Очередной холиварчик вокруг определений и т.п.

[Anton_Peplov]

По-моему, все трудности с "у него же есть точка начала", "это класс эквивалентности" и т.д. решаются рассмотрением радиус-векторов. Т.е. выбираем на плоскости точку и назначаем ее началом отчета, все направленные отрезки откладываем от нее. Всё. Модуль и направление однозначно задают такой направленный отрезок. И наглядность соблюдена, и аксиомы линейного пространства. Чего еще надо-то?

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1155454 писал(а):

Чего еще надо-то?

Связь со школьной физикой теряется. Вектор силы - это не радиус-вектор, как ни посмотри.

[valambar]

warlock66613 в сообщении #1155538 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1155454 писал(а):

Чего еще надо-то?

Связь со школьной физикой теряется. Вектор силы - это не радиус-вектор, как ни посмотри.

Это Вы имеете в виду отличие прямолинейного движения под действием силы, приложенной к центру масс, от вращения, когда вектор приложен не на прямой, проходящей через центр масс? Но при вращении меняется и направление самого вектора. А если оно не меняется, объект повернется и поползет за вектором. То есть получится, что вектор - не радиус будет стремиться к совпадению с радиус-вектором. Такие движения описываются тензорами, а там все сводится к радиус-векторам и их базисам. То есть любой вектор - не радиус можно описать при помощи радиус-вектора и перемещения базиса.

Не уверен, что пишу корректно.

[arseniiv]

Ну зачем же в такие дебри. Нет, радиус-вектор точки аффинного пространства — это по определению вектор между началом данной аффинной системы координат и этой точкой. Но не любому векторному пространству разумно сопоставляется какое-то аффинное (так-то это всегда можно сделать, но не всегда у него будет какая-то осмысленная интерпретация в задаче).

[Munin]

С точки зрения физики, очень полезно объяснить, что такое пространство скоростей и пространство ускорений. Например, переход в другую ИСО (галилеевский) является в пространстве скоростей параллельным переносом. Есть задачи, которые решаются с пространством скоростей очень удобно.

[epros]

VAL в сообщении #1153381 писал(а):

Школьное определение вектора как направленного отрезка очень быстро создает в головах учеников именно образ. Беда в том, что он не адекватен понятию. У направленного отрезка есть начало и конец. Если взять другие начало и конец, это будет другой направленный отрезок, даже если у него та же длина и направление.

Хочу ещё раз напомнить, что равенство векторов, определённых в разных точках геометрического пространства, объективно не является самоочевидной вещью. Тут дело не в том, что у ребят сформировалось "неверное представление", а в том, что представление о векторе, как о геометрическом объекте, который можно переносить, у ребят вообще никаким образом не было сформировано. Они ведь на самом деле не просто "кое-чего не понимают по собственной глупости", они как раз видят все те варианты, которые в сознании взрослого обученного человека уже исключены, поэтому им трудно выбрать из них "правильный" вариант.

Тут дело не только в векторах. Если начать объяснять детям понятие "множество" (не аксиоматику, разумеется, а на пальцах), то Вы столкнётесь ровно с такими же проблемами: Есть куча вариантов определения, выбор между которыми не самоочевиден. Например, не очевидно, что порядок элементов не должен иметь значения или что отношение "принадлежит" должно отличаться от отношения "является подмножеством". Всё это станет "очевидным" только после того, как учащимся объяснят, что соответствующие свойства являются неотъемлемыми составляющими понятия. Так и с геометрическим представлением о векторах: Если сказать, что векторы можно представлять направленными отрезками, но не сказать, что их можно переносить, то представление будет неполным.

[NPrim]

NPrim в сообщении #1151809 писал(а):

А можно ли в школе дать ученикам представление о векторе, не обращаясь к геометрическому образу? Что, если разобрать с учениками такую задачу?

В новогоднем подарке 2 яблока, 4 мандарина, 20 шоколадных конфет и 10 ирисок. Аня уже съела яблоко, мандарин и 5 шоколадных конфет и не съела ни одной ириски. Что осталось у Ани?

И записать:

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 15 \\ 10 \end{pmatrix}. $$

Нашел книгу популяризатора математики и педагога Уолтера Сойера "Путь в современную математику" (Москва, 1972), первая глава которой начинается так:

У. Сойер в книге «Путь в современную математику» на стр. 25 писал(а):

Если мы предложим ребенку такие вопросы, как: «Сколько будет, если к 1 кошке и 2 собакам прибавить 3 кошки и 1 собаку?» или «Сколько получится, если количество из 2 кошек и 1 собаки увеличить в 3 раза?» — то вряд ли они вызовут у него затруднения. Сами по себе эти вопросы могут показаться слишком примитивными, однако на самом деле они помогают значительно облегчить понимание геометрии.

Если обозначить совокупность животных, упоминаемых в первом вопросе, через А и В, то его решение можно записать в виде

$$ \begin{tabular}{lllll} & $A =$ & $3\;\text{кошки}$ & $\text{и}$ & $1\;\text{собака}$ \\ $+$ & & & \\ & $B =$ & $1\;\text{кошка}$ & $\text{и}$ & $2\;\text{собаки}$ \\ \hline & $C =$ & $4\;\text{кошки}$ & $\text{и}$ & $3\;\text{собаки}$ \end{tabular} $$

Во второй главе автор так поясняет, что такое вектор:

У. Сойер в книге «Путь в современную математику» на стр. 68 писал(а):

На языке главы I векторы суть объекты, которые можно комбинировать так, как если бы они были коллекциями животных.

Википедия об авторе: Walter Warwick Sawyer.

[Red_Herring]

NPrim в сообщении #1160433 писал(а):

А можно ли в школе дать ученикам представление о векторе, не обращаясь к геометрическому образу?

Это худшее из возможных определение. Оно отрывает понятие вектора от геометрии и физики, и вообще от математики. Привязывает к координатной системе. Впрочем, для счетоводов сойдет.

[NPrim]

Red_Herring
Счетоводы тоже сапиенсы. Хотя бы формально. Поэтому попрошу не употреблять слово "счетовод" в оскорбительных целях.

А если серьезно, то warlock66613 мне уже об этом говорил, но я не понял, почему это так. Я приведу свои соображения.

Red_Herring в сообщении #1160438 писал(а):

Это худшее из возможных определение. Оно отрывает понятие вектора от геометрии и физики, и вообще от математики. Привязывает к координатной системе.

Мне кажется, что, пока понятие не сформировано, рано говорить о его отрыве от чего-либо. Любое понятие формируется поэтапно, это длительный процесс. Почему бы ни начать так -- с конфеток и собачек. Это сразу же можно изобразить графически. Сойер таким путем и идет в книге. Почти сразу можно показать, что один и тот же набор конфет можно считать в штуках, в граммах и килограммах (конфеты одного сорта, разумеется, имеют одинаковую массу), и это будут разные наборы чисел. При сложении векторов сразу будет видно, что вектор изображается и точкой, и направленным отрезком. Потом геометрия, физика... а потом самые рафинированно-дезодорированные абстракции.

Это мне кажется довольно естественным.

Помню, когда учительница математики объясняла нам про логарифмы, она сказала, что мы ими пользовались чуть ли не с первого класса, когда считали, чему равно $10000 \times 100.$ Это было такое облегчение -- действительно, все так просто. И слово "логарифм" совсем не страшное. Психология.

Поэтому мне бы, думаю, понравилось, если бы вектора начинались с конфеток. Это наглядно и просто.

Но как оно там, в реальности? Кто знает? Исследований же на эту тему нет. Говоря вырванными из контекста словами Сойера:

У. Сойер в книге «Путь в современную математику» на стр. 21 писал(а):

Остается надеяться, что будет проведено исследование всех этих вопросов, а результаты его опубликованы.

[Red_Herring]

NPrim в сообщении #1160451 писал(а):

Поэтому попрошу не употреблять слово "счетовод" в оскорбительных целях.

Я отнюдь не оскорбляю счетоводов, а просто имею в виду, что им геометрия и физика не нужна, а вектора для них это массивы чисел. Их так и учат.

[NPrim]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1160464 писал(а):

NPrim в сообщении #1160451 писал(а):

Поэтому попрошу не употреблять слово "счетовод" в оскорбительных целях.

Я отнюдь не оскорбляю счетоводов, а просто имею в виду, что им геометрия и физика не нужна, а вектора для них это массивы чисел. Их так и учат.

Я знаю. Просто хотел немного пошутить над счетоводами за Ваш счет, но смешно было, видимо, только мне.

Я хотел вспомнить, что нам говорили о векторах в школе, но ничего определенного пока не вспомнил. В любом случае, повторно я познакомился с этим математическим понятием несколько лет назад и, кажется, до меня довольно быстро дошло, что вектор -- это не только состояние (точечка), но и изменение состояния (стрелочка).