Существует или может существовать.

[shwedka]

Коллега Yarkin
передергивает.
Теорема косинусов - это равенство, связывающее углы и стороны треугольника. Именно И углы, И стороны.
Поэтому бессмысленно говорить о том, что какие-то стороны не удовлетворяют теореме косинусов -- или удовлетворяют ей,
если не указывать углы. Это все равно, что говорить о том, что числа 4, 5 удовлетворяют или не удовлетворяют уравнению Пифагора. Бессмысленно. Соответственно бессмысленно делать из таких утверждений какие-либо выводы.

И такой обман, причем с апломбированным отказом давать содержательные об'яснения, весьма типичен для автора темы.

(личное) А я уже в Израиле. В гостевом доме посещаемого мною университета есть вполне комфортный интернет. Но дорога, с пересадкой во Франкфурте и ночным полетом, была очень утомительной. Плюс к этому ночная поездка на такси от аэропорта к месту моего назначения с водителем, знающим из английского лишь географические названия и не понимающим ни русского, ни даже моего родного шведского.

[AD]

Уважаемая shwedka! Вы, наверное, абсолютно правы, только ... ну давайте не флеймить, что-ли.
От этого только темы закрываются, и обе стороны остаются недовольными.
Сообщениями, что Yarkin неуч и ничего не понимает, переполнены все его ранние темы, и ни к чему хорошему это не привело, вроде бы. Он так и остался "Коперником -- Лобачевским" (не знаю насчет "до сих пор", но после первой темы точно). В чем именно глюк в его голове, приводящий к таким вот рассуждениям, так никто и не понял, хотя гипотезы высказывались не раз.

Давайте узнаем у Yarkinа, все-таки, на чем же мы сейчас остановились.

[Руст]

shwedka писал(а):

Коллега Yarkin
передергивает.
Теорема косинусов - это равенство, связывающее углы и стороны треугольника. Именно И углы, И стороны.
Поэтому бессмысленно говорить о том, что какие-то стороны не удовлетворяют теореме косинусов -- или удовлетворяют ей,
если не указывать углы. Это все равно, что говорить о том, что числа 4, 5 удовлетворяют или не удовлетворяют уравнению Пифагора. Бессмысленно.

Не совсем согласен. Стороны 1, 2, 4 (одна сорона больше суммы других) не удовлетворяют теореме косинусов без всяких углов.

[Yarkin]

Someone писал(а):

Во всех этих случаях теорема косинусов выполняется.

Как может выполняться ТК, если один угол равен $0^0$?

Someone писал(а):

Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме.

Сходил в восьмой класс. Нигде теорему косинусов не формулируют в виде соотношения (1)

AD писал(а):

Все-таки хотелось бы получить от Yarkinа ответ на вопрос, почему он не согласен с моим заявлением. В качестве доказательства я предлагаю

Непосредственной подстановкой, убеждаемся, что, по определению решения, Вы правы. Я с этим не спорю. Но, с точки зрения логики - здесь не все в порядке, ибо соотношение (1) и соотношения (2) описывают два различных состояния треугольника. Пребывать в обоих состояниях сразу никак нельзя. Спасибо, что Вы не позволили закрыть тему.

AD писал(а):

Хотя, надо сказать, я и вправду не понял смысл последнего сообщения. Следующие две цитаты мне кажутся противоречащими друг другу.

Не смог сдержать эмоций.

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Во всех этих случаях теорема косинусов выполняется.

Как может выполняться ТК, если один угол равен $0^0$?

Долго думайте и вдруг да поймете как.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Теорема косинусов - это равенство, связывающее углы и стороны треугольника. Именно И углы, И стороны.
Поэтому бессмысленно говорить о том, что какие-то стороны не удовлетворяют теореме косинусов -- или удовлетворяют ей,

Согласен. Вот только в соотношении (1) углы надо брать с потолка (использую выражение AD).

AD писал(а):

Давайте узнаем у Yarkinа, все-таки, на чем же мы сейчас остановились.

Остановились мы на том, что я считаю, что соотношение (1) и соотношения (2) не могут существовать одновременно - я это использую в доказательстве. Это, кстати, я доказал с помощью комплексных чисел, что было отвергнуто без всякого обоснования,
. Об этом говорит и геометрическая интерпретация, также отвергнутая без обоснования. И, наконец сейчас, мне, без математического обоснования, пытаются внушить, что соотношение (1) и соотношения (3) могут иметь место одновременно. Докажите это строго математически, тогда я соглашусь. А, пока, как Вы пишите

AD писал(а):

Сообщениями, что Yarkin неуч и ничего не понимает, переполнены все его ранние темы

[shwedka]

Yarkin

Цитата:

что соотношение (1) и соотношения (2) не могут существовать одновременно

Коллега, пощадите!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ну не говорят в математике так!! Бессмыслица это.
Соотношение может выполняться, не выполняться, быть верным или неверным....

Цитата:

соотношении (1) углы надо брать с потолка

А почему?? вот вы взяли углы с потолка и с ними теорема косинусов не сошлась. А может Вы просто плохие углы с потолка взяли. Если хотите идти по такому пути, нужно Вам доказать, что при ЛЮБЫХ углах плохо будет. Иначе не считается. ЛЮБЫХ означает не какие Вамм понравятся, а какие мне понравятся.

[Someone]

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Во всех этих случаях теорема косинусов выполняется.

Как может выполняться ТК, если один угол равен $0^0$?

Самым обычным образом: $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\angle A$ и так далее.

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме.

Сходил в восьмой класс. Нигде теорему косинусов не формулируют в виде соотношения (1)

А я Вас туда не за теоремой косинусов посылал. Вам надо было посмотреть, что
1) если $a+b>c>0$, $b+c>a>0$, $c+a>b>0$, то существует (невырожденный) треугольник $ABC$, у которого длины сторон равны $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$; доказательстово конструктивное: требуемый треугольник строится циркулем и линейкой;
2) в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы;
3) если три стороны одного треугольника равны, соответственно, трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из этого следует, что
а) для существования треугольника ничего о его углах предполагать не требуется, достаточно, чтобы стороны удовлетворяли трём перечисленным неравенствам;
б) задав три стороны треугольника, мы не можем уже ничего дополнительно потребовать от его углов, поскольку величины углов треугольника однозначно определяются его сторонами; в частности, мы не имеем права требовать, чтобы выполнялись какие-нибудь неравенства типа $AC\neq AB\cos\angle A$: если $\angle C\neq 90°$, то это и без нас будет выполняться, а если $\angle C=90°$, то получим противоречие, причём, не из-за того, что треугольник не существует, а из-за собсивенной глупости.

Что касается теоремы косинусов, то её для гипотенузы прямоугольного треугольника, разумеется, не записывают в виде равенства $AB^2=AC^2+BC^2$ (в виде этого равенства записывают теорему Пифагора), её записывают в виде равенства $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos 90°$, откуда видно, в частности, что теорема Пифагора - это очень специальный частный случай теоремы косинусов.

Yarkin писал(а):

Но, с точки зрения логики - здесь не все в порядке, ибо соотношение (1) и соотношения (2) описывают два различных состояния треугольника.

Что такое "состояние треугольника"?

[AD]

Yarkin, никому, кроме меня, не отвечайте, они ничего не понимают Шутка, конечно, но мысль такая есть, и, я думаю, не только у меня.

А мне очень хотелось бы посмотреть на подробное доказательство следующего вашего утверждения, каким бы простым оно вам ни казалось:

Yarkin писал(а):

Пифагоровы тройки
...
не удовлетворяют условию (3)

[Алексей К.]

AD писал(а):

Yarkin, никому, кроме меня, не отвечайте, они ничего не понимают Шутка, конечно, но мысль такая есть, и, я думаю, не только у меня.

О да, и Вы, как reоткрыватель темы, имеете на то полное право. Но всё же, если не получится трио Yarkin-AD-shwedka, упадём в ножки к модераторам и попросим разделить на два дуэта --- Yarkin-AD, Yarkin-shwedka. А модераторы попались покладистые...

Успехов в познании мира, окружающего нас...

[AD]

Алексей К. писал(а):

О да, и Вы, как reоткрыватель темы, имеете на то полное право.

Ну да, это у меня проявление классической модели мышления

Цитата:

"дай сюда, ты не умеешь"

Конечно, я заведомо не прав. [оправдания]Но мысль витала, хотелось высказать.[/оправдания]

[shwedka]

AD
Согласна. Коллега Yarkin будет выбирать удобные ему вопросы и игнорировать остальные. Замолкаю, но слежу.

[AD]

Ладно, надоело ждать, когда кончится перетягивание каната типа
- докажите, что я не прав!
- нет, это вы докажите, что я не прав!!
просматривающегося в цитатах

AD писал(а):

Тем не менее,

Yarkin писал(а):

Пифагоровы тройки – корни уравнения (1) при $n = 1$

$$ x^2 + y^2 = z^2 $$

не являются его решением, так как не удовлетворяют условию (3),

в связи с чем прошу Yarkinа привести соответствующие вычисления.

Yarkin писал(а):

И, наконец сейчас, мне, без математического обоснования, пытаются внушить, что соотношение (1) и соотношения (3) могут иметь место одновременно.

Заканчиваю перетягивать канат. Доказываю тривиально, в рамках 8 класса. Сейчас Yarkin скажет, где ошибка.

Теорема 1. (AD -- Yarkin)
Существуют натуральные числа $x,y,z,n$, удовлетворяющие одновременно соотношениям $(1)$, $(2)$ и $(3)$ Yarkinа.
$\blacksquare$ Возьмем любой прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (с прямым углом $\angle C$) и любое натуральное число $n$, и обозначим
$\sqrt[n]{|AB|}=z$, $\sqrt[n]{|BC|}=x$, $\sqrt[n]{|AC|}=y$.

$$\eqno(*)$$

Тогда, по теореме Пифагора $x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$, то есть соотношения $(1)$, как бы сказал Yarkin, "существуют". Соотношения $(2)$ и $(3)$ "существуют" соответственно по теореме косинусов и по теореме о сумме углов треугольника. Итак, соотношения $(1)$, $(2)$ и $(3)$ имеют место для любого прямоугольного треугольника.
Осталось доказать существование прямоугольного треугольника, для которого числа $x,y,z$, вычисленные при некотором натуральном $n$ по формулам $(*)$, были бы натуральными. Возьмем треугольник $\triangle ABC$ со сторонами $|BC|=3$, $|AC|=4$ и $|AB|=5$. Поскольку $0<5<3+4$, $0<4<3+5$ и $0<3<4+5$, то такой треугольник существует и единственен с точностью до движения. Поскольку $3^2+4^2=5^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, $\triangle ABC$ - прямоугольный, с прямым углом $\angle C$. Выполнение для него соотношений $(1)$, $(2)$ и $(3)$ следует из результатов предыдущего абзаца. При $n=1$ из $(*)$ получаем $x=\sqrt[1]{|BC|}=3$, $y=\sqrt[1]{|AC|}=4$ и $z=\sqrt[1]{|AB|}=5$. Видно, что $x$, $y$ и $z$ целые. Теорема полностью доказана. $\square$

[Yarkin]

shwedka писал(а):

А почему?? вот вы взяли углы с потолка и с ними теорема косинусов не сошлась. А может Вы просто плохие углы с потолка взяли. Если хотите идти по такому пути, нужно Вам доказать, что при ЛЮБЫХ углах плохо будет.

Вы знаете какие углы могут быть в соотношении (1)?

Someone писал(а):

Самым обычным образом:

Зачем тогда ограничения (3) в ТК?

Someone писал(а):

а) для существования треугольника ничего о его углах предполагать не требуется, достаточно, чтобы стороны удовлетворяли трём перечисленным неравенствам;

Согласен, и потому Вы считаете, что для этого достаточно одного соотношения (1)? Если так, то это ошибка.

AD писал(а):

А мне очень хотелось бы посмотреть на подробное доказательство следующего вашего утверждения, каким бы простым оно вам ни казалось:

Это последнеее. Достаточно его кому- нибудь из участников Форума опровергнуть и я прекращу дискуссию. Пока никто не опроверг.

AD писал(а):

Возьмем любой прямоугольный треугольник

Если Вы взяли треугольник, то для него немедленно выполняется ТК, но, если Вы берете толко соотношение (1), $(n=2)$ то никакого треугольника нет. Запись $3^2 + 4^2 = 5^2$ означает одно - треугольника со сторонам $3^2, 4^2, 5^2$ не существуе. Одно и то же уравнение не может отражать два различных состояния одной и той же геометрической фигуры. Чтобы обратить математиков на этот факт, я внес незначительнвю поправку в доказательство (с. 4). На соотношение (5) надо смотреть именно с этих позиций.

[AD]

Yarkin писал(а):

Это последнеее. Достаточно его кому- нибудь из участников Форума опровергнуть и я прекращу дискуссию. Пока никто не опроверг.

А, то есть вы это не умеете доказывать? Это гипотеза? Так бы сразу и сказали.

Yarkin писал(а):

Запись $3^2 + 4^2 = 5^2$ означает одно - треугольника со сторонам $3^2, 4^2, 5^2$ не существуе.

Это неверно. Запись $3^2 + 4^2 = 5^2$ (помимо указанного вами утверждения) еще означает, что, например, $3^2 + 4^2 = 5^2$.

Yarkin писал(а):

Одно и то же уравнение не может отражать два различных состояния одной и той же геометрической фигуры. Чтобы обратить математиков на этот факт,

Полная бессмыслица.

Итак, еще раз.

Соотношения $0<5<3+4$, $0<4<3+5$ и $0<3<4+5$ означают, что существует (и единственный) треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$. Соотношение $3^2 + 4^2 = 5^2$ означает, что этот треугольник прямоугольный. Соотношения (1), (2) и (3) (в которых $n=1$, и числа $x$, $y$ и $z$ вычисляются по формулам $(*)$) следуют из свойств этого треугольника.