Логика логической операции A=>B

[iifat]

timber в сообщении #1117740 писал(а):

Напишите, пожалуйста

Написать что? Вы не знаете, как доказать теорему? Или затрудняетесь подставить чего-нить вместо $x$?

[sng1]

Вообще-то импликацию надо обозначать $\rightarrow$. Зорич в своем курсе матанализа писал, что иногда будет обозначать импликацию $\Rightarrow$, чтобы не путать с пределом, но как я думаю, это было неправильное решение.

[Someone]

timber в сообщении #1117740 писал(а):

Напишите, пожалуйста, кто-нибудь два исходных высказывания этой теоремы.

Я не знаю, что Вы называете "исходными высказываниями теоремы". Для меня исходными высказываниями теоремы являются аксиомы математической логики, аксиомы той теории, к которой относится теорема (возможно, не все, что указывается в формулировке теоремы), а также дополнительные утверждения, которые автор добавляет к аксиомам. Также подразумеваются соответствующие правила вывода.

С точки зрения синтаксиса в формуле $\forall x\in\mathbb R.\;x>4\Rightarrow x>2$ здесь есть три терма $x$, $4$ и $2$ (термы — имена "вещей"; при этом "$x$" является переменной, а "$4$ и "$2$" — константы), из которых с помощью символа бинарного отношения "$>$" построены две элементарные формулы $x>4$ и $x>2$ (эти формулы называются элементарными, потому что внутри них нельзя выделить частей, которые можно было бы рассматривать как высказывания; в исчислении высказываний такие формулы называются атомарными). Из них с помощью пропозициональной связки "$\Rightarrow$" строится формула $(x>4)\Rightarrow(x>2)$. Как я уже говорил, обычно формула со свободной переменной интерпретируется так, будто по этой переменной есть квантор всеобщности, то есть, как $\forall x((x>4)\Rightarrow(x>2))$. Мы предполагаем, что эта формула взята из теории поля действительных чисел $\mathbb R$, поэтому область действия квантора можно не указывать. Если же имеется в виду более широкая теория, то ограничение области действия квантора делается так: $\forall x((x\in\mathbb R)\Raightarrow((x>4)\Rightarrow(x>2)))$. Поскольку тщательное следование формально определённому синтаксису с множеством скобок может оказаться муторным, обычно договариваются о сокращениях, позволяющих сделать запись формулы более короткой и понятной человеку, следя за тем, чтобы структура формулы распознавалась однозначно. То, что написал arseniiv, как раз и есть такое сокращение того, что написал я.

Так доказательство противоречия в исчислении высказываний будет?

sng1 в сообщении #1117750 писал(а):

Вообще-то импликацию надо обозначать $\rightarrow$

В разной литературе используются разные обозначения: "$\to$", "$\Rightarrow$", "$\supset$". Может быть, и ещё какие-нибудь есть. Давайте не будем обсуждать обозначения. Они достаточно разнообразны, и мы это побороть не сможем.

[sng1]

Someone в сообщении #1117751 писал(а):

В разной литературе используются разные обозначения: "$\to$", "$\Rightarrow$", "$\supset$". Может быть, и ещё какие-нибудь есть. Давайте не будем обсуждать обозначения. Они достаточно разнообразны, и мы это побороть не сможем.

Я к тому, что из-за разнообразных обозначений может возникнуть путаница между импликацией и логическим следованием, и этот момент тоже надо учитывать.

[Someone]

sng1 в сообщении #1117754 писал(а):

Someone в сообщении #1117751 писал(а):

В разной литературе используются разные обозначения: "$\to$", "$\Rightarrow$", "$\supset$". Может быть, и ещё какие-нибудь есть. Давайте не будем обсуждать обозначения. Они достаточно разнообразны, и мы это побороть не сможем.

Я к тому, что из-за разнообразных обозначений может возникнуть путаница между импликацией и логическим следованием, и этот момент тоже надо учитывать.

Ну, мы тут логическое следование, вроде бы, не обсуждаем. А если понадобится, воспользуемся каким-нибудь значком вроде "$\vDash$". Им пользуется С. К. Клини, например.

[sng1]

(Оффтоп)

Так то оно так. Но иногда путаница вдруг возникает неожиданно. Как-то мы обсуждали функцию одновременно возрастающую и убывающую и имеющую в 0 значение 0. Согласно определению возрастающей и убывающей фунций из Зорича, такую функцию можно построить. Мой визави в споре утверждал, что в определении Зорича используется не импликация, а логическое следование, но ссылка на сноску из первого параграфа позволила его убедить в обратном.

[arseniiv]

timber в сообщении #1117708 писал(а):

Как у Вас тогда выглядят исходные высказывания по отдельности (А и B)? Формализуйте их, пожалуйста.

$a>4$ и $a>2$, где $a$ — любая вещественная константа на выбор. Получится максимум три разные ситуации, соответствующие каждой из единиц в таблице истинности импликации.

-- Сб апр 23, 2016 23:41:09 --

Просто $\forall x.\,P$ истинно тогда и только тогда, когда истинно $P[a/x]$ (подстановка $a$ вместо всех свободных вхождений $x$) для любой интерпретации константы $a$. Так что если вы принимаете истинность $\forall x\in\mathbb R\;(x>4\Rightarrow x>2)$, должны принять истинность всех $1>4\Rightarrow1>2$, $3>4\Rightarrow3>2$, $5>4\Rightarrow5>2$.

[arseniiv]

Теперь, если в каком-то из этих случаев импликация не была бы истинной, не было бы истинным $\forall x\in\mathbb R\;(x>4\Rightarrow x>2)$.

[timber]

Что это за случай? Что он показывает?
В этих же случаях импликация по определению всегда истинна.

[arseniiv]

Мне казалось, вы ставили вопрос несколько в другую сторону — об обоснованиях того, почему нам так нужно, чтобы импликация определялась так, как определяется. По этому поводу я и привёл пример. Он не задумывался вызывающим столько вопросов, честно говоря.

[mihaild]

timber
Вы можете сформулировать, что вам не нравится? Что значком $\Rightarrow$ обозначили именно такую функцию?

(Оффтоп)

А что такое "логическое следование"? Поиск выдает либо импликацию, либо что-то про "обоснованную выводимость" - что это такое, найти не удалось.

[Someone]

(mihaild)

Пусть формулы (= высказывания) $A_1,A_2,\ldots,A_m,B$ построены из атомарных формул $P_1,P_2,\ldots,P_n$ (в исчислении высказываний предполагается, что существуют некие исходные формулы, внутренняя структура которых недоступна, но их можно независимо друг от друга интерпретировать как истинные или ложные) с помощью пропозициональных связок $\neg,\vee,\wedge,\Rightarrow,\Leftrightarrow$.
Говорят, что высказывание $B$ является логическим следствием высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_m$, и пишут $A_1,A_2,\ldots,A_m\vDash B$, если в таблицах истинности для формул $A_1,A_2,\ldots,A_m,B$ высказывание $B$ имеет значение "истина" во всех строках, в которых все высказывания $A_1,A_2,\ldots,A_m$ имеют значения "истина".
Определение можно найти, например, в упоминавшейся здесь книге Клини, глава 1, § 7.

[Teoretic]

timber
Видимо, вам непонятно, почему импликация всегда истинна при ложной посылке?

Рассмотрим высказывание отца сыну-школьнику: "Если получишь золотую медаль - куплю машину"
1) Если сын получил медаль, а отец не купил машину, то отец однозначно лгал;
2) Сын получил медаль и отец купил ему машину. Обещание было выполнено, отец говорил
правду;
3) Сын не получил медаль и отец не купил ему машину. Все правильно, сын не выполнил
свою часть договора. Отца лжецом назвать не получится;
4) Сын не получил медаль и отец купил ему машину. Просто щедрый оказался отец. Ну как его можно
здесь обвинить в нечестности?

Видите, определение импликации её таблицей истинности вполне корректно описывает данную житейскую ситуацию.

[Mikhail_K]

(Логическое следование)

Someone в сообщении #1117801 писал(а):

Говорят, что высказывание $B$ является логическим следствием высказываний $A_1,A_2,\ldots,A_m$, и пишут $A_1,A_2,\ldots,A_m\vDash B$, если в таблицах истинности для формул $A_1,A_2,\ldots,A_m,B$ высказывание $B$ имеет значение "истина" во всех строках, в которых все высказывания $A_1,A_2,\ldots,A_m$ имеют значения "истина".

Вот этого я не понимаю. Разве не всё равно, сказать $A_1,A_2,\ldots,A_m\vDash B$ или сказать, что истинна импликация $A_1\wedge A_2\wedge\ldots\wedge A_m\Rightarrow B$?
И зачем тогда логическое следование, если есть импликация?
И особенно, зачем нужно, чтобы они обязательно обозначались разными знаками?

[iifat]

Не всё равно, хотя действительно высказывания равносильны (при резонных правилах вывода). На этот счёт есть теорема, да, но доказательство её куда сложнее, чем «ну это ж очевидно!»