Продолжаю
тратить выходные на математику исправлять недочеты. Задача 1 пункт в.
в.1) Случай с
уже рассмотрен:
в.2)
.
Сначала вспомогательная лемма.
для любого
.
Доказательство леммы.
по определению целой степени. Для
формула истинна согласно аксиоме поля 7. Для
: равенство
уже доказано, также используем тот факт, что единица является обратным элементом к самой себе:
Доказательство основного пункта.
Используем последовательно пункт б этой задачи,
из вспомогательной леммы, симметричность обратных элементов, результат для положительных
из пункта в.1 и задачу 11 листка 6:
в.3)
.
Используем результат для положительных
из пункта в.1, а также очевидный факт
(не могу найти где я это доказывал, но кажется это следует из задач 10 и 11 листка 6):
-- 08.01.2017, 19:01 --5. Пусть
,
,
,
. Доказать, что
.
Доказательство.
Покажем, что
.
, по определению арифметического корня, т.е.
является верхней гранью множества
.
По определению
,
, следовательно
.
Аналогично доказывается, что
.
Таким образом,
.
Перечитал я это, и что-то мне показалось я слишком резво все вывел. Докажу, что
как полагается.
Возьмем
, т.е.
, по определению арифметического корня.
Тогда
если выполнено
, то согласно задаче 3.а будет выполнено
, а таких
в множестве
нет. Следовательно,
.
-- 08.01.2017, 19:10 --Не знаю, как там выстроена цепочка упражнений. Но конкретно эта задачка выглядит осмысленной лишь в том случае, если корня ещё нет и доказываемый факт именно для обоснования понятия корня и нужен.
Я не сомневаюсь в Вашей правоте, но у меня "получилось" доказать существование и единственность корня без этой (четвертой) задачи. Где у меня ошибка в рассуждениях?
6. Доказать, что для любых
и
арифметический корень
существует и единственен.
Доказательство.
Возьмем произвольные
и
.
Пусть
. По
вспомогательной лемме к задаче 9 листка 6,
. Взяв корень из обеих частей, получим
.
единственен по задаче 2 листка 6.
Пусть теперь
. Согласно задаче 5,
является т.в.г. множества
. Тогда
существует согласно аксиоме о т.в.г.
Покажем единственность
. Пусть
-- арифметические корни
-й степени из
:
. Домножим обе части, содержащие
и
, на
и применим задачу 1.б:
Согласно
вспомогательной лемме к задаче 1,
. Взяв корень из обеих частей, получим
. Следовательно,
, т.е.
является обратным элементом к
. Согласно задаче 8 листка 6, обратный элемент единственен. Следовательно,
, и значит
единственен.