Anton_Peplov, Вы затеяли хорошее дело, чтоб люди делились друг с другом своими находками насчет обучения и самообучения математике. И в самом деле, любое дело можно правильно делать, а можно неправильно. Как правильно делать, человек узнаёт или на своих ошибках, или от других людей. Дело (само)обучения математике, естественно, вряд ли может быть исключением из общего правила. Притом, чтоб человек быстро и полностью это дело освоил, причем целиком cамостоятельно (т.е. на собственных ошибках), как-то сомнительно. Так что будем делиться.
У меня есть некоторое количество мыслей на этот счет, за раз я их все не напишу. Что они будут расположены последовательно и по порядку, это тоже едва ли.
Начну с комментирования чужих постов.
Про примеры. Естественно, примеры надо читать! Думать, что "я всё понял из определения, а примеры это для тупых", это по меньшей мере самонадеянно. Вообще, бывало, что я пропускал в книгах задачи, но не бывало, чтоб пропускал примеры. Другое дело, что книжки не всегда читаются в линейном порядке (про это еще ниже напишу), иногда что-нибудь пропускается, или на потом откладывается. Но принципиальная установка "определения и теоремы я буду читать, а примеры нет" ... ну, в общем, неправильность такого образа действий мне представляется самоочевидной, тут вроде и комментировать нечего. Примеры надо читать по крайней мере затем, что человеку свойственно ошибаться, в том числе и определение можно понять неправильно.
Вещи объясняются или от общего к частному (определение, утверждение), или от частного к общему (пример, частный случай). Или и так и этак вместе, сначала определение, потом пример.
На самом деле пример, как и любой участок книги, можно пропустить (но не всегда). Вот пример. В Ленге в гл.1, параграф 1, говорится о моноидах. Сначала определения и общие факты, а в конце пример. А пример такой: сам моноид --- множество классов гомеоморфных компактных связных поверхностей, а операция --- связная сумма. На момент, когда я его читал, я в топологии был ни бум-бум, ну и пропустил этот пример, без последствий.
Про дискретное топологическое пространство. Нет, вопреки утверждению
kp9r4d, пример дискретного пространства приводится не затем, что это "свободный объект", (кавычки значат вот что. "Свободный объект" -- это
общематематический\общекатегорный термин, имеющий четко определенное значение. Но Вам знать его большой нужды нет.), а затем, что этот пример простой, в обычном бытовом смысле. Есть разные другие классы алгебраических систем, в которых свободные объекты выглядят сложно, и, естественно, в качестве первых примеров в учебных курсах не приводятся, а приводятся совсем другие примеры. Да хоть группы: типичные примеры --
по сложению, группы подстановок, группа невырожденных матриц. К свободным группам всё это отношения не имеет...
Про разные высокоученые понятия. Давайте посмотрим на теорию множеств, и нужна ли она математикам. Во-первых, до середины 19 века без явного упоминания понятия "множество" вообще обходились, и тем не менее много математики создали! Обьяснить что-то из математики, в пределах 18 века и на том уровне строгости, и сейчас вполне можно без всяких множеств, во всяком случае не упоминая их в явном виде. В современной математике же без множеств не обойтись, я бы лично не смог. Однако посмотрим, как теория множеств используется? 99% использования -- это просто использование языка и простейших понятий (множество, подмножество, элемент, принадлежность, включение, объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, отображение, функция, декартово произведение, отношение, эквивалентность ... может быть еще что-то забыл). Из оставшегося 0,9% --- это "наивная теория множеств", причем из них, наверное, 0,8% приходится на три утверждения: несчетность континуума, теорему Кантора-Бернштейна-Шредера, и лемму Цорна; а еще 0,1% --- на все остальное, типа трансфинитная индукция, арифметика мощностей (если
--- бесконечная мощность, то
), и т.д. А последние 0,1% приходятся на аксиоматическую теорию множеств. Здесь 99% и т.д. --- это не фигуры речи, а буквально: сколько времени в голове у усредненного математика находится элементарная теория множеств, сколько наивная, и сколько аксиоматическая. (Единственное, что эти цифры -- результат умозрительной прикидки, а не какого-то опроса).
Между тем, трудозатраты на освоение теоретико-множественного языка, наивной теории множеств, и аксиоматической, наоборот, сильно возрастают от одного к другому. Поэтому стремиться изучить АТМ во чтобы то ни стало, по моему, не разумно. Ведь в математике очень много другого гораздо более нужного и интересного, и если потратить усилия на АТМ, то их на другое меньше останется. (Бывают, конечно, исключения, когда человек --- профессиональный матлогик, и это
его основное занятие. Но это особый, очень редкий случай). Я тут видел на форуме такие "программы": сначала освоить
матлогику, потом наивную теорию множеств, потом аксиоматическую, потом построение арифметики на базе теории множеств, а потом уже остальную математику. Вызывает большое сожаление. Однако же, на форуме аксиоматическая теория множеств в обсуждениях нередко фигурирует, и мне это странно... Всякая непротиворечивость, полнота, теорема Гёделя --- у меня к таким сюжетам тоже скептическое отношение. Я в юности прочитал брошюрку
Успенского "Теорема Гёделя о неполноте", (узнал т.е., что математика как бы неполна), узнал также, что проблема континуума неразрешима --- и для моего, несколько ограниченного, мировоззрения этого хватает.
Я это к чему пишу?
Anton_Peplov высказал мысль, что есть еще один повод изучить теорию категорий. Поскольку "теория категорий" --- это некая надстройка над теоретико-множественным языком, и вообще у теории множеств и теории категорий есть много общего (в частности, и то и другое ужасно забивает юные мозги, если нет иммунитета), то имеет смысл прежде, чем писать собственно о теории категорий, несколько повнимательнее присмотреться к самой теории множеств, что я и попытался сделать.
Короче, такое "методическое открытие":
обращать поменьше внимания на вещи довольно заумные, а то ничего дельного не успеешь сделать!
(Продолжение следует).
и 
. И третья, быть может, самая важная функция примеров - избавить от иллюзий. Показать, что из определения следуют не все свойства хорошо известных студенту частных случаев. Скажем, как пример функции ввести функцию Дирихле, чтобы студент не думал, что функция всегда задается "формулой" (как понимают это слово в школьной математике). А как пример метрического пространства дать дискретное, чтобы он не думал, что все метрические пространства устроены как подмножества 
.
через интервальные повторения. Суть такова:
и множество 
то можно канонически отождествить 
не имеет нетривиальных решений в целых числах."