Использование кривизны для поиска асимптот

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1038079 писал(а):

Всё же тут ошибка в знаке.

Разве я не писал здесь где-то ранее, что кривизна, если мы уж определяем её со знаком, определена с точностью до знака (вся целиком, разумеется, а не каждое из значений)? При этом ведь не важно, стоит там минус перед дробью или нет.

Пускай у нас есть несамопересекающаяся гладкая (для удобства) кривая с натуральной параметризацией $\gamma\colon D\to X$, где $D$ — интервал/отрезок/полуинтервал/$\mathbb R$ и выбран так, чтобы $\gamma$ была обратима ($X = \mathbb R^n$ сгодится, а более общее описание требуемой структуры на $X$, думаю, вы и сам и не хотите сейчас). Точно определён в данной точке [не единичный] вектор нормали к кривой (не знаю, есть ли у него особенное имя) $\mathbf n_\kappa = \gamma''\circ\gamma^{-1}$. Так определённый, он будет показывать в одну и ту же сторону независимо от параметризации. Если мы возьмём за кривизну $\|\mathbf n_\kappa\|$, мы теряем знаки совсем. Если мы не хотим их терять и умножаем это на ориентацию пары векторов $(\mathbf n_\kappa,\gamma'\circ\gamma^{-1})$, мы получаем зависимость от «направления» параметризации, так что кривизной данной кривой должна считаться и оная с обратным знаком. Более естественным в этом случае является $\mathbf n_\kappa$. Надеюсь, теперь ситуация стала ясна окончательно.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038168 писал(а):

Shtorm в сообщении #1038079 писал(а):

Всё же тут ошибка в знаке.

Нет тут ошибки в знаке.

Очень интересно! Я вот прям процитирую:

AKM в сообщении #266626 писал(а):

Пока замечу, что Вы потеряли знак минус в $y'$.
Также доложу, посмотрев справочник, что наша цель --- получить формулу

$$ k=\dfrac{ -{F'_y}^2 F''_{xx}+2 {F'_x} {F'_y} F''_{xy} -{F'_x}^2 F''_{yy} }{({F'_x}^2+{F'_y}^2)^{3/2}}$$

Также важно вот это:

AKM в сообщении #266626 писал(а):

meduza в сообщении #265266 писал(а):

Примени правило дифференцирования неявной функции $y'_x=\dfrac {F'_x(x,y)} {F'_y(x,y)}$.

Мне кажется, здесь ошибка (упомянутый минус).

Почему важно, потому что именно от этого пропущенного знака "минус" в итоге и зависит знак числителя в формуле кривизны, если конечно не брать по модулю.
Видя такое противоречие, я не поленился и сам вывел эту формулу. Поэтому ещё раз: в этом сообщении я написал всё правильно.
Теперь далее, если посмотреть на формулу кривизны для функции заданной явно $y=f(x)$:

$$K=\dfrac{y''}{\left(1+(y')^2\right)^\frac{3}{2}}$$

То видно, что знак кривизны зависит от второй производной. Как известно: если вторая производная отрицательна, то кривая выпукла вверх (вогнута вниз), если вторая производная положительна, то кривая выпукла вниз (вогнута вверх). (Слова "на интервале" я опускаю, думаю и так понятно). Если использовать знак для кривизны, то именно так - аналогично выпуклости и вогнутости.
Теперь далее, я проверил как такой вышеизложенный подход со знаком срабатывает для формулы кривизны кривой заданной неявно. Взял для простоты $y-\sin(x)=0$ соответственно $f(x,y)=y-\sin(x)$. Применил формулу для кривизны неявно заданной функции и получил, что на интервале $(-\pi,0)$ кривизна положительна, а на интервале $(0,\pi)$ отрицательна. То есть, всё как и должно быть с точки зрения выпуклости и вогнутости.
Теперь с окружностью. Если брать две явные функции, одна из которых описывает верхнюю часть окружности, а вторая нижнюю, то для каждой такой кривой кривизна получается со своим знаком - всё как и должно быть с выпуклостью и вогнутостью. Если же брать формулу для кривизны кривой, заданной неявно, то знак получается всегда минус, независимо верхняя часть окружности или нижняя.
Подозреваю, что для замкнутых кривых, заданных уравнением $f(x,y)=0$ по этой формуле, всегда будет один и тот же знак. Возможно я ошибаюсь.

-- Сб июл 18, 2015 00:47:28 --

arseniiv в сообщении #1038181 писал(а):

Разве я не писал здесь где-то ранее, что кривизна, если мы уж определяем её со знаком, определена с точностью до знака (вся целиком, разумеется, а не каждое из значений)?

Спасибо за Ваше интереснейшее сообщение, но мне всё же ближе тот подход, который я изложил выше. Или уж тогда брать по модулю - ну это как вариант. Всё равно ведь, кривизна пространственной кривой всегда положительна, как написано в умных книгах. Или опять таки не во всех?

-- Сб июл 18, 2015 00:53:18 --

Вы вот что писали:

arseniiv в сообщении #1037057 писал(а):

Shtorm в сообщении #1037024 писал(а):

и становится понятным, что совершенно справедливо использование знаков "+" и "-" в значениях кривизны

Ну, это понятно и из определения кривизны. Плоская кривая может поворачивать в две разные стороны, с этими поворачиваниями связаны пары векторов разной ориентации.

-- Сб июл 18, 2015 01:02:04 --

Мда... А если бы я взял уравнение $\sin(x)-y=0$ то всё со знаками вышло бы наоборот. Получается, что формула для кривой, заданной неявно действительно не особо сильна в различии знаков...

[arseniiv]

Она и не должна. Я прямым текстом написал, почему кривизна может иметь противоположные знаки.

-- Сб июл 18, 2015 05:09:14 --

(Вы, как будто, мои сообщения просто пропускали. Чем обусловлена такая нелюбовь? Я пойму, обещаю. И просто не буду мешать.)

[Shtorm]

arseniiv, прошу прощение, просто я сразу не всё схватываю. Ну и потом, видите, можно вывести формулу кривизны плоской кривой, заданной явно $y=f(x)$, вообще не используя никаких векторов и тогда, если не использовать модуль в числителе, то знаки кривизны вполне определенно коррелируют с направлением выпуклости. Согласны?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038208 писал(а):

формулу кривизны для функции

Вы необучаемы. "Кривизна функции" Вам не режет слух.

Shtorm в сообщении #1038208 писал(а):

Поэтому ещё раз: в этом сообщении я написал всё правильно.

Поэтому ещё раз: НЕТ, не всё правильно.
Ребятам, которых Вы цитируете --- "наша цель --- получить формулу" --- важны были числитель и знаменатель. Знак им был до лампочки, по причине понимания его несущественности: у неявно заданной кривой не задана ориентация. И они это понимали и не обсуждали это.

Вам уже предлагалось найти кривизну кривой $x^2+y^2-1=0$.
Ежели бы Вы это проделали, Вам было бы предложено найти кривизну кривой $1-x^2-y^2=0$.
Третьим этапом было бы предложено разобраться самостоятельно в случившемся "противоречии".
Здесь бы Вам помогло определение кривизны плоской кривой, к которому Вы пока, насколько я помню, НИ РАЗУ не обращались.

Далее я попытаюсь ответить на последний вопрос arseniiv, хотя и не мне заданный (про нелюблвь). Но пока хочется погулять.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038273 писал(а):

Вы необучаемы. "Кривизна функции" Вам не режет слух.

Прошу прощения, оговорился просто. Осознаю чудовищность данной ошибки..

[Алексей К.]

Можно также посмотреть кривизны графиков функций $y_{1,2}(x)=\pm\sqrt{1-x^2}$, и подумать, почему они вдруг различаются: кривая-то одна --- $x^2+y^2-1=0\;!$

Правила форума запрещают выдавать ответы на тривиальные вопросы, и правило это одинаково и для студента, решающего контрольную, и для преподавателя ВУЗа, готовящегося к лекции. Одинаково, естественно, потому, что статус вопрошающего не может быть определён.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038273 писал(а):

Вам уже предлагалось найти кривизну кривой $x^2+y^2-1=0$.
Ежели бы Вы это проделали, Вам было бы предложено найти кривизну кривой $1-x^2-y^2=0$.
Третьим этапом было бы предложено разобраться самостоятельно в случившемся "противоречии".

Да уже выше проделал с другой неявно заданной кривой и убедился.

-- Сб июл 18, 2015 11:02:35 --

Shtorm в сообщении #1038208 писал(а):

Если же брать формулу для кривизны кривой, заданной неявно, то знак получается всегда минус, независимо верхняя часть окружности или нижняя.

Ну да, а здесь получается знак зависит от того, как написать уравнение $x^2+y^2-R^2=0$ или $R^2-x^2-y^2=0$

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038277 писал(а):

Да уже выше проделал с другой неявно заданной кривой и убедился.

А предлагалось разобраться, а не "убедиться".

Алексей К. в сообщении #1038273 писал(а):

Здесь бы Вам помогло определение кривизны плоской кривой, к которому Вы пока, насколько я помню, НИ РАЗУ не обращались.

[Shtorm]

Алексей К., имеется ввиду $K=\frac{d\varphi}{ds}$ ?

[Алексей К.]

Да.
$k(s)=\dfrac{d\varphi}{ds}$. Я бы, конечно, предпочёл $\dfrac{d\tau}{ds}$, как напоминание о слове $\tau$angent.

-- 18 июл 2015, 12:54:04 --

Величину $\dfrac{\Delta\tau}{\Delta s}$ вполне можно прикинуть с помощью линейки и транспортира, или просто клеточек, и оценить поведение и знаки кривизны в окрестности, например, точки $x=0$ или проблемной точки $x=1$ для всех недавно упомянутых случаев --- $y=y_1(x)$, $y=y_2(x)$, $f(x,y)=0$.

Окружность рекомендуется рисовать покрупнее, типа R=1=10 клеточек.
Школьники имеют дурацкую привычку дико экономить на размерах рисунка.

[Алексей К.]

arseniiv в сообщении #1038250 писал(а):

Вы, как будто, мои сообщения просто пропускали. Чем обусловлена такая нелюбовь? Я пойму, обещаю.

Понять это будет легко.
Это в большой мере относится и ко мне. И, полагаю, объяснения будут небезынтересны и уместны, и я не буду сувать их в оффтопик. Заранее страшно, как это будет длинно и долго, при том что на базар завезли роскошные вишни, и я бы за это время смог бы даже повынимать из них косточки.

Мы со Shtorm'ом учили математику типа по Пискунову. Я --- потому что эта была единственная книга в школьной библиотеке со словами "высшая математика" в заголовке. Школьную математику я к 9-му классу знал всю, и мне было очень интересно, что такое математика "высшая".

Пискунов разговаривает на совершенно другом, старомодном языке. Мне (и, уверен, Shtorm'у) очень трудно читать тексты на современном варианте математического языка. У меня не было никаких компактов, гом[е]оморфизмов, касательных пространств; кванторы только появлялись (помню отвращение от того, как нормальные слова стали повсюду заменять крючочками и позволять себе не ставить запятые).

Возможно, старожилы форума заметили, что я стал гораздо менее болтлив на форуме.
Да, на форуме стало гораздо меньше школьников с простыми тригонометрическими уравнениями (сейчас в моде дизайн и менеджмент, математика на фиг никому не нужна). Студенты же пишут на языке, к которому мне нужен словарь. Ну как бы я легко читаю по-французски, но с большим трудом по-немецки. И они как бы стали писать теперь по-немецки вместо французского. И мне стало трудно читать. Я могу читать по-немецки либо за хорошие деньги, либо от большого интереса к содержанию

(как, например, здесь случилось)

Алексей К. в сообщении #358574 писал(а):

(Vogt W., Über monotongekrümmte Kurven, J. reine und angew. Math., 144, 1914, 239--248, Satz 12

Чтение французского текста мне доставляет неизъяснимое наслаждение, и я сам готов платить деньги слушателям .

Но вот снова появился Shtorm, со своей старой песней, давно запрещённой модераторами (возможно, в надежде, что они сменились ). И он говорит на "языке Пискунова", и я способен его понимать с полуслова, да и пишу всё это наверняка не в первый раз, и моя болтливость временно вернулась.

Это о том, что нас с ТС объединяет. Теперь о различиях. Почему один "пискуновец" как бы всё понимает, а второй --- ничего не понимает. В порядке гипотезы.

Я читал Пискунова в одна тысяча девятьсот семьдесят каком-то году. Тогда не было не только форумов, но и компьютеров. При чтении Пискунова производились всякие действия с бумагой, ручкой, карандашом, линейкой, циркулем итп. Чтобы суть понять.

Shtorm, наверное, читал Пискунова в компьютерную и даже интернентную эпоху. С активным использованием мыши и только мыши. Это привело к другому восприятию и кривизны, и математики вообще.

Нет, терпения на всё не хватит. Следовало бы:
(1) описать "трудности перевода" подробнее, например, с примерами из Вашего, arseniiv, последнего сообщения.
(2) объяснить, почему за столько лет общения на форуме я так и не привык к современным манерам и обозначениям.
Ну, может ещё попишу, если интересно.

arseniiv в сообщении #1038250 писал(а):

Я пойму, обещаю. И просто не буду мешать.

Нет, не надо "не мешать". Это неправильно. Не надо потворствовать моей и Shtorm'а малограмотности и ленивости. В конце концов, мы с ним --- не единственные в теме.

[arseniiv]

Да я, в общем-то, адресовал то исключительно Shtormу, а слова о вашей «малограмотности» очень интересно слышать. (А ленивость и меня касается.)

Алексей К. в сообщении #1038311 писал(а):

описать "трудности перевода" подробнее

Мм, возможно, но вы уже всё, как я вижу сейчас, и так расписали. [P. S. Ага, может, и не всё. Но я лучше распишу только непонятные части.]

Shtorm в сообщении #1038269 писал(а):

Ну и потом, видите, можно вывести формулу кривизны плоской кривой, заданной явно $y=f(x)$

Что значит «вывести»? У кривизны есть вполне человеческое геометрическое определение (приведённое Алексей К. совсем недавно — хотя, наверно, оно могло быть здесь уже во второй или третий раз). От него до графика функции дольше шагать, чем до параметрически заданной кривой.

Shtorm в сообщении #1038269 писал(а):

просто я сразу не всё схватываю

Так спрашивали бы непонятное. Вот теперь у вас есть определение, и вы можете попытаться вывести из него те формулы, которые упоминали.

[Алексей К.]

Выводить ничего не надо. Имеются готовые формулы, полученные, возможно, с какими-то оговорками.
Например, известная формула для кривизны кривой $r(\varphi)$ вывдена в молчаливом (естественном, и потому вряд ли где-то оговоренном) предположении, что движение по кривой осуществляется в сторону увеличения $\varphi$ (против часовой стрелки).

Обнаружив какие-то несоответствия, для их разрешения следует обратиться к оригинальному определению, которого во всех случаях должно быть достаточно для качественной оценки и, если припрёт, для приблизительной количественной оценки. Так, в полярном случае результатом думания может оказаться вывод "Ой, а я-то раскручиваю её по часовой стрелке". Но это не по делу, чисто к примеру.

-- 18 июл 2015, 17:04:49 --

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1038181 писал(а):

Пускай у нас есть несамопересекающаяся гладкая (для удобства) кривая с натуральной параметризацией $\gamma\colon D\to X$, где $D$ — интервал/отрезок/полуинтервал/$\mathbb R$ и выбран так, чтобы $\gamma$ была обратима ($X = \mathbb R^n$ сгодится, а более общее описание требуемой структуры на $X$, думаю, вы и сам и не хотите сейчас). Точно определён в данной точке [не единичный] вектор нормали к кривой (не знаю, есть ли у него особенное имя) $\mathbf n_\kappa = \gamma''\circ\gamma^{-1}$. Так определённый, он будет показывать в одну и ту же сторону независимо от параметризации.Надеюсь, теперь ситуация стала ясна окончательно.

Вот как я читаю это сообщение.
--- "... кривая с натуральной параметризацией $\gamma\colon D\to X$, где ...". Так... переводим на французский. Куда пойдут эти буквы в привычной нотации? $\gamma$, скорее всего будем именем функции. Т.е. речь об $r=\gamma(s)$, где $r\in \mathbb R^n$. К R^n я уже привык, воспринимаю его с листа. Моё r в левой части должно быть жирным и/или со стрелочкой. Для его написания мне тоже надо лезть в словарь по Латеху; я знаю, что оно там есть, но запомнить не могу, т.к. никогда почти не пишу векторных текстов. И лень, конечно, срабатывает.

Такую запись функции, $\gamma\colon D\to X$, я тыщу раз видел на форуме, но от этого она не стала родной. Чтобы породниться с ней, надо десять раз самому вместо привычного $y=f(x)$ написать это заклинание с двоеточием и стрелочкой. Мне лень и как бы ни к чему. Да некогда: или огурцы ждут посола, или пол не мытый, или JPEG2000 сломался... А французские глаголы я в своё время не поленился проспрягать письменно, и много раз.

--- "... чтобы $\gamma$ была обратима..." Зачем ему это? (думаю... думаю...) А, понял, --- речь об отсутствии самопересечений. Ну да, раньше он употребил это слово... Якобы "для удобства". Какого удобства? Кому оно мешает, самопересечение? Никаких проблем с лемнискатой не возникает... Нет, вспомнил --- возникнет у этих алгебраических геометров, там это "особая точка", ${F'_x}^2+{F'_y}^2=0$. А так --- нормальная точка, если параметрически мыслить. Впрочем, даже если параметрически, то ставить в этой точке табуреточку опасно --- забудешь куда идти после перекура.

"... более общее описание требуемой структуры на $X$..." Какая структура, какое описание? Нет, даже не буду пытаться понять!

"$\mathbf n_\kappa = \gamma''\circ\gamma^{-1}$" И это не буду думать и пытаться понять. Лень. Как бы нет нужды. За деньги, наверное, разобрался бы. И даже запомнил бы. А если сейчас кто-то объяснит --- завтра забуду. Так что не стоит объяснять.

Где-то раньше фигурировало декартово произведение. Я помню, что это такое. Но сам я этих слов никогда не произносил и при чтении тоже вынужден делать прерывание и чесать репу. Но незачем --- у меня уже давно нет непоняток с кривизной плоской кривой. В 3D стараюсь не ходить.

Когда люди отвечают на мои вопросы на форуме (а это бывает крайне редко), я старательно разбираюсь со всеми непонятками в нотации и языке, и даже с "многообразием" и "компактом". Ваши, arseniiv, ответы топикстартеру я только пробегаю глазами.

Если у меня будет возможность поучить другой язык, то всё равно я выберу не математический, а испанский. Потому что на форум мне просто хочется, а в Чили мне очень хочется.

arseniiv в сообщении #1038181 писал(а):

Надеюсь, теперь ситуация стала ясна окончательно.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1038298 писал(а):

Да.
$k(s)=\dfrac{d\varphi}{ds}$. Я бы, конечно, предпочёл $\dfrac{d\tau}{ds}$, как напоминание о слове $\tau$angent.

Величину $\dfrac{\Delta\tau}{\Delta s}$ вполне можно прикинуть с помощью линейки и транспортира, или просто клеточек, и оценить поведение и знаки кривизны в окрестности, например, точки $x=0$ или проблемной точки $x=1$ для всех недавно упомянутых случаев --- $y=y_1(x)$, $y=y_2(x)$, $f(x,y)=0$.

Итак, моя задача доказать, с помощью выше данного определения кривизны плоской кривой, что кривизна кривой, выпуклой вверх на каком-то интервале будет отрицательной, а кривизна кривой, выпуклой вниз на каком-то интервале, будет положительной. Это при условии, что мы не используем модуль в формуле кривизны. (Вышеупомянутую точку $x=1$ пока не беру, так как она не попадает внутрь интервала выпуклости и вогнутости). Предположим, что кривая идёт вверх и выпукла вверх в первом квадранте (ну как например $y=\sin(x)$ на интервале $(0,\frac{\pi}{2})$). Тогда при движении вдоль кривой, касательная поворачивается по часовой стрелке, то есть угол $\varphi$ уменьшается и следовательно, его приращение отрицательно, $\Delta\varphi<0$ при этом приращение длины дуги положительно $\Delta s>0$, следовательно

$$k(s)=\dfrac{d\varphi}{ds}<0$$

Теперь кривая в первом квадранте идёт вниз и выпукла вверх (например $y=\sin(x)$ на интервале $(\frac{\pi}{2},\pi)$), тогда касательная при движении вдоль кривой поворачивается против часовой стрелки и следовательно $\Delta\varphi<0$, а $\Delta s>0$, следовательно

$$k(s)=\dfrac{d\varphi}{ds}<0$$

Таким образом, доказали, что если кривая выпукла вверх на интервале, то ее кривизна отрицательна. Действуя аналогично, можно доказать, что когда кривая выпукла вниз, то кривизна будет положительна.
При движении вдоль верхней части окружности, заданной уравнением $x^2+y^2=R^2$ от точки c координатами $(0,R)$ до точки с координатами $(-R,0)$ приращение угла всегда положительно, а приращение длины дуги всегда отрицательно, поэтому кривизна получается отрицательной, как и должно быть. При движении дальше вдоль нижней части окружности кривизна получается положительной. Таким образом на интервале $(-R,R)$ кривая $y(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ выпукла вверх и имеет отрицательную кривизну, а кривая $y(x)=-\sqrt{R^2-x^2}$ выпукла вниз и имеет положительную кривизну. Всё верно?

-- Сб июл 18, 2015 23:19:12 --

Алексей К. в сообщении #1038311 писал(а):

Мне (и, уверен, Shtorm'у) очень трудно читать тексты на современном варианте математического языка.

Ваша правда. Но будем учиться.

-- Сб июл 18, 2015 23:26:51 --

Алексей К. в сообщении #1038311 писал(а):

Но вот снова появился Shtorm, со своей старой песней, давно запрещённой модераторами (возможно, в надежде, что они сменились ).

(Оффтоп)

Песня не старая, а новая. Хотя и понятия родственные. А что касается старой запретной песни, то уважая постановление модераторов, я свято блюду сей запрет и темы с запретным термином не поднимаю. Зато, недавно обнаружил использование того запретного термина на образовательном портале в таком хорошем добротном учебном материале по функции нескольких переменных. А также обнаружил использование запретного термина в двух статьях по физике. Причём там использовалось такое определение, за которое тут меня критиковали. Так что не зря мы в той запретной теме старались. Истина всегда пробьётся к свету.

-- Сб июл 18, 2015 23:28:46 --

Алексей К. в сообщении #1038311 писал(а):

Нет, не надо "не мешать". Это неправильно. Не надо потворствовать моей и Shtorm'а малограмотности и ленивости. В конце концов, мы с ним --- не единственные в теме.

Совершенно с Вами согласен.

-- Сб июл 18, 2015 23:37:01 --

arseniiv в сообщении #1038328 писал(а):

Shtorm в сообщении #1038269 писал(а):

Ну и потом, видите, можно вывести формулу кривизны плоской кривой, заданной явно $y=f(x)$

Что значит «вывести»? У кривизны есть вполне человеческое геометрическое определение (приведённое Алексей К. совсем недавно — хотя, наверно, оно могло быть здесь уже во второй или третий раз). От него до графика функции дольше шагать, чем до параметрически заданной кривой.

Так, давайте по шагам. Вот фрагмент вывода формулы:

Shtorm в сообщении #1036922 писал(а):

$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2}dx$. Тогда

$$K=\frac{d\varphi}{ds}=\frac{d\varphi}{\sqrt{1+(y')^2}dx}=\frac{\frac{d\varphi}{dx}}{\sqrt{1+(y')^2}}$$

В этой формуле используются вектора? Ни при выводе, ни в окончательном ответе их нет. Не используется также направление параметризации.
Так в чём же ко мне претензии?