Логические следствия из противоречия

[Sinoid]

Someone в сообщении #1117606 писал(а):

Каким образом без опытов можно узнать, что какая-то математическая теория хорошо описывает некую область физических явлений?

Так я и не говорил, что без опытов. Постулаты-то берутся из опытов. Эти опыты обобщаются, систематизируются. Стремятся подобрать формулы, наиболее лучшим образом описывающие эти самые опыты. А потом, если повезет, уже применение математики к этим самым полученным подгоном под действительность формулам что-нибудь и даст. А если и не даст, значит, физики будут дальше измерять, копить факты, но только уже полностью наощупь.

Someone в сообщении #1117606 писал(а):

А до определения Вы не дочитали, оно на странице 24

Я уже на 40-ой странице, да что-то, очевидно, упустил, и сейчас топчусь на месте.

Someone в сообщении #1117606 писал(а):

Спасибо, скачал

Давайте сверимся. Вы скачали учебник 2008 года?

Someone в сообщении #1117606 писал(а):

А до определения Вы не дочитали, оно на странице 24

Давайте опять сверимся

Вы это определение имели ввиду?

[Someone]

Его.

Sinoid в сообщении #1117697 писал(а):

Так я и не говорил, что без опытов. Постулаты-то берутся из опытов. Эти опыты обобщаются, систематизируются. Стремятся подобрать формулы, наиболее лучшим образом описывающие эти самые опыты. А потом, если повезет, уже применение математики к этим самым полученным подгоном под действительность формулам что-нибудь и даст. А если и не даст, значит, физики будут дальше измерять, копить факты, но только уже полностью наощупь.

Вы опять говорите о том, чего не знаете.

Физики обычно не занимаются "подгоном формул", это нерадивые школьники подгоняют свои вычисления под известный ответ в задачнике. "Подгон формул" может использоваться в тех случаях, когда у физиков нет никакой количественной теории исследуемого явления.

Взять, например, теории относительности (специальную и общую). Они существуют уже сто лет. Нет никаких подтверждённых экспериментов, которые противоречили бы этим теориям. Тем не менее, физики буквально с остервенением проверяют эти теории. Изотропность скорости света проверена уже с погрешностью, составляющей какие-то доли миллиметра в секунду (это при том, что сама скорость составляет примерно 300000 км/с). Отклонение радиоволн в гравитационном поле измеряется с погрешностью гораздо меньше 0,001''. Отклонение радиоволн Солнцем измеряется уже практически по всей небесной сфере, а не только вблизи Солнца, и уже было сообщение, что удалось измерить отклонение радиоволн Юпитером, хотя и на пределе точности. А Вы предлагаете физикам почить на лаврах… То же самое с квантовой теорией поля, которая считается вообще одной из наиболее точно проверенных теорий.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1117732 писал(а):

"Подгон формул" может использоваться в тех случаях, когда у физиков нет никакой количественной теории исследуемого явления.

Так, а зачем физикам эта количественная теория исследуемого явления?

Someone в сообщении #1117732 писал(а):

Его.

Отлично. Я даже на время забуду про импликацию, Бог с ней. Теперь, объясните мне, пожалуйста, чем, к примеру, связка "$\vee$" отличается от связки "$\wedge$"?

[Someone]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1117771 писал(а):

Так, а зачем физикам эта количественная теория исследуемого явления?

А Вы считаете, что физика — это болтовня? А зачем тогда им "подгон формул"?

Sinoid в сообщении #1117771 писал(а):

связка "$\vee$" отличается от связки "$\wedge$"?

Определением.

[Sinoid]

Прежде всего, Someone, хочется поблагодарить вас за терпение, с которым вы со мной возитесь. Нет, я, конечно, благодарен и другим участникам этого обсуждения, а provincialka и arseniiv вообще уделяют моей скромной персоне больше внимания, чем остальные участники этого сайта, за что им отдельное спасибо, но тем не менее в этой теме они оставили меня наедине с моим невежеством и только вы еще пытаетесь что-то вложить в мою голову.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1117775 писал(а):

Так, а зачем физикам эта количественная теория исследуемого явления? А Вы считаете, что физика — это болтовня? А зачем тогда им "подгон формул"?

Я пока ничего не считаю, я переосмысливаю, а для получения пищи к переосмысления спрашиваю вас, как человека, у которого один педагогический стаж больше всей моей жизни.

Someone в сообщении #1117775 писал(а):

связка "$\vee$" отличается от связки "$\wedge$"? Определением.

Замечательно, пока моих знаний хватает, чтобы понимать вас полностью.
Под определением связки $\vee$ вы понимаете вот что:

А под определением связки $\wedge$ вы понимаете вот что:

я вас правильно понимаю?

А, вообще, возвращаясь к импликации. Я хочу вам сообщить все нюансы моего ощущения, когда я думаю о ней. Без этих нюансов вы и помочь мне не сможете. Вот смотрите. Когда мы говорим "Если $P$, то $Q$", то получаем, как бы это сказать, одновариантный сценарий взаимосвязи посылки и следствия: Если истина $P$, то истина и $Q$". Когда же мы записываем то же утверждение в виде формулы $P\rightarrow Q$, то таких вариантов уже 4. Хотя, смотря на пример

arseniiv в сообщении #1117636 писал(а):

Рассмотрите теорему $\forall x\in\mathbb R.\;x>4\Rightarrow x>2$

или

Teoretic в сообщении #1117802 писал(а):

"Если получишь золотую медаль - куплю машину"

возникает желание предположить, что в математике под связкой "Если $P$, то $Q$" понимают следующее:
1) Может представиться случай, что $P$ - ложь и $Q$ -ложь;
2) Может представиться случай, что $P$ - ложь и $Q$ -истина;
3) Не может представиться случай, что $P$ - истина, а $Q$ -ложь;
4) Может представиться случай, что $P$ - истина и $Q$ -истина;
И вот эти слова "Может", "Не может" как раз и обозначают истинность или ложность импликации, причем первая, вторая и четвертая строки не менее важны, чем третья. Таким образом, вот я формулирую теорему: Если $P$, то $Q$. При этом я предполагаю посылку $P$ истинной (отрицание можно занести внутрь посылки). Тогда случай $Q$ -ложь представится не может и у меня остается один возможный случай: $Q$ -истина. Первые же две строчки показывают, что при данной лживой посылке $P$ данная посылка $Q$ может быть как лживой, так и истинной. Вот я полгода назад думал про импликацию. На ум пришла такая связка: "Если зимой пойдет дождь, то будет гололед". С бытовой точки зрения здесь говорится про один вариант развития событий. Для математика же здесь говорится про 4 варианта развития событий:
1) Может представиться случай, когда зимой не пойдет дождь и не будет гололеда;
2) Может представиться случай, когда зимой не пойдет дождь, но гололед все-таки будет (Солнце пригреет, а потом ударит мороз);
3) Не может представиться случай, когда зимой пойдет дождь, но гололеда не будет;
4) Может представиться случай, когда зимой пойдет дождь и будет гололеда
Причем с математической точки зрения все 4 варианта одинаково важны. Можно ли понимать импликацию с такой точки зрения?

[provincialka]

Sinoid
Можно, в некотором смысле. Хотя использование в качестве аргументов булевых функций предложений естественного языка всегда немного смущает. В них редко есть та однозначность, какая требуется в формальной логике.

Импликация применяется к неким формальным объектам, называемым "высказывание". И о "важности" разных вариантов речь вообще не идет.

Кстати, почему

Sinoid в сообщении #1117988 писал(а):

С бытовой точки зрения здесь говорится про один вариант развития событий.

Ведь можно продолжить, например, так: "Хорошо бы дождь не пошел". Значит, говорящий имеет в виду, что высказывание "Пойдет дождь" может быть ложным. Или такое продолжение: "Впрочем, гололед бывает и без дождя".

Когда я говорю ребенку: "Если ты выбежишь на дорогу, тебя может сбить машина" -- неужели я предполагаю, что высказывание "Мой ребенок выбежал на дорогу" -- истинно? Бр-р, ужас какой

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1117992 писал(а):

И о "важности" разных вариантов речь вообще не идет.

Про важность вариантов я написал, потому что вы, provincialka, вот в этой теме сами написали про неважность остальных случаев, кроме третьего из этих:

Sinoid в сообщении #1117988 писал(а):

1) Может представиться случай, что $P$ - ложь и $Q$ -ложь;
2) Может представиться случай, что $P$ - ложь и $Q$ -истина;
3) Не может представиться случай, что $P$ - истина, а $Q$ -ложь;
4) Может представиться случай, что $P$ - истина и $Q$ -истина;

Меня это тогда поднапрягло, но вдаваться в детали тогда не стал.

provincialka в сообщении #1117992 писал(а):

Когда я говорю ребенку: "Если ты выбежишь на дорогу, тебя может сбить машина" -- неужели я предполагаю, что высказывание "Мой ребенок выбежал на дорогу" -- истинно?

Нет, вы предполагаете, что может представиться случай, когда высказывание "Мой ребенок выбежал на дорогу" -- истинно, потому и говорите. При этом словом "может" вы, как бы это сказать, ослабляете, что ли импликацию. В предложении "Если ты выбежишь на дорогу, тебя собьет машина" импликация выражена намного отчетливее. И, кстати, когда вы говорите это предложение, вы не прокручиваете в голове 4 варианта развития сценария. Что-то Someone молчит. Наверное, я ему надоел.

[provincialka]

Вот так и думала, что вы прицепитесь обратите внимание на это "может сбить". Это тут не принципиально, высказывание $B$ -- "может сбить", его отрицание = "не может сбить". Ну, пишите без "может".
И что такое "ослабленная импликация"? Нет такой!

Sinoid в сообщении #1118102 писал(а):

в этой теме
сами написали про неважность остальных случаев, кроме третьего из этих:

Нет! Совсем не третий случай. Я выделила "важное" в рассуждениях участников, а не в импликации. Указала на то, что нужно для проверки сложного высказывания на истинность. А все остальные "трепыхания" были не важны.

Уж извините, но я математические определения не воспринимаю аксиологически.

[arseniiv]

Вот я, например, окончательно потерял нить разговора, а перечитывать всё, чтобы её попытаться найти, лень. Могу ещё предложить разобрать, какие формулы от $A, B$ по смыслу должны логически следовать из $A\to B$, и из каких она. Это не будет чем-то новым — будет просто более формальная процедура, позволяющая в лучшем случае точно определить таблицу истинности импликации.

Итак, очевидно, что должно быть $B\vDash A\to B$. Значит, два значения $0\to1 = 1, 1\to1 = 1$ в таблице истинности мы уже зафиксировали. Ещё ясно, что не должно быть $\vDash A\to B$, так что должно быть верно по крайней мере одно из $0\to0=0$ или $1\to0=0$. Ясно, что должно быть ещё и $A\leftrightarrow B\vDash A\to B$ — это фиксирует $0\to0 = 1$. Таблица истинности определена полностью.

Можно попробовать выбрать более убедительные логические следствия, если не устраивают эти.

[Someone]

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #1118102 писал(а):

Что-то Someone молчит. Наверное, я ему надоел.

Ага. Я вижу, что дело не двигается, и сделал определённые выводы. В частности, перешёл в режим наблюдателя.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1118105 писал(а):

И что такое "ослабленная импликация"? Нет такой!

Я имел ввиду, что при использовании таких примеров мы приближаемся к случаю

provincialka в сообщении #1117992 писал(а):

В них редко есть та однозначность, какая требуется в формальной логике.

, что немного отвлекает от схватывания основных идей.

arseniiv в сообщении #1118109 писал(а):

позволяющая в лучшем случае точно определить таблицу истинности импликации.

Да с таблицей-то я согласен, хотя ваши, arseniiv, построения на данный момент и не совсем ясны, ну ладно, обдумаю на досуге.

arseniiv в сообщении #1118109 писал(а):

Вот я, например, окончательно потерял нить разговора

А нить разговора в том, что я делаю попытки понять, что означает предложение "Если $P$, то $Q$". Что это. Вот что такое сумма знаю, что такое производная, интеграл знаю. А что означает это предложение. Истинность умозаключения при попытке вывести из предположения истинности посылки $P$, истинность следствия $Q$", как ее преподносит Игошин? Нет. Такое понимание смысла этого предложения неверно. Истинность существования такого умозаключения? Тоже нет. А еще я пытаюсь понять, как так может быть, что в обычной жизни понимаемое как одновариантное предложение "Если $P$, то $Q$" при записи с помощью импликации $P\rightarrow Q$ превращается в четырехвариантную связку. Впрочем, у меня появляется смутное понимание того, что запись предложения "Если $P$, то $Q$" импликацией возможна не потому, что импликация, так сказать, подогнана под предложение, а потому что в математике понимание предложения "Если $P$, то $Q$" подогнано под таблицу истинности импликации.

Someone в сообщении #1118113 писал(а):

Ага. Я вижу, что дело не двигается, и сделал определённые выводы. В частности, перешёл в режим наблюдателя

К сожалению, ваш режим наблюдателя нисколько не помогает мне в изучении математической логики. Ладно, попробую написать мои сложности понимания по поводу указаний, данных Someone. Может, кто и растолкует.

Someone в сообщении #1117775 писал(а):

Sinoid в сообщении #1117771

писал(а):
связка "$\vee$" отличается от связки "$\wedge$"?
Определением.

Если Someone подразумевал под этими определениями определения, приведенные мной на фотографиях, то в тех определениях используются понятия "истина" и "ложь", между тем, как

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

А ссылаться на истинность или ложность вообще нельзя, поскольку в формальной теории самой по себе нет никакой истинности или ложности.

Точно такой же замкнутый круг начинается и в книге Клини; сначала вводится истинность (ложность) предложения, затем дается таблица истинности для пяти связок. Правда, определение формул через эти связки я при беглом просмотре не увидел.

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

в частности, совершенно не помогает понять, что такое формальная теория

Так я пока и не стремлюсь понять, что такое формальная теория: в изучаемой мной книге такого термина мне не попадалось, для меня этого понятия просто не существует.

-- 26.04.2016, 17:19 --

Еще у Клини написано: Мы не предполагаем, что относительно каждого атома мы знаем истин он или ложен.
Может, эта оговорка что-то дает еще?

[grizzly]

Sinoid в сообщении #1118374 писал(а):

в обычной жизни понимаемое как одновариантное предложение "Если $P$, то $Q$"

Что Вы скажете о фразе:
Если ты врач, то я -- балерина.
На мой взгляд здесь предполагается (в естественной речи) некоторая форма доказательства от противного. Которая по сути и означает (с изрядной долей сарказма), что из ложной посылки может быть выведено любое следствие.

Но всё ещё проще, имхо. В русском языке "если ... то" -- это просто способ присоединения придаточного предложения к главному при различных условиях / сопоставлениях. Оно совсем не обязано обладать какой-то логикой следования. Хотя зачастую оборот может быть направлен на усиление убедительности речи.
При оформлении логических построений также принято пользоваться таким способом присоединения придаточных предложений. Только и всего.

PS. Простите, если не в тему, но отследить в чём "тема" тем сложнее, чем подробнее Вы это объясняете.

[Mikhail_K]

Sinoid в сообщении #1118374 писал(а):

Тоже нет. А еще я пытаюсь понять, как так может быть, что в обычной жизни понимаемое как одновариантное предложение "Если $P$, то $Q$" при записи с помощью импликации $P\rightarrow Q$ превращается в четырехвариантную связку.

Да блин! Неужели так долго можно издеваться над такой простой вещью, как импликация! Истинность импликации "Если P то Q" и означает буквально, что если P истинно, то и Q истинно (а если P ложно, то ничего не сказано, так что может быть что угодно). Вот и всё, над чем тут ещё думать. И не надо говорить, что в математике импликация означает нечто иное, чем слово "если" в обычной жизни - по-моему, то же самое. Поэтому когда Вы пишете длинные-длинные рассуждения про импликацию, а потом спрашиваете верно ли это, тут ответ только один - всё это не нужно. Вопрос простейший. Чрезмерные мудрствования здесь только запутывают и ни к чему разумному привести не могут.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1118374 писал(а):

Ладно, попробую написать мои сложности понимания по поводу указаний, данных Someone. Может, кто и растолкует.

Someone в сообщении #1117775 писал(а):

Sinoid в сообщении #1117771

писал(а):
связка "$\vee$" отличается от связки "$\wedge$"?
Определением.

Если Someone подразумевал под этими определениями определения, приведенные мной на фотографиях, то в тех определениях используются понятия "истина" и "ложь", между тем, как

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

А ссылаться на истинность или ложность вообще нельзя, поскольку в формальной теории самой по себе нет никакой истинности или ложности.

Точно такой же замкнутый круг начинается и в книге Клини; сначала вводится истинность (ложность) предложения, затем дается таблица истинности для пяти связок. Правда, определение формул через эти связки я при беглом просмотре не увидел.

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

в частности, совершенно не помогает понять, что такое формальная теория

Так я пока и не стремлюсь понять, что такое формальная теория: в изучаемой мной книге такого термина мне не попадалось, для меня этого понятия просто не существует.

Тяжёлый случай. А кажется, всё было разжёвано до конца: элементы языка (термы, высказывания) определяются чисто синтаксически, без использования истинности и ложности. А после того, как язык определён, рассматривается его интерпретация в двухэлементной булевой алгебре, элементы которой называются "ложь" и "истина" (при этом не имеет ни малейшего значения, что именно эти слова означают), в частности, определяются таблицы истинности для пропозициональных связок. Чтобы перепутать синтаксис с интерпретацией, нужно было очень этого хотеть.

Mikhail_K в сообщении #1118391 писал(а):

Да блин! Неужели так долго можно издеваться над такой простой вещью, как импликация!

Ну, я скажу прямым текстом: Sinoid решил развлечься троллингом. Вот и вся проблема.

[Sinoid]

Mikhail_K в сообщении #1118391 писал(а):

Да блин!

Мне в свое время за такой же оборот в таком же контексте было сделано замечание на этом сайте было сделано замечание, так что поаккуратнее со словами (чисто дружественное замечание )

Mikhail_K в сообщении #1118391 писал(а):

Истинность импликации

Вот видите, вы чисто на автомате принялись объяснять только истинность импликации, между тем как этот случай с точки зрения таблицы истинности представляет меньший интерес, потому что этих случаев в той таблицы в 3 раза больше, чем случаев ложности. А почему вы принялись объяснять только истинность импликации? Да потому что вы в повседневной жизни привыкли подразумевать связку "Если, то" истинной. А когда вам нужно сказать что-нибудь эдакое, вы, естественно, это сформулируете, но, пусть на 25 мс, но это у вас займет больше времени. Я не пойму, неужели, когда среднестатистическая мама, уставшая за день, не отягощенная знаниями матлогики, говорит во время ужина ребенку: "Если ты не съешь кашу, придет бабайка", она одновременно с этим прокручивает все 4 варианта развития событий? Покажите мне такую маму.

grizzly в сообщении #1118385 писал(а):

PS. Простите, если не в тему, но отследить в чём "тема" тем сложнее, чем подробнее Вы это объясняете.

Так может, мне начать новую тему? Но один результат от этой теме я уже получил: отошел от причинно-следственной связи в "Если, то".