Система отсчета и математический формализм

[_Z_]

Plotnik в сообщении #1067392 писал(а):

Вспоминается тема "Путаница в понимании понятия время", закрытая с формулировкой "как исчерпавшая себя". Заяц и линейка на п.-в. диаграммах тогда не разрешили для меня этой путаницы. Да и физический смысл одновременности среди участников тогда согласия не нашёл.

Я бы советовал вам добить эту тему с зайцем и линейками. Вполне все хорошо было объяснено. Позволяет понять суть СТО без формул. Да, точный расчет вы не сделаете, но понять "как, что и почему" вполне хватает.

[Munin]

На ту тему хорошо бы дать ссылку: «Путаница в понимании понятия время»

Поскольку Lukum, kovip и xinef забанены, можно попробовать снова поговорить про недоразобранную задачу. Только рекомендуется:
- в разделе "ПРР";
- работать самому, с расчётами и учебниками, а не только топтаться на форуме.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #1067271 писал(а):

Известная формула для метрики трёхмерия - это и есть моя формула для поперечного среза:

1) Нет, это не Ваша формула для "поперечного среза", а известная формула для метрики трёхмерия. То, что Вы попытались натянуть её на тетрады, не делает её Вашей.

SergeyGubanov в сообщении #1067271 писал(а):

epros, известную формулу для метрики трёхмерия ... можно интегрировать только по поперечному срезу (уравнение (2)), а не где Вам вздумается.

2) И полученную из неё $dl$ можно интегрировать именно "где нам вздумается". Следите за руками: Записываем

$$dl=\sqrt{\left(\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}-g_{\alpha\beta}\right)dx^{\alpha}dx^{\beta}},$$

где индексы $\alpha$ и $\beta$ -- пространственные, т.е. координату $x^0$ не трогаем. Далее выбираем совершенно любую гиперповерхность $S$ и на ней -- совершенно любую линию $L$. А далее берём и интегрируем это $dl$ по этой $L$. И кто же нам это запретит?

3) А вот по "поперечному срезу" её как раз интегрировать нельзя, ибо никакого "поперечного среза" в Вашем смысле не существует. О чём Вам manul91 недавно сказал (в который раз уже).

[manul91]

epros в сообщении #1067530 писал(а):

2) И полученную из неё $dl$ можно интегрировать именно "где нам вздумается". Следите за руками: Записываем

$$dl=\sqrt{\left(\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}-g_{\alpha\beta}\right)dx^{\alpha}dx^{\beta}},$$

где индексы $\alpha$ и $\beta$ -- пространственные, т.е. координату $x^0$ не трогаем. Далее выбираем совершенно любую гиперповерхность $S$ и на ней -- совершенно любую линию $L$. А далее берём и интегрируем это $dl$ по этой $L$. И кто же нам это запретит?

В связи с непониманием участников (которые вроде бы должны понимать о чем речь) - тут наверное хорошо уточнить, что для использования выражения для $dl$ именно в виде выше, $x^\alpha$ и $g_{ik}$ должны представлять любую систему координат в которую частицы тела координатно покоятся на $x^\alpha$ ("связанную" с частиц).
Иначе нужно преобразовывать выражение для $dl$ соответно.
Если этого не делать, то $dl$ не будет иметь смысла "элемента собственной длины", а просто "элемента длины" (т.е. будет включен и эффект локально-лоренцевского сокращения).

[Plotnik]

Munin в сообщении #1067416 писал(а):

... Только рекомендуется:
- в разделе "ПРР";
- работать самому, с расчётами и учебниками, а не только топтаться на форуме.

Так и сделаю, когда созрею. Спасибо участникам за терпеливые объяснения, извините, что "намусорил" здесь наивными вопросами и соображениями.

[schekn]

epros в сообщении #1066801 писал(а):

schekn в сообщении #1066774 писал(а):

У Новикова вообще бред про смену координат внутри сферы Шварцшильда.

(Оффтоп)

Вот здесь критика мнения Новикова и Чернина-Фролова по вопросу , что координаты $r$ и $t$ меняются местами под горизонтом, начиная с 5 - ой страницы. Я в общих чертах проверил.
http://www.mathnet.ru/links/8e0c1446f65 ... mf6781.pdf

profrotter: По ссылке статья из ТМФ, 2012, том 170, номер 3, страницы 489–496 А. А. Логунов, М. А. Мествиришвили "Принцип причинности Гильберта и уравнения общей теории относительности исключают возможность образования черных дыр", Институт физики высоких энергий, Протвино, Московская обл., Россия.
Аннотация: Доказано, что принцип причинности Гильберта и уравнения общей теории относительности исключают возможность образования черной дыры.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса: Не оформлена ссылка.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

III. Дополнения и разъяснения; нормы поведения на форуме
5. Внешние ссылки
5.0. Внешние ссылки должны содержательным образом дополнять обсуждения, проводимые на страницах форума, а не подменять их; тем более ссылки не должны являться самоцелью.
5.1. По возможности следует избегать использования внешних ссылок, а включать всю необходимую информацию в текст сообщений. Безусловно запрещены (без явного согласования с администрацией) ссылки рекламного характера, в том числе реклама себя и своих достижений. Не допускаются ссылки, не относящиеся к обсуждаемому вопросу.
5.2. Любая внешняя ссылка должна быть снабжена достаточно подробной аннотацией того, куда она ведет и каким образом относится к вопросу. Описание должно быть достаточным для того, чтобы читатели могли принять решение, стоит ли им переходить по данной ссылке.

Оформите внешнюю ссылку в соответствии с правилами форума и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено. Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»
Причина переноса: вернул.

[Someone]

schekn в сообщении #1067802 писал(а):

Вот здесь критика мнения Новикова и Чернина-Фролова по вопросу , что координаты $r$ и $t$ меняются местами под горизонтом

То, что шварцшильдовская координата $r$ вне горизонта является пространственноподобной, а внутри — времениподобной, в то время как координата $t$, напротив, вне горизонта является времениподобной, а внутри — пространственноподобной, проверяется непосредственно, стоит только взглянуть на решение в этих координатах. Фраза "меняются местами" является не более чем художественным образом и её смысл сводится к указанному факту, который, таким образом, никаким "мнением" не является.

Каким образом можно, "начиная с 5-ой страницы", критиковать факт, я не понимаю. Мнение можно было бы критиковать, но факт…

Посмотрел статью. Критика глупая. А почему они захотели проверять условия Гильберта именно в координатах Шварцшильда, а не, допустим, в координатах Крускала — Шекереса? В этих координатах и условия Гильберта выполняются, и коллапс не останавливается…

[schekn]

Someone в сообщении #1067980 писал(а):

А почему они захотели проверять условия Гильберта именно в координатах Шварцшильда, а не, допустим, в координатах Крускала — Шекереса? В этих координатах и условия Гильберта выполняются, и коллапс не останавливается…

То, что при замене координат $r$ и $t$ в метрике Шварцшильда новая метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна не вызывает сомнения. Я лишь хотел подчеркнуть, что не всякая метрика , удовлетворяющая данным уравнениям имеет физический смысл, но это я уже не раз повторял. Вам не нравится эта фраза, ну что ж делать.
А не странно , что закон сохранения заряда и нуклонов в координатах Шварцшильда не выполняется, в координатах Крускала — Шекереса неожиданно будет выполняться ( сам не проверял)?

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1067301 писал(а):

Но, как вам уже сказали - в частном случае СО вращающегося обода/карусели - никакого "поперечного среза" в вашем узком смысле (везде ортогональном мировым траекториям частиц карусели) не существует.

В данном случае не существует гиперповерхности (поперечный срез - не гиперповерхность). Поперечный срез существует в любом случае.

Объясняю подробно.

Система отсчёта характеризуется полем четырёхскоростей $u^{\mu}(x)$. Полю четырёхскоростей $u^{\mu}(x)$ соответствует конгруэнция мировых линий $x^{\mu}(s)$, каждая из которых удовлетворяет уравнению:

$$ {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = u^{\mu}. \eqno(1) $$

Поперечный срез состоит из множества пространственно подобных линий $x^{\mu}(\ell)$, каждая из которых удовлетворяет уравнению:

$$ u_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0. \eqno(2) $$

Линии (1) и (2) трансверсальны друг другу. Уравнения (1) и (2) имеют решения в любом случае.

Для любой конгруэнции времениподобных линий (1) существует множество пространственно подобных линий (2), то есть поперечный срез существует в любом случае.

Иногда линии (2) образуют двумерные поверхности $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2)$:

$$ u_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell^1} = 0, \quad u_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell^2} = 0. \eqno(3) $$

Очень редко линии (2) образуют трёхмерные гиперповерхности $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$:

$$ u_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell^1} = 0, \quad u_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell^2} = 0, \quad u_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{\partial \ell^3} = 0. \eqno(4) $$

Поперечный срез в форме линий (2) существует в любом случае, в форме двумерных поверхностей (3) существует иногда, а в форме трёхмерной гиперповерхности (4) существует совсем редко.

Если уравнение (4) имеет решения, то говорят слова "интегрируемый случай", в противном случае - "неинегрируемый".

VladTK в сообщении #1067323 писал(а):

Очень интересно. Скажите Сергей, а какой физический смысл заключается в тензоре $\Pi^{\mu \nu}$ ? Например рассмотрим систему отсчета, связанную со свободно падающим наблюдателем в Шварцшильдовом пространстве-времени (Леметровская СО, формула (102.3) из ЛЛ-2). Какой вид принимает Ваш тензор в этом случае?

Физический смысл не известен. Математически это (с точностью до множителя) проектор на направления трансверсальные четырёхускорению. И, кстати, симпатичнее его записывать в смешанных компонентах:

$$ \Pi^{\mu}_{\nu} = \frac{c^4}{8 \pi k} \left( w^{\mu} w_{\nu} - \left( w^{\lambda} w_{\lambda} \right) \delta^{\mu}_{\nu} \right), \quad w^{\mu} = u^{\lambda} \nabla_{\lambda} u^{\mu}. \eqno(5) $$

Для свободно падающей системы отсчёта по определению имеем нулевое четырёхускорение $w^{\mu} = 0$ и, соответственно, нулевой тензор $\Pi^{\mu}_{\nu}$.

В пространстве Шварцшильда для неподвижной системы отсчёта имеем:

$$ u^{\mu} = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{2 k M}{c^2 r} }} \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}. \eqno(6) $$

$$ w^{\mu} = \frac{k M}{c^2 r^2} \left\{ 0, 1, 0, 0 \right\}, \quad w^{\lambda} w_{\lambda} = - \frac{g^2}{c^4}, \quad g = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{2 k M}{c^2 r} }} \frac{k M}{r^2}. \eqno(7) $$

$$ \Pi^{\mu}_{\nu} = \frac{g^2}{8 \pi k} \left\{ \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}, \left\{ 0, 0, 0, 0 \right\}, \left\{ 0, 0, 1, 0 \right\}, \left\{ 0, 0, 0, 1 \right\} \right\}. \eqno(8) $$

Munin в сообщении #1067393 писал(а):

Вопрос не в физическом смысле, а в том, что человек просто абсолютно не знает определения слова "тензор". Его впору спрашивать, а тензор ли $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}.$

Munin, объясните является ли тензором тетрадная связность ${{\omega_{\mu}}^{(a)}}_{(b)}$? Не говорите, что Вам лень отвечать, дела там другие и всё такое. Вопрос пустяковый. Просто ответьте.

epros в сообщении #1067530 писал(а):

Следите за руками: Записываем

$$dl=\sqrt{\left(\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}-g_{\alpha\beta}\right)dx^{\alpha}dx^{\beta}},$$

где индексы $\alpha$ и $\beta$ -- пространственные, т.е. координату $x^0$ не трогаем. Далее выбираем совершенно любую гиперповерхность $S$ и на ней -- совершенно любую линию $L$.

Гиперповерхность Вы уже выбрали:

$$ x^{0} = \operatorname{const}. \eqno(9) $$

Она является поперечным срезом конгруэнции мировых линий $x^{\mu}(s)$:

$$ {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = u^{\mu}, \quad u_{\mu} = \frac{ g_{0 \mu} }{ \sqrt{g_{00}} }. \eqno(10) $$

Эта Ваша "совершенно любая" линия $L$ располагается внутри поперечного среза (9). О чём я и говорил.

[Someone]

schekn в сообщении #1067986 писал(а):

А не странно , что закон сохранения заряда и нуклонов в координатах Шварцшильда не выполняется

Не странно. Внешняя и внутренняя карты у Шварцшильда между собой никак не связаны, так что какой там может быть закон сохранения…

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1067992 писал(а):

В данном случае не существует гиперповерхности (поперечный срез - не гиперповерхность). Поперечный срез существует в любом случае.

SergeyGubanov, вы сами себе мозги пудрите?
"Срезом" называют границу которая разделяет многообразие (в нашем случае - 4-трубку тела в 4d) на две топологически несвязанные части - пар точек принадлежащих разных частей, нельзя связать линией без пересечения границы.
Ваша бесконечная винтовуха этому критерию не удовлетворяет - любые две точки якобы "срезанного", по-прежнему можно соединить линией не пересекая границу.

Прочие утверждения - вроде того что ненулевой тензор якобы можно обратить в нулевым и наоборот, путем преобразования координат - нечего и коментировать, они говорят сами по себе.

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1068057 писал(а):

Прочие утверждения - вроде того что ненулевой тензор якобы можно обратить в нулевым и наоборот, путем преобразования координат - нечего и коментировать, они говорят сами по себе.

Это ложь.

Уже вторая. В первый раз manul91 солгал там:

SergeyGubanov в сообщении #1060460 писал(а):

manul91 в сообщении #1060266 писал(а):

(см. "определение" SergeyGubanov, в котором интегральная "сумма" зависит от порядка суммирования)

Это ложь.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1068123 писал(а):

Это ложь.

Ну почему? Вполне в духе ваших подвигов. Я попрошу у manul91 более точную ссылку, но пока не вижу причин не верить.