arseniivвсе понятно, спасибо!
-- 19.11.2016, 14:16 --Вторая попытка доказать №17.
17. Пересечение системы вложенных отрезков состоит из одной точки тогда и только тогда, когда для любого положительного

в этой системе найдется отрезок
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
длины

.
Доказательство.
Введем множества

,

. Пересечение с.в.о. состоит из одной точки если

(согласно предыдущей задаче).

Пусть пересечение некоторой с.в.о. состоит из одной точки, т.е.

. Возьмем произвольный

.
По определению т.н.г. и т.в.г,

,

такие что





От противного. Пусть в некоторой с.в.о. для любого

найдется отрезок
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, длина которого меньше

, и пусть пересечение этой с.в.о. состоит более чем из одной точки, т.е.

.
Обозначим

,

.
Возьмем

. По условию можно найти такой отрезок
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, что

. При этом, по определению т.в.г. и т.г.н.,

.
Отсюда выводим:

.
Таким образом мы получили, что одновременно выполнено

и

.
Это противоречие доказывает, что пересечение исходной с.в.о. не может содержать более одной точки.
-- 19.11.2016, 14:30 --Вопрос по следующей задаче.
18. Множество действительных чисел несчетно.
Правильно ли я понимаю, что тут нельзя предположить что все действительные числа могут быть упорядочены например по возрастанию, а потом применить задачу 15 к любым соседним, ведь счетность не означает что порядок должен быть обязательно по возрастанию/убыванию?