10. Пусть множества

ограничены и непусты. Доказать, что
а)

.
Доказательство.
Согласно зад.3 п.а, множество

ограничено, и число

будет его верхней гранью. По определению т.в.г.,

и

. Применяя зад.6 листка 7, получим

. При

либо

(но не одновременно!) неравенство остается справедливым.
б)

.
Доказательство.
Аналогично пункту а, только поменять знаки неравенств на противоположные.
в)

.
Доказательство.
По определению т.в.г.,

и

.
Следовательно, для

. При этом

. Это доказывает искомое равенство.
г)

.
Доказательство.
Аналогично пункту в, только поменять знаки неравенств на противоположные.
д)

, если

.
Доказательство.
Пересечение множеств по определению не содержит никаких новых элементов, которых нет в пересекаемых множествах, поэтому

не может быть ни меньше

, ни меньше

, значит

и

. Можно записать это короче:

.
Рассуждая аналогично, получим что

и

, или, короче,

.
По определению т.в.г. и т.н.г.,

, следовательно

.
-- 20.09.2016, 15:01 --11. Множество иррациональных чисел не пусто.
Доказательство.
Согласно задаче 8, множество рациональных чисел, квадрат которых меньше числа 3, не имеет в

точной верхней грани. Но по аксиоме о т.в.г., она должна существовать для этого множества в

. Раз ее нет в

, она может быть только иррациональным числом. Из существования как минимум одного иррационального числа следует что множество иррациональных чисел не пусто.