Очередной холиварчик вокруг определений и т.п.

[Munin]

Я про себя. Не помню, познакомился ли я с векторами на физике, или по книжке. Но точно раньше, чем на геометрии. Книжка была замечательная:
Программированное пособие по аналитической геометрии.
Она была устроена так, что ученик может читать текст дальше, только решив задачу, причём решив правильно (как в "тестовой системе", с вариантами ответов; в принципе тесты можно было брутфорсить, но это гораздо скучнее). После этого, я троллил школьную геометрию, щёлкая задачки при помощи векторов и координат. Так что, напрактиковался я достаточно.

Потом в двух последних классах у нас была лафа: дополнительные занятия, читаемые вузовскими преподавателями, на темы первых (первого?) курсов вуза. По крайней мере, совершенно точно был курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Испытывал ли я тогда какие-то затруднения - не помню. А, помню! Помню, что путался в матрицах замены базисов, но это тема, я считаю, сложная.

Короче, к вузовской линейной алгебре я подошёл уже подготовленный, и морально, и практически. Трудностей не помню.

-- 18.09.2016 17:46:17 --

А вот абстрактная алгебра шла всегда тяжело. И сейчас понятия не имею, что такое нормальные делители, идеалы и т. п. - не то чтобы разбираться в них.

[epros]

VAL в сообщении #1152250 писал(а):

... на смену студентам, которым в школе объясняли, что вектор - это параллельный перенос ...

По-моему, это как раз очень странно - объяснять более понятное, через менее понятное. Что вообще это такое - "параллельный перенос"? Как я понимаю, он имеет смысл, начиная с аффинно-связных пространств, причём аффинная связность определяется как раз через понятие вектора. Круг в определениях получается, однако.

VAL в сообщении #1152250 писал(а):

дефект определения вектора, как направленного отрезка, именно в наличии у конкретного направленного отрезка начала и конца

По-моему, смысл вектора как раз в том, что он определен в некой точке (той самой, которая "начало"). Собственно, понятие векторного пространства предполагает собой множество векторов с общим "началом".

VAL в сообщении #1152250 писал(а):

Если бы школьникам определяли векторы как классы эквивалентных направленных отрезков...

То в этом определении как раз и содержался бы "дефект", заключающийся в непонимании того, что перенесенный вектор - уже не совсем "тот же самый".

[warlock66613]

epros в сообщении #1152371 писал(а):

аффинно-связных пространств

:facepalm: В евклидовой геометрии параллельный перенос вполне себе определяется без таких заумностей.

epros в сообщении #1152371 писал(а):

То в этом определении как раз и содержался бы "дефект", заключающийся в непонимании того, что перенесенный вектор - уже не совсем "тот же самый".

Да, давайте сразу обучать школьников дифгеометрии. Кстати, к какой точке (и какого пространства) относится вектор силы трения, действующий на скользящее тело?

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152375 писал(а):

В евклидовой геометрии параллельный перенос вполне себе определяется без таких заумностей.

Евклидово пространство - частный случай аффинно-связных.

Вот это:

warlock66613 в сообщении #1152375 писал(а):

:facepalm:

возвращаю.

warlock66613 в сообщении #1152375 писал(а):

давайте сразу обучать школьников дифгеометрии

Я же не это предлагал. Речь о том, что перенесенный вектор - уже не "тот же самый". Кстати, про возможность переносить векторы школьникам уже можно сказать (а вот про то, что результат переноса может зависеть от пути, можно и умолчать до поры до времени).

warlock66613 в сообщении #1152375 писал(а):

Кстати, к какой точке (и какого пространства) относится вектор силы трения, действующий на скользящее тело?

Кстати, силы в Ньютоновской механике непременно имеют точки приложения.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152417 писал(а):

Евклидово пространство - частный случай аффинно-связных.

Да, но нам об этом не нужно знать, чтобы определить параллельный перенос.

epros в сообщении #1152417 писал(а):

Речь о том, что перенесенный вектор - уже не "тот же самый".

Если пространство плоское, то можно считать, что тот же самый. Различие начинает играть роль только когда мы переходим к более общим пространствам и к дифгеометрии.

epros в сообщении #1152417 писал(а):

Кстати, силы в Ньютоновской механике непременно имеют точки приложения.

Да, только эти точки к тем точкам, о которых вы говорите, отношение имеют в лучшем случае очень косвенное, так как силы, приложенные к разным точкам, отлично складываются.

[arseniiv]

warlock66613 в сообщении #1152422 писал(а):

Да, но нам об этом не нужно знать, чтобы определить параллельный перенос.

Присоединюсь. Никто не мешает один раз сделать крюк и определить сначала аффинное пространство.

Кстати, аффинное пространство вполне себе можно определить без векторного по аналогии с определением https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(mathematics) (как по-русски называется, не знаю), т. е. аксиоматизировать свойства операции «параллельный перенос точки $A$ в направлении вектора $C-B$».

-- Вс сен 18, 2016 23:13:08 --

Проблема с методом «давайте возьмём самое обобщённое, а потом конкретизируем сколько душе угодно» в том, что естественных обобщений бывает не одно, и что самого-самого обобщения как бы нет.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1152427 писал(а):

Кстати, аффинное пространство вполне себе можно определить без векторного по аналогии с определением https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(mathematics)
(как по-русски называется, не знаю)

Груда

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152422 писал(а):

Да, но нам об этом не нужно знать, чтобы определить параллельный перенос.

Насколько я знаю, параллельный перенос определяется единообразно для всех аффинно-связных пространств, включая Евклидово. Не понимаю, чем Вы упростите это определение, если "забудете" о существовании любых пространств, кроме Евклидова. И все еще не понимаю, как это определение можно дать без употребления понятия вектора.

arseniiv в сообщении #1152427 писал(а):

Кстати, аффинное пространство

Речь не о нем.

warlock66613 в сообщении #1152422 писал(а):

Если пространство плоское, то можно считать, что тот же самый. Различие начинает играть роль только когда мы переходим к более общим пространствам и к дифгеометрии.

Увы, всё не так. Нулевая кривизна - это дополнительная аксиоматика. Когда Вы определяете параллельный перенос, ниоткуда не следует, что он не зависит от пути. Поэтому Вы не можете считать, что перенесенный вектор - тот же самый. Только когда Вы скажете детишкам: "А давайте предположим, что параллельный перенос не зависит от пути", - вот тогда Вы уже можете начинать отождествлять перенесенные векторы. Только не забывайте, что этой фразой Вы заложили дополнительную (и весьма сильную) аксиоматику.

warlock66613 в сообщении #1152422 писал(а):

так как силы, приложенные к разным точкам, отлично складываются

Как раз по причине той самой независимости результата переноса от пути. И, кстати, даже в рамках Ньютоновской механики (которая в Евклидовом пространстве) тупое складывание сил, приложенных к разным точкам, не всегда полезно.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152444 писал(а):

Насколько я знаю, параллельный перенос определяется единообразно для всех аффинно-связных пространств, включая Евклидово. Не понимаю, чем Вы упростите это определение, если "забудете" о существовании любых пространств, кроме Евклидова.

Мы можем определить паралельный перенос конкретно для частного случая евклидовых пространств без определения вектора. Конечно, потом надо будет доказывать, что это определения согласовано с общим определением для аффинно-связных пространств, но это можно сделать потом или даже никогда.

epros в сообщении #1152444 писал(а):

Когда Вы определяете параллельный перенос, ниоткуда не следует, что он не зависит от пути.

В евклидовом случае у нас есть понятие о параллельных прямых и этого достаточно для определения параллельного переноса и доказательства его свойств.

epros в сообщении #1152444 писал(а):

Нулевая кривизна - это дополнительная аксиоматика.

Нет, это всё уже есть в аксиоматике евклидовой геометрии.

epros в сообщении #1152444 писал(а):

тупое складывание сил, приложенных к разным точкам, не всегда полезно.

Оно недостаточно неполезно, чтобы говорить о более чем одном векторном пространстве.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152451 писал(а):

Мы можем определить паралельный перенос конкретно для частного случая евклидовых пространств без определения вектора.

Пока не понимаю как. Разумеется, если определять именно параллельный перенос, а не что-то иное (если что-то иное, то, конечно, мы сразу это увидим, не стоит особо беспокоиться о его возможной "несогласованности с общим определением").

warlock66613 в сообщении #1152451 писал(а):

В евклидовом случае у нас есть понятие о параллельных прямых и этого достаточно для определения параллельного переноса и доказательства его свойств.

warlock66613 в сообщении #1152451 писал(а):

Нет, это всё уже есть в аксиоматике евклидовой геометрии.

Да, да, тот самый пятый постулат Евклида - равносильно утверждению о нулевой кривизне. Совсем не слабая штука.

warlock66613 в сообщении #1152451 писал(а):

Оно недостаточно неполезно, чтобы говорить о более чем одном векторном пространстве.

Да что Вы такое говорите. Характер движения в Ньютоновской механике весьма неслабо зависит от точки приложения силы. Всякие там деформации, вращения...

[warlock66613]

epros в сообщении #1152462 писал(а):

Пока не понимаю как.

Как движение, переводящее любую прямую в параллельную ей. Ну и ещё какое-нибудь условие, чтобы зеркальное отражение с инверсией отсечь.

epros в сообщении #1152462 писал(а):

Характер движения в Ньютоновской механике весьма неслабо зависит от точки приложения силы. Всякие там деформации, вращения...

Вот только непонятно, почему точка приложения силы должна иметь какое-то отношение к вектору силы.

epros в сообщении #1152462 писал(а):

Да, да, тот самый пятый постулат Евклида - равносильно утверждению о нулевой кривизне. Совсем не слабая штука.

Именно, и эта неслабая штука позволяет нам ввести относительно простое, но корректное понятие о векторе и отложить разговор о касательных пространствах до лучших времён.

[arseniiv]

epros в сообщении #1152462 писал(а):

Пока не понимаю как.

Э. Артин, Геометрическая алгебра. Гляньте там, например. Это довольно близко к началу.

[Munin]

Я так чувствую, все вокруг спорят с одним epros-ом, и не улавливают, что переубедить его нельзя, так что проще всего - не спорить...

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152474 писал(а):

Как движение, переводящее любую прямую в параллельную ей

Как Вы собираетесь определять движение без вектора? Отображение пространства в себя - это значит, что для точки прообраза есть точка образа - вот Вам уже "начало" и "конец" того самого "направленного отрезка", который и есть вектор переноса. Поскольку точки прообраза можно взять любые, возникает вопрос о "тождественности" векторов переноса, проведенных из разных точек. И решается он, разумеется, доказательством того, что все векторы переноса отображаются друг в друга параллельными переносами.

Таким образом:
1) Мы никуда не делись от направленных отрезков.
2) Тот факт, что перенос соответствует "классу эквивалентности" направленных отрезков, оказывается специфичным для пространства нулевой кривизны. В данном случае доказательство этого факта существенным образом опирается на пятый постулат Евклида.

warlock66613 в сообщении #1152474 писал(а):

Вот только непонятно, почему точка приложения силы должна иметь какое-то отношение к вектору силы.

Если определять понятие "вектора" таким образом, чтобы оно не зависело от точки приложения, то конечно же оно по определению не будет иметь отношения к точке приложения. Но это не отменяет того факта, что сила определяется не только величиной и направлением, но и точкой приложения.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152492 писал(а):

Как Вы собираетесь определять движение без вектора?

Как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.