастающих рангов.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1207332 писал(а):

Мне на топорном уровне представлялось так: функцию можно разложить в точке в ряд, коэффициенты которого суть тензоры возрастающих рангов.

Я тоже раньше так думал, не было причин влезть в детали, но потом мне Oleg Zubelevich сказал, что я неправ. Проблема в том, что это не тензоры (в смысле, что они не меняются нужным образом при смене координат).

[Munin]

Ну, в этом смысле не тензоры.

[Metford]

kp9r4d в сообщении #1207331 писал(а):

Есть ещё такая страничка: Higher category theory and physics

Кажется, это интересно. Спасибо!

Munin в сообщении #1207314 писал(а):

Изучайте что вам больше нравится / хочется / кажется нужным.

Собственно говоря, я так и делаю. Но практически всегда изучение начиналось либо с того, что можно "потрогать", либо с того, что легко подцеплялось к уже известной мне математике. С категориями такого не наблюдается. Ну, вот если только ссылка, которую дал kp9r4d, поможет.

Munin в сообщении #1207314 писал(а):

Про дифгем я, вроде, именно это и сказал и показал.

В нужности дифференциальной геометрии меня убеждать не нужно. Не скажу, что я её фанат Но она мне ну очень нравится.

Munin в сообщении #1207314 писал(а):

Смотрите, чтобы на пенсии вы не ощутили болезненность за то, что не сделали этого на десятилетия раньше. "...Прожить ее надо так, чтобы не было мучительно больно за бесцельно прожитые годы..."

Бесцельно прожитыми они точно не будут. А обидно всё равно за что-нибудь будет. Это неизбежно.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1207314 писал(а):

Тут всё очень просто. Молодые и безбашенные часто рискуют без гарантии. И выигрывают. Это можно наблюдать со стороны. Если это вас не стимулирует - я не возьмусь дать вам стимула более сильного.

Это сильный аргумент?.. Ну-ну. Рискуют-то часто. А вот что касается выигрыша... Но это другой вопрос - его я обсуждать не предполагаю.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1207353 писал(а):

Ну, в этом смысле не тензоры.

Ну так с тензорами можно делать только одну осмысленную вещь, и вещь эта проста и линейна. С джетами все получается не так просто.

[Munin]

Metford в сообщении #1207362 писал(а):

Ну, вот если только ссылка, которую дал kp9r4d, поможет.

Мне она не помогла бы. Скорее, я к категориям приходил тоже "с того, что можно потрогать", но не непосредственно из физики, а из некоторой математики, которая уже другим боком касается физики. Из того же дифгема.

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1207362 писал(а):

Рискуют-то часто. А вот что касается выигрыша...

Да, вы правы, это обесценивает мою агитацию.

[Toucan]

Выделено из темы «Маленькие личные методические открытия»

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1207178 писал(а):

это сделать так, чтобы тривиальные вещи доказывались тривиально,

Я подозреваю, что ситуация такая: раньше требовалось для доказательства тривиальной вещи 10 страниц, а сегодня только 10 строк, однако для доказательства, что эта вещь тривиальна требуется 20 страниц.

Munin в сообщении #1207306 писал(а):

Сформулируем на чисто практическом языке. Хотели бы вы делать выкладки в 10 раз быстрее? Хотели бы вы для 9/10 научных задач, которые вы ставите сами себе, заранее видеть, что они тривиальны / перспективны / нерешаемы? Тогда покупайте наших слонов!

Вот индустриальный пример: для того, чтобы сделать некую штуку, рабочий тратит час; если ему надо сделать 10 таких штук, он тратит 2 часа на изготовление приспособления, и потом клепает штуки за полчаса каждую; если надо 100, то тратит 5 часов на изготовление более сложного приспособления, но зато за 10 минут клепает каждую новую штуку, и т.д.

В другом тысячелетии, в другой стране, когда некоторых математиков интересовало не только математическое содержание работы, но совсем другие вещи, мой знакомый рассказал мне историю (и поскольку некоторые из действующий лиц ещё живы, то...): Некто А защитил докторскую, вполне нормальную, но не гениальную, по ТК. Влиятельный человек ***, заметивший что у А имеются ошибки в 5ой графе, написал резко отрицательный черный отзыв, который он закончил хлёстко "И ваще, ничего нового ТК не даёт". Большой человек В, обнаруживший у *** ошибки в скрытом мотиве подобного отзыва, воспользовался этим и написал письмо, в котором потребовал, чтобы *** доказал некоторую теорему Т без ТК, при этом подумав "это я легко, а вот ты никак". На что *** ответить не смог, А получил докторские корочки, и все закончилось, но (псевдо) аргумент "Докажи теорему Т без ТК" остался.