2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4887
Я несколько лет в свободное время (жаль, что его так мало) читаю учебники математики. И всегда, прочитав определение, пропускал нижеследующий список примеров, полагая, что примеры - это для того, чтобы лучше понять определение, а я и так его хорошо понимаю. Лишь недавно до меня дошло, что у примеров есть еще несколько функций. Вторая функция примеров - это показать студенту самые важные для приложений частные случаи, чтобы, когда они ему встретятся, они казались ему уже чем-то знакомым. Именно за этим, как мне кажется, в качестве примеров метрических пространств часто используются $l^2$ и $L^2$. И третья, быть может, самая важная функция примеров - избавить от иллюзий. Показать, что из определения следуют не все свойства хорошо известных студенту частных случаев. Скажем, как пример функции ввести функцию Дирихле, чтобы студент не думал, что функция всегда задается "формулой" (как понимают это слово в школьной математике). А как пример метрического пространства дать дискретное, чтобы он не думал, что все метрические пространства устроены как подмножества $\mathbb R$.

Каждому из нас приходилось учиться, а многим форумчанам - еще и учить. И, наверное, у каждого было что-то такое касательно методики работы с материалом - по конкретному предмету или вообще - что он не сразу понял, а поняв, несколько удивился - то ли тому факту, который понял, то ли тому, что раньше этого не понимал. Предлагаю форумчанам делиться такими маленькими личными методическими открытиями. Можно из области "как объяснить студенту", можно из "как понять самому".

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 08:17 
Аватара пользователя


07/01/15
702
Нюрба
Недавно придумал эффективный способ запоминания иностранных слов $-$ через интервальные повторения. Суть такова:

Параллельно открываю на ноутбуке обычный блокнот и источник слов. Источником слов может служить все, что угодно $-$ от электронных газет до художественной литературы. По мере чтения я вписываю неизвестные слова в блокнот (обычно в столбик). Рядом со словами (вот тут изюминка) записываю время, в которое я должен повторить это слово. То есть, если сразу после того, как я ввел новое слово, ноутбук показывает внизу, например, время 13:32, я записываю 13:34. Когда время достигает 13:34, я повторяю это слово $-$ за две минуты слово не успевает забыться. Затем, после повторения я стираю старое время повторения и назначаю новое, уже с бОльшим интервалом. У меня сложился такой "канонический" набор интервалов: 2 минуты, 5 минут, 10 минут, 20 минут, 30 минут, 1 час. Разумеется, в промежутках между повторениями я вписываю в блокнот все новые и новые слова и параллельно проделываю с ними то же самое, причем блокнот с временами у меня всегда на виду.

Конечно, повторение через определенные промежутки времени $-$ идея далеко не новая, давно известная человечеству. В частности, она довольно долго витала у меня в голове. Но вот воплотил я её в жизнь только буквально на прошлой неделе, и то не без помощи озарения.

P.S. В последнее время я начал экспериментировать с длинами интервалов и выдвинул гипотезу, что эффект возрастает, если запоминать одновременно блоки из шести слов и повторять их через 5 минут, потом через 10, через 20, 30 и час. Но я пока "канонического" метода менять не рискую, так как он очень эффективен.

P. P. S. Обращение к неЗУ: учите английский, господа! Английский надо знать. И французский тоже не забудьте. Также ботайте немецкий, испанский, китайский, японский, санскрит $-$ все-все ботайте, примкните к группе давления тотальных полиглотов!

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63664
Для этого предназначены всякие софтины. Обычно их называют "карточки". Например, https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_flashcard_software

-- 17.03.2017 14:57:17 --

Сам не пробовал, к сожалению, кроме сайта iKnow, когда он был бесплатным. Эффект чувствуется, но мне жаль, что я не закончил программу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 15:22 


05/09/16
1803
Anton_Peplov в сообщении #1201062 писал(а):
Предлагаю форумчанам делиться такими маленькими личными методическими открытиями. Можно из области "как объяснить студенту", можно из "как понять самому".

Вот мне кажется, что в учебниках по матану помимо примеров должны быть и контрпримеры, в большом количестве, как в книжке "Контрпримеры в анализе", типа например "всюду непрерывная но нигде не дифференцируемая функция".

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4887
Так они там есть. Конкретно
wrest в сообщении #1201166 писал(а):
"всюду непрерывная но нигде не дифференцируемая функция"
есть, например, в Ильине и Позняке. Другие учебники не проверял, но тоже уверен, что этот контрпример если и не строится, то упоминается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1321
Anton_Peplov в сообщении #1201062 писал(а):
А как пример метрического пространства дать дискретное, чтобы он не думал, что все метрические пространства устроены как подмножества $\mathbb R$.

Более фундаментальная причина в том, что это свободный объект, а значит это самый естественный способ по множеству построить метрическое пространство. И раз уж такая тема, то приведу цитату Смирнова: "Эта конструкция настолько естественна, что кажется ерундой... Но естественные конструкции - не ерунда, это искуственные конструкции - ерунда". ^^

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4887
kp9r4d в сообщении #1201194 писал(а):
самый естественный
в смысле - простейший?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20507
Уфа
Если понимать под простотой отсутствие ограничений — видимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1321
В смысле это нечто такое, что наиболее эффективно решает задачу "вспомнить структуру метрического пространства, если мы его забыли", то есть если у нас есть метрическое пространство $M$ и множество $X$ то можно канонически отождествить $$\mathbf{Hom_{Set}}(X, \text{Подлежащее множество(M)})=\mathbf{Hom_{Met}}(\text{Дискретное пространство(X)},M)$$
это нечто, что на нормальном языке звучит как "фунткор свободы является правым сопряженным к забывающему".

-- 17.03.2017, 17:50 --

Наиболее эффективно ~ так, чтобы удовлетворялось универсальное свойство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение17.03.2017, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4887
Мотивация выучить теорию категорий: чтобы понимать рассуждения kp9r4d.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение18.03.2017, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20507
Уфа
Да ладно, прям-таки уж снобизм. Те утверждения — это не какая-то advanced теория категорий, это вполне земной уровень, доступный каждому (правда, я вот лентяй тот ещё, и на этом уровне тоже пока не ориентируюсь, но это не значит, что я не отличу сложность вот этого от сложности доказательства леммы Ёнеды или там какой-то штуки с… ну, в общем, какой-нибудь, их уже полным-полно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение04.04.2017, 21:59 
Заслуженный участник


08/01/12
907
kp9r4d в сообщении #1201216 писал(а):
это нечто, что на нормальном языке звучит как "фунткор свободы является правым сопряженным к забывающему".

Левым же! Левым сопряженным к забывающему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение04.04.2017, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1321
apriv
Да, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение07.04.2017, 02:34 


18/01/15
116
Anton_Peplov,
Вы затеяли хорошее дело, чтоб люди делились друг с другом своими находками насчет обучения и самообучения математике. И в самом деле, любое дело можно правильно делать, а можно неправильно. Как правильно делать, человек узнаёт или на своих ошибках, или от других людей. Дело (само)обучения математике, естественно, вряд ли может быть исключением из общего правила. Притом, чтоб человек быстро и полностью это дело освоил, причем целиком cамостоятельно (т.е. на собственных ошибках), как-то сомнительно. Так что будем делиться.

У меня есть некоторое количество мыслей на этот счет, за раз я их все не напишу. Что они будут расположены последовательно и по порядку, это тоже едва ли.

Начну с комментирования чужих постов.

Про примеры. Естественно, примеры надо читать! Думать, что "я всё понял из определения, а примеры это для тупых", это по меньшей мере самонадеянно. Вообще, бывало, что я пропускал в книгах задачи, но не бывало, чтоб пропускал примеры. Другое дело, что книжки не всегда читаются в линейном порядке (про это еще ниже напишу), иногда что-нибудь пропускается, или на потом откладывается. Но принципиальная установка "определения и теоремы я буду читать, а примеры нет" ... ну, в общем, неправильность такого образа действий мне представляется самоочевидной, тут вроде и комментировать нечего. Примеры надо читать по крайней мере затем, что человеку свойственно ошибаться, в том числе и определение можно понять неправильно.

Вещи объясняются или от общего к частному (определение, утверждение), или от частного к общему (пример, частный случай). Или и так и этак вместе, сначала определение, потом пример.

На самом деле пример, как и любой участок книги, можно пропустить (но не всегда). Вот пример. В Ленге в гл.1, параграф 1, говорится о моноидах. Сначала определения и общие факты, а в конце пример. А пример такой: сам моноид --- множество классов гомеоморфных компактных связных поверхностей, а операция --- связная сумма. На момент, когда я его читал, я в топологии был ни бум-бум, ну и пропустил этот пример, без последствий.

Про дискретное топологическое пространство. Нет, вопреки утверждению kp9r4d, пример дискретного пространства приводится не затем, что это "свободный объект", (кавычки значат вот что. "Свободный объект" -- это
общематематический\общекатегорный термин, имеющий четко определенное значение. Но Вам знать его большой нужды нет.), а затем, что этот пример простой, в обычном бытовом смысле. Есть разные другие классы алгебраических систем, в которых свободные объекты выглядят сложно, и, естественно, в качестве первых примеров в учебных курсах не приводятся, а приводятся совсем другие примеры. Да хоть группы: типичные примеры -- ${\mathbb R}$ по сложению, группы подстановок, группа невырожденных матриц. К свободным группам всё это отношения не имеет...

Про разные высокоученые понятия. Давайте посмотрим на теорию множеств, и нужна ли она математикам. Во-первых, до середины 19 века без явного упоминания понятия "множество" вообще обходились, и тем не менее много математики создали! Обьяснить что-то из математики, в пределах 18 века и на том уровне строгости, и сейчас вполне можно без всяких множеств, во всяком случае не упоминая их в явном виде. В современной математике же без множеств не обойтись, я бы лично не смог. Однако посмотрим, как теория множеств используется? 99% использования -- это просто использование языка и простейших понятий (множество, подмножество, элемент, принадлежность, включение, объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, отображение, функция, декартово произведение, отношение, эквивалентность ... может быть еще что-то забыл). Из оставшегося 0,9% --- это "наивная теория множеств", причем из них, наверное, 0,8% приходится на три утверждения: несчетность континуума, теорему Кантора-Бернштейна-Шредера, и лемму Цорна; а еще 0,1% --- на все остальное, типа трансфинитная индукция, арифметика мощностей (если $m$ --- бесконечная мощность, то $m^2=m$), и т.д. А последние 0,1% приходятся на аксиоматическую теорию множеств. Здесь 99% и т.д. --- это не фигуры речи, а буквально: сколько времени в голове у усредненного математика находится элементарная теория множеств, сколько наивная, и сколько аксиоматическая. (Единственное, что эти цифры -- результат умозрительной прикидки, а не какого-то опроса).

Между тем, трудозатраты на освоение теоретико-множественного языка, наивной теории множеств, и аксиоматической, наоборот, сильно возрастают от одного к другому. Поэтому стремиться изучить АТМ во чтобы то ни стало, по моему, не разумно. Ведь в математике очень много другого гораздо более нужного и интересного, и если потратить усилия на АТМ, то их на другое меньше останется. (Бывают, конечно, исключения, когда человек --- профессиональный матлогик, и это
его основное занятие. Но это особый, очень редкий случай). Я тут видел на форуме такие "программы": сначала освоить
матлогику, потом наивную теорию множеств, потом аксиоматическую, потом построение арифметики на базе теории множеств, а потом уже остальную математику. Вызывает большое сожаление. Однако же, на форуме аксиоматическая теория множеств в обсуждениях нередко фигурирует, и мне это странно... Всякая непротиворечивость, полнота, теорема Гёделя --- у меня к таким сюжетам тоже скептическое отношение. Я в юности прочитал брошюрку Успенского "Теорема Гёделя о неполноте", (узнал т.е., что математика как бы неполна), узнал также, что проблема континуума неразрешима --- и для моего, несколько ограниченного, мировоззрения этого хватает.

Я это к чему пишу? Anton_Peplov высказал мысль, что есть еще один повод изучить теорию категорий. Поскольку "теория категорий" --- это некая надстройка над теоретико-множественным языком, и вообще у теории множеств и теории категорий есть много общего (в частности, и то и другое ужасно забивает юные мозги, если нет иммунитета), то имеет смысл прежде, чем писать собственно о теории категорий, несколько повнимательнее присмотреться к самой теории множеств, что я и попытался сделать.

Короче, такое "методическое открытие": обращать поменьше внимания на вещи довольно заумные, а то ничего дельного не успеешь сделать!
(Продолжение следует).

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие личные методические открытия
Сообщение07.04.2017, 23:59 


18/01/15
116
Вообще-то, как я сейчас подумал, вопрос, стоит ли изучать теорию категорий (вопрос, на самом деле, риторический; конечно, стоит, надо только знать кому, как, когда, в каком объеме, а главное, зачем?), можно и отложить.

(стишок)

"Пить можно всем,
Необходимо только
Знать где, и с кем,
за что, когда, и сколько."
(Омар Хайям, в переводе Расула Гамзатова)


Лично я хочу вернуться собственно к методике самообучения математике. Ведь исходный пост про это был, да и меня самого
это волнует.

Про цели. В изучении математики, как и почти в любом деле, очень важен мотив. Он всё определяет. Что это такое,
сказать не берусь ... нечто тёмное. Тут я, как говорится, пас. Можно только что-то написать про то, откуда он берётся,
и что из него вытекает. Берётся он, с одной стороны, из потребностей конкретной исследовательской задачи. А с другой стороны, из чисто познавательного интереса. Притом второе важнее: бывает интерес, не связанный с желанием решить какую-то конкретную задачу. Вытекает же из него достаточно сильное желание изучать какую-то определенную часть математики, возможно даже совсем небольшую.

Однако, одного желания изучать математику мало. Тут не следует путать две вещи: желание и цель. Как уже замечено на форуме (кажется, ИСН), "изучить математику вообще --- плохая, негодная цель". Да и изучить какую-то частную область математики, скажем общую топологию или алгебраическую геометрию, или теорию сложности вычислений --- тоже негодная. Например, потому, что по той же общей топологии уже накоплено столько знаний, что даже четверть их освоить --- жизни не хватит (вообще-то, конкретно про общую топологию я не уверен, но что касается алгебраической геометрии
--- там уж точно). Между тем, цель быть должна, потому что деятельность без цели не даёт результата. Отличие желания от цели --- в том, что цель должна быть конкретная и ограниченная. (как компакт; если она не будет конкретная, вы не сможете решить, достигли вы её или нет, хотя бы приблизительно; а если не будет ограниченная, неизбежно будет рассеиваться внимание. Да и вообще, чтобы что-то делать, внимание должно быть ограничено). Она может быть разная, например: (а) подготовиться и сдать конкретный экзамен; (б) изучить данную конкретную книгу; (в) узнать доказательство такого-то утверждения; (г) решить такую-то задачу (или группу задач). Возможны всякие комбинации и варианты. Главное, цель должна быть реалистичной и одновременно не такой уж лёгкой. У меня "образовательные" цели выглядят, как правило, так: изучить такую-то главу в такой-то книжке (или книжку целиком, или несколько параграфов, по разному бывает). Решить такие-то задачи (как правило, из той же книжки).

Пример правильно поставленной цели: "Изучить 3-ю главу из книги Боревич и Шафаревич "Теория чисел". По возможности прорешать задачи из этой главы. В частности, решить такую задачу: "Доказать, что уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ не имеет нетривиальных решений в целых числах."

Какой отсюда вывод\правило ?
а) ограничьте область того, что изучаете в данный момент, конкретным небольшим текстом,
б) прежде чем изучать, сформулируйте для себя, что вы хотите узнать конкретно, какие задачи хотите решить (или научиться решать) (т.е. собственно поставьте цель).
(Конечно, эти правила не следует абсолютизировать и доводить до абсурда, во всем должна быть мера).

Хотя всё это кажется очевидным, но я к этому пришел не сразу, а через довольно много лет занятий математикой....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group