Очередной холиварчик вокруг определений и т.п.

[arseniiv]

Daft в сообщении #1151810 писал(а):

Тем более ответы VAL и Red_Herring значительно отличаются.

А мне показалось, дополняют друг друга (потому их вместе и привёл). В одном говорится о том, что плохого с «объектом, характеризующимся длиной и направлением», а в другом — что плохого с применением этих слов к направленному отрезку.

[Daft]

VAL в сообщении #1151312 писал(а):

...И если взять направленный отрезок с другими началом и концом, то это будет ужу другой направленный отрезок, даже если эти отрезки имеют одинаковую длину и направление.

Именно это меня и смутило,то есть разве это не противоречит следующему высказыванию

Red_Herring в сообщении #1151830 писал(а):

...При этом два вектора считаются равными если один из другого получается сдвигом (параллельным переносом)".

Либо я что-то не догоняю, либо не так читаю сообщения

[VAL]

Red_Herring в сообщении #1151830 писал(а):

Поэтому IMHO разумный компромисс: Вектор="направленный отрезок. При этом два вектора считаются равными если один из другого получается сдвигом (параллельным переносом)"

... на некоторый вектор

[warlock66613]

Daft в сообщении #1151840 писал(а):

разве это не противоречит следующему высказыванию

Так ведь в одном случае речь идёт о направленных отрезках, а в другом — о векторах. То есть как (направленные) отрезки они разные, а как векторы — равные.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1151778 писал(а):

Ну вот, например, функция $\cos$ — это вектор.

Не очень хорошо. Это разные векторы в разных векторных пространствах. И даже $\cos x$ и $\cos 2x$ - разные векторы.

Например:
- пространство функций;
- пространство тригонометрических полиномов;
- пространство непрерывных функций;
- пространство функций на отрезке;
и так далее.

А в пространстве формул, например, это не вектор, потому что само пространство не векторное.

Daft в сообщении #1151810 писал(а):

То есть ученик либо умеет абстрактно мыслить, либо нет. Ну написали аксиомы векторного пространства глядя на понятие направленного отрезка,ну и получили то,что получили. Хоть и понятие вектор расширилось,но ничего особого не произошло.

Мне кажется, тут трудность другая - перейти от понятия вектора к понятию пространства векторов. Это весьма высокий уровень абстракции. Как и пространство чего угодно. Обычно школьник под словом "пространство" подразумевает только наше обычное трёхмерное. Он не обучен думать о многих разных пространствах, о многих разных аксиоматиках. Ещё пример из этой серии: является ли $1+i$ числом? В $\mathbb{C}$ является, в $\mathbb{R}$ не является, но это тоже трудно понять (и объяснить).

[arseniiv]

Munin в сообщении #1151858 писал(а):

Не очень хорошо. Это разные векторы в разных векторных пространствах.

Это да, я просто подливал масла. Вообще, можно любую штуку назвать вектором в пространстве формальных линейных комбинаций этой штуки и, возможно, чего-нибудь ещё.

[Munin]

И не в одном: можно взять линейные комбинации с целыми коэффициентами, действительными, комплексными, $\mathbb{Z}_2$...

-- 17.09.2016 13:57:25 --

Кстати, в этом смысле объект, являющийся направленным отрезком, существует: это формальная комбинация точки конца с плюсом, и точки начала с минусом. И это даже вектор в пространстве таких формальных комбинаций точек :-)

[arseniiv]

С целыми — это будет модуль. Из-за того, что скаляры тут — не поле, а только кольцо, некоторых полезные вещей не будет. С $\mathbb Z_2$ другая напасть — поле характеристики 2, самой ужасной из характеристик.

[Red_Herring]

VAL в сообщении #1151848 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1151830 писал(а):

Поэтому IMHO разумный компромисс: Вектор="направленный отрезок. При этом два вектора считаются равными если один из другого получается сдвигом (параллельным переносом)"

... на некоторый вектор

А вот для определения параллельного переноса понятия вектора не нужно

[casualvisitor]

VAL в сообщении #807690 писал(а):

Зная эту проблему, я пробовал бороться с ней по-разному. Все бесполезно. Поздно!
Обычно наши студенты мало чего помнят со школы. Но что вектор - это направленный отрезок помнят все. То, что в учебнике вслед за таким определением вектора идет параграф "Равенство векторов", где поясняется, как следует понимать вышеприведенное определение, ничего не меняет. Образ уже сформировался.

VAL, скажите, пожалуйста, пробовали ли Вы, дав определение векторного пространства, тут же проиллюстрировать его (среди других примеров, конечно) примерами множеств векторов (тех, которые "направленные отрезки" в трехмерном пространстве, на плоскости, на прямой), исходящих из одной и той же точки?

[Munin]

VAL в сообщении #1151848 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1151830 писал(а):

Поэтому IMHO разумный компромисс: Вектор="направленный отрезок. При этом два вектора считаются равными если один из другого получается сдвигом (параллельным переносом)"

... на некоторый вектор :-)

А это уже хороший отправной пункт, чтобы перейти к разговору о сложении векторов, о правиле параллелограмма.

[VAL]

casualvisitor в сообщении #1151885 писал(а):

VAL, скажите, пожалуйста, пробовали ли Вы, дав определение векторного пространства, тут же проиллюстрировать его (среди других примеров, конечно) примерами множеств векторов (тех, которые "направленные отрезки" в трехмерном пространстве, на плоскости, на прямой), исходящих из одной и той же точки?

Пробовал. Хотя чаще такую интерпретацию я давал, когда речь шла о том, как связаны координаты начала и конца направленного отрезка, задающего вектор, и самого задаваемого вектора.

[epros]

VAL, как Вы считаете (исходя из Вашей педагогической позиции о вредности трактовки вектора как направленного отрезка): Является ли вектором ковектор? Спрашиваю потому, что под определение элементов линейного пространства они вполне подходят, а вот направленными отрезками их уж точно представлять нельзя.

[VAL]

epros в сообщении #1152234 писал(а):

VAL, как Вы считаете (исходя из Вашей педагогической позиции о вредности трактовки вектора как направленного отрезка): Является ли вектором ковектор? Спрашиваю потому, что под определение элементов линейного пространства они вполне подходят, а вот направленными отрезками их уж точно представлять нельзя.

Мне не нравится определение вектора, как направленного отрезка, не по причине, что понятие вектора, как элемента векторного пространства, шире.
Я полностью согласен с тезизом:

Red_Herring в сообщении #1151310 писал(а):

Вся история математики это история расширения понятий, и это с необходимостью отражается в ее преподавании. Многие определения даются вначале в частных случаях и, м.б. даже не вполне строго, и лишь спустя некоторое время приходят во всей общности и строгости.

Меня не устраивает, определение вектора, как направленного отрезка, поскольку у огромного числа школьников создается искаженное представление о векторах именно в узком, геометрическом смысле. И это представление впоследствии сильно затрудняет усвоение основ линейной алгебры.

Причем активным противником обсуждаемого подхода к введению векторов в школе я стал не сам по себе. Просто я обнаружил, что понимание азов линейной алгебры скачкообразно упало за один год. А именно в тот год, когда на смену студентам, которым в школе объясняли, что вектор - это параллельный перенос, пришли студенты, усвоившие в школе, что вектор - это направленный отрезок.

Любопытно, что сами "параллельнопереносцы" часто жаловались, что в школе, они не разобрались с темой "векторы". Но потом значительная часть преодолевала эти затруднения и, в общем и целом, усваивала вузовский курс линейный алгебры. У "направленноотрезковцев" картина обратная. Сначала они уверенно заявляют, что прекрасно усвоили в школе тему в векторы. А когда дело доходит до работы с такими понятиями как "линейная зависимость". "базис", "размерность", "координаты"... испытывают непреодолимые трудности.

Резюмирую: дефект определения вектора, как направленного отрезка, именно в наличии у конкретного направленного отрезка начала и конца. Если бы школьникам определяли векторы как классы эквивалентных направленных отрезков, они бы, конечно, взвыли. Но зато потом не испытывали бы (чаще всего непреодолимых) затруднений при изучении линейной алгебры.

Надеюсь, я, наконец, пояснил свою мысль

[Otta]

VAL
Давайте я скажу про себя. Я с понятием вектора знакомилась сама, по учебнику Погорелова, и первое мое понимание было именно как направленного отрезка. И спроси меня и тогда, и позже про один и тот же вектор с точностью до сдвига, что это за векторы, я бы ответила "коллинеарные", а не так, как надо. Потом школьный курс (он сильно оставлял желать лучшего у нас) не откорректировал мое понимание, и я так и продолжала с ним жить какое-то время. Какое - затрудняюсь сказать.

Университетский курс алгебры начался у нас с теории групп, поэтому первыми векторы рассказывали на аналитической геометрии, первой же темой. Но! рассказывали именно как направленные отрезки (грубо говоря, опять же), имели право, поскольку первая тема была "Аффинные пространства". Как уж они там крутились дальше, я не помню, а вот это помню замечательно и примерно представляю себе, как это рассказывать в рамках школьного определения.

Ничто из этого не помешало восприятию векторных пространств в линале впоследствии. Ну как-то же я живу до сих пор.

Так что, может, не так это и критично, в самом деле.

-- 18.09.2016, 19:05 --

VAL в сообщении #1152250 писал(а):

как классы эквивалентных направленных отрезков

А классы эквивалентности воспринимаются очень тяжело и в более зрелом возрасте, школьникам бы я не рискнула. Каждому возрасту свой уровень абстракции.