Yarkin писал(а):
Someone писал(а):
Во всех этих случаях теорема косинусов выполняется.
Как может выполняться ТК, если один угол равен
?
Самым обычным образом:

и так далее.
Yarkin писал(а):
Someone писал(а):
Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме.
Сходил в восьмой класс. Нигде теорему косинусов не формулируют в виде соотношения (1)
А я Вас туда не за теоремой косинусов посылал. Вам надо было посмотреть, что
1) если

,

,

, то существует (невырожденный) треугольник

, у которого длины сторон равны

,

,

; доказательстово конструктивное: требуемый треугольник строится циркулем и линейкой;
2) в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы;
3) если три стороны одного треугольника равны, соответственно, трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Из этого следует, что
а) для существования треугольника ничего о его углах предполагать не требуется, достаточно, чтобы стороны удовлетворяли трём перечисленным неравенствам;
б) задав три стороны треугольника, мы не можем уже ничего дополнительно потребовать от его углов, поскольку величины углов треугольника однозначно определяются его сторонами; в частности, мы не имеем права требовать, чтобы выполнялись какие-нибудь неравенства типа

: если

, то это и без нас будет выполняться, а если

, то получим противоречие, причём, не из-за того, что треугольник не существует, а из-за собсивенной глупости.
Что касается теоремы косинусов, то её для гипотенузы прямоугольного треугольника, разумеется, не записывают в виде равенства

(в виде этого равенства записывают теорему Пифагора), её записывают в виде равенства

, откуда видно, в частности, что теорема Пифагора - это очень специальный частный случай теоремы косинусов.
Yarkin писал(а):
Но, с точки зрения логики - здесь не все в порядке, ибо соотношение (1) и соотношения (2) описывают два различных состояния треугольника.
Что такое "состояние треугольника"?