ewertgrizzlyпро задачу 5 я понял, надо доказать

без упоминания корня вообще.
5-ю надо решать в лоб: воспользоваться монотонностью степенной функции (задача 3) и тем, что любое положительное число входит в хотя бы одно из этих двух множеств. В совокупности это означает, что супремум первого не может быть ни больше, ни меньше инфимума второго.
Ну собственно Вы все за меня сделали, мне остается только написать все вышесказанное строго. Что я и сделаю.
Предположим, что

. Тогда, по определению точных граней,

такие что

, и для каждого такого

такие что

. Т.е. должны одновременно выполняться следующие неравенства:

,

,

. Но из

следует

, согласно задаче 3.а., откуда в свою очередь следует

, согласно задаче 2 листка 7. Это противоречие.
Предположим теперь, что

. Аналогично, получим что должны одновременно выполняться следующие неравенства:

,

,

. И аналогично, получим противоречие

.
Таким образом, остается один возможный вариант:

.
В доказательстве к задаче 5 Вы неявно предположили, что
![$\sqrt[n]{a}$ $\sqrt[n]{a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/2/d72b1cb22cd501be6030248b1d393f9e82.png)
существует и что он единственный.
...
(То же относится к задаче 4.)
Ваши рассуждения понятны. Меня просто смутило, что мое последнее доказательство задачи 4 с самого начала не вызвало таких нареканий. Я проговорю на всякий случай свое теперешнее понимание. Задачу 4 я доказал правильно, но в таком виде я не смогу ее результат использовать при доказательстве существования и единственности корня. Чтобы ее использовать, мне надо ее передоказать так, чтобы в новом доказательстве не было упоминания корня. Все так?