2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение05.03.2017, 19:35 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1194969 писал(а):
Хуже другое: Вы перешли к подпоследовательностям, следовательно, сузили множества $X, Y$, но нигде не обмолвились, что супремум такого сужения $X$ будет тот же, что у $X$.

А нельзя взять и пронумеровать все множество $X$? Оно ведь счетно. Тогда используем все $X$ в качестве множества левых концов отрезков нашей с.в.о., а все $Y$ как множество правых концов, и будем работать с исходными множествами, а не их сужениями. Но у меня сомнения что так можно сделать, потому что нельзя ведь выстроить рациональные числа без пропусков по порядку.
Конечно, можно было бы явным образом сказать "возьмем в качестве $q_1,p_2$ произвольные числа на одинаковом расстоянии от $s$, и пусть каждый следующий отрезок в системе вдвое меньше предыдущего", и плясать дальше от этого. Но меня почему-то тянет сделать как можно более абстрактное доказательство, без лишних деталей. Можем ведь брать рациональные числа $q,p$ с обеих концов от $s$ так чтобы делать длину отрезка $[a^q,a^p]$ сколь угодно малой? Да, можем, согласно таким-то и таким-то ранее доказанным фактам. Вот и будем их брать какими нам надо, а лишние подробности опустим. Зря я так хочу?
grizzly в сообщении #1194969 писал(а):
irod в сообщении #1194959 писал(а):
В доказательстве той же задачи было показано, что этой точкой является число $\sup X=\inf Y$.
Наверное, там это было показано не для наших множеств, а для соответствующих сужений.

post1170059.html#p1170059
Да, там было доказано для множеств левых и правых концов отрезков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение05.03.2017, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod
В том Вашем доказательстве всё было нормально по сути. Мои замечания можно поправить небольшими косметическими изменениями, которые не очень-то растягивают доказательство.

1. Вместо:
irod в сообщении #1194959 писал(а):
Согласно задаче 9.б, можно взять $a^r$ сколь угодно близким к единице, тем самым делая разность $a^r-1>0$ сколь угодно малой.
можно сказать:
Цитата:
Согласно задаче 9.б, можно выбрать номер $i$ достаточно большим, чтобы сделать $a^{r_i}$ сколь угодно близким к единице, тем самым делая разность $a^{r_i}-1>0$ сколь угодно малой.
(соответственно, в этом абзаце вместо $p,q$ использовать $p_i,q_i$)

2. В этом месте:
irod в сообщении #1194959 писал(а):
где $a^{q_i}\in X$, $a^{p_i}\in Y$
можно было ввести множества $\{a^{p_1},a^{p_2},...\}=P\subset Y,\{a^{q_1},a^{q_2},...\}=Q\subset X$. Тогда в итоге получилось бы $\sup X\le \inf P=\sup Q \le \inf Y$.

-- 05.03.2017, 21:09 --

Ну и очевидно, что $\inf P \ge \inf Y$, $\sup Q\le \sup X$ и, значит, там всюду равенства.

(Оффтоп)

У меня осталось смутное ощущение, что если бы я написал всё доказательство с начала до конца своими словами по Вашей идее, то получилось бы чуть короче и чуть красивее, но совсем чуть -- не настолько, чтобы имело смысл это делать (мне или Вам). Относительно каких-то моих ранних замечаний к стилю Ваших доказательств могу сказать, что сейчас ситуация стала существенно лучше и пока я не вижу смысла беспокоиться об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение06.03.2017, 22:43 


21/02/16
483
grizzly, спасибо, было приятно прочитать текст в оффтопе :-)
С пунктом а) будем считать разобрались, буду делать пункт б).
А по поводу задачи 11 с предыдущей страницы у Вас есть замечания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение07.03.2017, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1196586 писал(а):
Определение 1 является частью определения 3...
Лучше сказать "частным случаем".

И Вы опять пару раз некорректно обошлись со случаем $a=0$ (в третий раз я делаю это замечание :) Если видите ошибку / опечатку в учебнике (это я про Определение 3), лучше сказать об этом прямо, чем возводить 0 в отрицательную степень.
А так всё нормально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение09.03.2017, 10:06 


21/02/16
483
grizzly
пока не чувствую себя достаточно крутым чтобы подвергать сомнению определения из учебника, но тут Вы правы конечно.

-- 09.03.2017, 10:11 --

irod в сообщении #1193116 писал(а):
10. Пусть $a>0$, $s\in\mathbb{R}$, $X=\{a^q\mid q\in\mathbb{Q},q\le s\}$, $Y=\{a^q\mid q\in\mathbb{Q},q\ge s\}$. Доказать что
б) если $a<1$, то $\inf X=\sup Y$.

Доказательство.
Т.к. согласно задаче 9 листка 7 из $a<1$ следует $\frac{1}{a}>1$, и $\frac{1}{a^q}=a^{-q}$ для рационального $q$, то можем обозначить множества из пункта а) как $X'=\{a^{-q}\mid q\in\mathbb{Q},q\le s\}$, $Y'=\{a^{-q}\mid q\in\mathbb{Q},q\ge s\}$.
Согласно задаче 7 листка 7, $q\le s\Leftrightarrow -q\ge -s$ и $q\ge s\Leftrightarrow -q\le -s$. Обозначим для наглядности $p=-q$, $t=-s$. Тогда, в новых обозначениях, $X'=\{a^p\mid p\in\mathbb{Q},p\ge t\}$, $Y'=\{a^p\mid p\in\mathbb{Q},p\le t\}$. Очевидно, что наше множество $X$ можно отождествить с множеством $Y'$, а множество $Y$ -- с множеством $X'$, потому что число $s$ (а значит и число $t$) может быть выбрано произвольно. В пункте а) было доказано равенство $\sup X'=\inf Y'$. Следовательно, $\inf X=\sup Y$.

-- 09.03.2017, 10:18 --

12. Решите задачи 1а), 1б), 2, 3 для действительных $m$ и $n$.

12.1. Пусть $a>0$, $b>0$, $m\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{R}$. Доказать, что
а) $a^ma^n=a^{m+n}$; б) $a^nb^n=(ab)^n$.

Доказательство.

а) По определению $a^m$ и $a^n$, для любого $\varepsilon>0$ существуют рациональные $q\le m$, $p\le n$ при $a\ge 1$ ($q\ge m$, $p\ge m$ при $a<1$) такие что $a^m-\varepsilon<a^q\le a^m$ и $a^n-\varepsilon<a^p\le a^n$. Отсюда по задаче 10 листка 7 следует $a^ma^n+\varepsilon^2-\varepsilon(a^m+a^n)<a^qa^p\le a^ma^n$.
Обозначим $\delta=-\varepsilon^2+\varepsilon(a^m+a^n)$ и $r=q+p$. Тогда по задаче 6 листка 7 из $q\le m$, $p\le n$ следует $r\le m+n$ при $a\ge 1$ ($q\ge m$, $p\ge m$ $\Rightarrow$ $r\ge m+n$ при $a<1$). По задаче 8.1.а, $a^qa^p=a^{q+p}=a^r$. Получили неравенство
$$
a^ma^n-\delta<a^r\le a^ma^n,
$$
которое означает, что число $a^ma^n$ является супремумом множества $\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},r\le m+n\}$ при $a\ge 1$ или супремумом множества $\{a^r\mid r\in\mathbb{Q},r\ge m+n\}$ при $a<1$, и значит $a^{m+n}=a^ma^n$.
Решениями квадратного уравнения $\varepsilon^2-(a^m+a^n)\varepsilon+\delta=0$ относительно $\varepsilon$ являются $\varepsilon_{1,2}=\frac{a^m+a^n\pm\sqrt{(a^m+a^n)^2-4\delta}}{2}$. Такие $\varepsilon$ надо взять после задания произвольного $\delta$ для выполнения неравенства $a^ma^n-\delta<a^r\le a^ma^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение09.03.2017, 15:56 


21/02/16
483
Пункт 12.1.б оказался заковыристей, пока выложу следующие готовые задачи.

12.2. Пусть $a>0$, $m\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{R}$, $m>n$. Доказать, что
а) если $a>1$, то $a^m>a^n$; б) если $a<1$, то $a^m<a^n$.

Доказательство (для обоих пунктов с различиями в скобках).

По условию $m=n+s$ для некоторого положительного $s\in\mathbb{R}$. Тогда, согласно задаче 12.1.а, $a^m=a^{n+s}=a^na^s$. Покажем, что $a^s>1$ при $a>1$ ($a^s<1$ при $a<1$).
По определению, $a^s=\sup\{a^q\mid q\in\mathbb{Q},q\le s\}$ при $a>1$ ($a^s=\sup\{a^q\mid q\in\mathbb{Q},q\ge s\}$ при $a<1$). Для случая $a>1$ будем рассматривать только положительные $q$, потому что согласно задаче 8.2.а, $a$ в отрицательной степени будет дальше от супремума соответствующего множества (т.е. от $a^n$), чем $a$ в положительной степени. Для $0<q\le s$ $a^q>a^0=1$ при $a>1$, согласно задаче 8.2.а (для $q\ge s$ $a^q<a^0=1$ при $a<1$, согласно задаче 8.2.б). Следовательно, $a^s$ как супремум соответствующего множества $a^q$ также больше (меньше) единицы.
Искомое неравенство $a^m=a^na^s>a^n$ ($a^m<a^n$) теперь дает нам задача 10 листка 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение09.03.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1198465 писал(а):
Искомое неравенство $a^m=a^na^s>a^n$ ($a^m<a^n$) теперь дает нам задача 10 листка 7.
Какая задача листка 7?!
(будут ещё замечания по последним задачам.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение09.03.2017, 22:21 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1198477 писал(а):
Какая задача листка 7?!

Эм, что не так? Перепроверил этот кусок, не вижу ошибки.
У нас $a^n>0$ и $a^s>1$ при $a>1$, отсюда по этой самой задаче $a^na^s>a^n$. При $a<1$ меняется знаки неравенств, но логика та же.

(Листок 7, задача 10)

Если $a \ge b > 0$ и $c \ge d > 0$, то $ac \ge bd$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение09.03.2017, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod
Нет! По этой задаче у Вас получается нестрогое неравенство. А Вам нужно строгое. Вы понимаете, что Вы ссылаетесь на сам результат, а не на доказательство, которым он получен? Вот если бы Вы сказали, что аналогично задаче 7.10 можете получить то же самое со строгим неравенством -- я бы не стал возражать. Даже если бы просто сказали, что это очевидно. Но Вы сказали неправильно -- это хуже :)

Нужная Вам задача -- 7.4, а не 7.10.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение10.03.2017, 10:42 


21/02/16
483
grizzly
Согласен, тут надо было 7.4 использовать.
grizzly в сообщении #1198611 писал(а):
Даже если бы просто сказали, что это очевидно.

Я хотел употребить очевидность при замене нестрогого неравенства на строгое. Но я Вас понял, ок.
Вообще я в листках 8 класса стараюсь явно ссылаться на все использованные задачи в своих выкладках, тут ведь весь смысл в том чтобы строго доказать все известные со школы "очевидные" вещи. В следующих классах я так делать не планирую, буду использовать факты из 6-8 листков как очевидные.

Кстати, я придумал доказательство задачи 12.1.б, но сначала хочу дождаться Вашего комментария по моему доказательству 10.б, потому что они у меня связаны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение10.03.2017, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1198353 писал(а):
наше множество $X$ можно отождествить с множеством $Y'$, а множество $Y$ -- с множеством $X'$, потому что число $s$ (а значит и число $t$) может быть выбрано произвольно.
Вот этот набор мыслей мне непонятен настолько, что я сомневаюсь в самой идее. Во-первых, кванторы. Повторяю ещё раз: ни $s$, ни $t$ мы не выбираем -- они заданы в условии / по замене. Во-вторых, что значит "отождествить"? Показать, что каждому элементу $X$ соответствует некий элемент $Y'$, как мы делали при доказательстве равномощности? Ну и что? Далее, Вы кажется подразумеваете неявно, что если все элементы множества заменить на обратные, то инфимум станет супремумом и наоборот? Это только с кучей оговорок и ещё нужно доказывать.

Или я совсем не понял идею? (тогда это не моя вина :)

-- 10.03.2017, 11:08 --

irod в сообщении #1198702 писал(а):
Вообще я в листках 8 класса стараюсь явно ссылаться на все использованные задачи в своих выкладках, тут ведь весь смысл в том чтобы строго доказать все известные со школы "очевидные" вещи.
В этом Вы правы.

-- 10.03.2017, 11:13 --

irod в сообщении #1198353 писал(а):
В пункте а) было доказано равенство $\sup X'=\inf Y'$
Нет! Чтобы воспользоваться п.а, у Вас в множествах должно быть $a>1$, а в Ваших обозначениях оно по-прежнему меньше 1.
В-общем, я бы попросил сперва план доказательства по пунктам без деталей, а потом уже расшифровку деталей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение13.03.2017, 21:09 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1198706 писал(а):
Или я совсем не понял идею? (тогда это не моя вина :)

Видимо я неудачно использовал слово "отождествить", да и вообще плохо выразил свою мысль. Зря я пытался лаконично написать.
grizzly в сообщении #1198706 писал(а):
Во-вторых, что значит "отождествить"? Показать, что каждому элементу $X$ соответствует некий элемент $Y'$, как мы делали при доказательстве равномощности?

Нет. Я хотел показать с помощью простых переобозначений, что множество $X$ из п.б) -- это то же самое (в смысле задано с помощью одних и тех же условий, не знаю как еще это сказать) что множество $Y$ из п.а), а множество $Y$ из п.б) -- то же самое что $X$ из п.а). Тогда все что было доказано для пары $X,Y$ из п.а) было бы справедливо для пары $Y,X$ из п.б), а конкретно $\sup X=\inf Y$ из п.а) станет $\inf X=\sup Y$ в п.б).
grizzly в сообщении #1198706 писал(а):
Во-первых, кванторы. Повторяю ещё раз: ни $s$, ни $t$ мы не выбираем -- они заданы в условии / по замене.

Снова я неудачно выразился. Я имел в виду что из условия мы не знаем конкретное значение $s$ (а значит не знаем и конкретного значения $t$), оно может быть любым наперед заданным действительным числом: $0$, $100500$, $-42$, неважно, и наше доказательство должно срабатывать для любого из всех возможных значений.
grizzly в сообщении #1198706 писал(а):
Далее, Вы кажется подразумеваете неявно, что если все элементы множества заменить на обратные, то инфимум станет супремумом и наоборот? Это только с кучей оговорок и ещё нужно доказывать.

Я это понимаю, и я это не подразумевал.
grizzly в сообщении #1198706 писал(а):
В-общем, я бы попросил сперва план доказательства по пунктам без деталей, а потом уже расшифровку деталей.

В этом плане всего один основной пункт, который я сейчас затрудняюсь раздробить на подпункты: свести задачу к п.а) с помощью простых переобозначений.
Я чувствую что мои объяснения все равно корявые. Давайте я попробую переписать доказательство, явно выписывая все свои предположения.

Запишем множества из п.а), немного изменив обозначения:
$X'=\{b^q\mid q\in\mathbb{Q},q\le t\}$, $Y'=\{b^q\mid q\in\mathbb{Q},q\ge t\}$, где $b,t$ -- какие-то заданные нам действительные числа (неважно какие конкретно), причем $b>1$. Было доказано $\sup X'=\inf Y'$.
Можем ли мы взять $b=\frac{1}{a}$? Да, задача 9 листка 7 нам это позволяет. Равенство $\sup X'=\inf Y'$ остается верным.
А можем ли мы взять $t=-s$? Да, можем, это ничему не противоречит. Тогда, согласно задаче 7 листка 7, $q\le t\Leftrightarrow -q\ge s$ и $q\ge t\Leftrightarrow -q\le s$. Равенство $\sup X'=\inf Y'$ остается верным.
Вот как теперь будут выглядеть наши множества:
$X'=\{\frac{1}{a^q}\mid q\in\mathbb{Q},-q\ge s\}$, $Y'=\{\frac{1}{a^q}\mid q\in\mathbb{Q},-q\le s\}$.
Далее, обозначим $p=-q$. Тогда $\frac{1}{a^q}=a^p$, и
$X'=\{a^p\mid p\in\mathbb{Q},p\ge s\}$, $Y'=\{a^p\mid p\in\mathbb{Q},p\le s\}$, и конечно равенство $\sup X'=\inf Y'$ вновь остается верным.
Какая связь между этими множествами $X',Y'$, которые мы взяли из пункта а), и множествами $X,Y$ из пункта б)? Тут я прервусь.
Надеюсь теперь моя идея стала понятней (если я нигде не затупил и не упустил что-то). У меня не хватает опыта правильно описать эту связь между $X',Y'$ и $X,Y$, помогите мне пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение13.03.2017, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod
Спасибо, всё понятно. Ну может и я тоже ступил -- проблемы коммуникации всегда двусторонние :)
Предлагаю завершить так:
irod в сообщении #1200025 писал(а):
$X'=\{b^q\mid q\in\mathbb{Q},q\le t\}$, $Y'=\{b^q\mid q\in\mathbb{Q},q\ge t\}$ ... $\sup X'=\inf Y'$.
Это верно для любого $t\in \mathbb R$ и любого $b>1$. А значит, верно для $b=1/a$ и $t=-s$. Тогда, поскольку:
$$
X'=\{b^q\mid q\in\mathbb{Q},q\le t\}=\{a^{-q}\mid q\in\mathbb{Q},q\le -s\}=
\big(\{-q\mid q\in \mathbb Q, q\le -s\}=\{p\mid p\in \mathbb Q,p\ge s\}\big)={}
$$ $$
{}=\{a^{p}\mid p\in\mathbb{Q},p\ge s\}=Y
$$ и, аналогично,
$$
Y'=\{b^q\mid q\in\mathbb{Q},q\ge t\}=\{a^p\mid p\in\mathbb{Q},p\le s\}=X,
$$
c учётом $\sup X'=\inf Y'$ имеем $\inf X=\sup Y$.
Насколько прозрачна эта запись? (возможно даже, что я просто дублирую Ваше решение своими словами.) Мне бы не хотелось делать здесь что-то строже на уровне 8-го класса. Ну разве что равенство в круглых скобках можно ещё несложно доказать.
upd. формулы отредактированы 14.03 в 8:55

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение16.03.2017, 06:57 


21/02/16
483
grizzly
по-моему все хорошо и прозрачно. Хорошо что мы разобрались с этой задачей :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа, продолжение (задачи из Давидовича)
Сообщение17.03.2017, 08:18 


21/02/16
483
grizzly
а с 12.1.а все нормально?

irod в сообщении #1198353 писал(а):
12.1. Пусть $a>0$, $b>0$, $m\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{R}$. Доказать, что
б) $a^nb^n=(ab)^n$.

Доказательство.
Разделим возможные случаи.

1) $a\ge 1$, $b\ge 1$.
Аналогично предыдущему пункту, из определений $a^n$ и $b^n$ и с применением задачи 10 листка 7 получим неравенство $a^nb^n+\delta<a^qb^p\le a^nb^n$, где $\delta=\varepsilon^2-\varepsilon(a^n+b^n)$, $q\le n$, $p\le n$. Возьмем $r=\max(q,p)$. Тогда с применением задачи 8.1.б $a^nb^n+\delta<a^rb^r=(ab)^r\le a^nb^n$, что значит $a^nb^n=(ab)^n$.

2) $a<1$, $b<1$.
Все аналогично случаю $a\ge 1$, $b\ge 1$ с той разницей, что $q\ge n$, $p\ge n$, и значит надо брать $r=\min(q,p)$ и использовать задачу 8.2.б. Получится то же неравенство $a^nb^n+\delta<a^rb^r=(ab)^r\le a^nb^n$, означающее $a^nb^n=(ab)^n$.

3) Одно из $a,b$ больше либо равно единице, а второе строго меньше. Например, $a\ge 1$, $b<1$.
Как раньше, из определений $a^n$, $b^n$ и с применением задачи 10 листка 7 получим неравенство
$$
a^nb^n+\delta<a^qb^p\le a^nb^n,
$$
где $\delta=\varepsilon^2-\varepsilon(a^n+b^n)$, $q\in\mathbb{Q}$, $p\in\mathbb{Q}$, $q\le n$, $p\ge n$. Пусть $p=q+r$, $r\ge 0$. Тогда по задаче 8.1.а $b^p=b^{q+r}=b^qb^r$, и неравенство с применением задачи 8.1.б можно записать как
$$
a^nb^n+\delta<a^qb^qb^r=(ab)^qb^r\le a^nb^n.\:\text{(1)}
$$
Покажем, что $b^r$ можно сделать сколь угодно близким к единице, причем $a^q$ и $b^p$ при этом будут сколь угодно близко приближаться к $a^n$ и к $b^n$ соответственно.
Как в доказательстве задачи 10.а, мы можем выбрать $q$ и $p$ сколь угодно близкими к $n$, тем самым приближая $a^q$ к $a^n$ и $b^p$ к $b^n$ и делая $r$ сколь угодно малым.
Обозначим множество всевозможных $b^r$ как
$$
X=\{b^r\mid r\in\mathbb{Q},r\ge 0\}=
\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^{-r}\mid r\in\mathbb{Q},r\ge 0\bigg\}=
$$ $$
=(\{-r\mid r\in\mathbb{Q},r\ge 0\}=
\{t\mid t\in\mathbb{Q},t\le 0\})=
$$ $$
=\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^t\mid t\in\mathbb{Q},t\le 0\bigg\},
$$
и введем множество
$$
Y=\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^t\mid t\in\mathbb{Q},t\ge 0\bigg\}.
$$
В задаче 10.а было доказано $\sup X=\inf Y$.
В свою очередь,
$$
\inf Y=\inf\Bigg(\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^t\mid t\in\mathbb{Q},t>0\bigg\}\cup\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^0\bigg\}\Bigg)=
$$ $$
=\inf\Bigg(\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^t\mid t\in\mathbb{Q},t>0\bigg\}\cup\{1\}\Bigg)=
$$ $$
=\min\Bigg(\inf\bigg\{\bigg(\frac{1}{b}\bigg)^t\mid t\in\mathbb{Q},t>0\bigg\},\inf\{1\}\Bigg)=1,
$$
согласно задаче 9 и задаче 10.г листка 8.
Таким образом, $\sup X=1$.
$\sup X$ достигается при наибольших значениях $t$ (согласно задаче 8.2.а), и значит при наименьших значениях $r$ (ведь $t=-r$). Следовательно, при приближении $b^r$ к единице, $a^q$ и $b^p$ будут приближаться к $a^n$ и к $b^n$ соответственно.
Т.е. $\forall \gamma>0$ можем подобрать $r$ так что
$$
1-\gamma<b^r\le 1.\:\text{(2)}
$$
Разделим (1) на (2):
$$
\frac{a^nb^n+\delta}{1-\gamma}<(ab)^q\le a^nb^n.
$$
Отсюда надо вывести
$$
a^nb^n+\zeta<(ab)^q\le a^nb^n
$$
для произвольного $\zeta>0$. Это я пока не сделал (сейчас не успеваю просто), но мне кажется все должно получиться. Пока у меня все правильно?

-- 17.03.2017, 08:21 --

Да, конечно везде в 12.1 надо дополнить все упоминания задачи 10 листка 7 фразой "или с использованием 'строгой' версии этой задачи, которая доказывается аналогично".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 137 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group