Использование кривизны для поиска асимптот

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1037756 писал(а):

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

аргумент функции испытывает приращение $\Delta x$, то значение функции испытывает при этом два разных приращения $\Delta y$ -

Мне такие функции неизвестны. Про многозначные я не умею разговаривать, всегда обходился без них, правильных слов не знаю.

Ну Вы хотя бы согласны, что при нахождении первой производной от функции заданной неявно $x^2+y^2-R^2=0$ в точке $x=\frac{R}{2}$ получится два разных ответа? Или не согласны?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

ибо на одном участке кривой значение функции возрастает, а на другом убывает

О какой кривой, о какой функции (на кривой?) идёт речь. Значение упомянутой в том сообщении функции $f(x,y)$ на упомянутой в том сообщении кривой $f(x,y)=0$ есть тождественный нуль.

-- 16 июл 2015, 18:38:04 --

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

Эта формула верна?

Похожа на правду (Корна под боком нет), и размерности рулят.

[Shtorm]

Алексей К., иногда же пишут, что функция $y(x)$ задана неявно уравнением $f(x,y)=0$. Я из этого исхожу.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037762 писал(а):

Ну Вы хотя бы согласны, что при нахождении первой производной от функции заданной неявно $x^2+y^2-R^2=0$ в точке $x=\frac{R}{2}$ получится два разных ответа? Или не согласны?

Я легко соглашусь с тем, что уравнение $x^2+y^2-R^2=0$ задаёт две функции $y(x)$, и не мудрено, что у них довольно часто случаются разные значения производной при одном и том же значении $x$.

[demolishka]

Shtorm в сообщении #1037762 писал(а):

Алексей К. в сообщении #1037756 писал(а):

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

аргумент функции испытывает приращение $\Delta x$, то значение функции испытывает при этом два разных приращения $\Delta y$ -

Мне такие функции неизвестны. Про многозначные я не умею разговаривать, всегда обходился без них, правильных слов не знаю.

Ну Вы хотя бы согласны, что при нахождении первой производной от функции заданной неявно $x^2+y^2-R^2=0$ в точке $x=\frac{R}{2}$ получится два разных ответа? Или не согласны?

Не получится, потому что в любой окрестности точки $x=\frac{R}{2}$ уравнение $x^2+y^2-R^2=0$ неявную функцию $y=f(x)$ не задает. И ни о каких "производных по $x$" говорить нельзя. Зато оно задает функцию $x=g(y)$ и можно говорить о "производной по $y$".

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037767 писал(а):

иногда же пишут, что функция $y(x)$ задана неявно уравнением $f(x,y)=0$. Я из этого исхожу.

Вот и Вы так напишите. И не будет непоняток. А Вы так не пишете:

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

если аргумент функции
КАКОЙ? перед глазами --- функция f(x,y)
испытывает приращение $\Delta x$, то значение функции испытывает при этом два разных приращен

[ewert]

Shtorm в сообщении #1037767 писал(а):

иногда же пишут, что функция $y(x)$ задана неявно уравнением $f(x,y)=0$.

, и тогда всегда оговаривают, что какая-то там частная производная исходной функции не обращается в ноль (я никогда не помню, какая из двух, мне всегда студенты подсказывают, а я уж слежу, чтоб подсказывали правильно).

[Shtorm]

Ага, ясно. Значит тут все участники - против многозначности вещественнозначных функций. Ну или не все против, но понятие многозначности никак не относится к функции заданной неявно. Так?
Короче, ни в коем случае нельзя использовать понятие многозначности для функции заданной неявно....Речь только о вещественнозначных...

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037767 писал(а):

Алексей К., иногда же пишут, что функция $y(x)$ задана неявно уравнением $f(x,y)=0$. Я из этого исхожу.

Эта фраза не утверждает, что такая функция единственна. Для контекста этой фразы безразлично, какую из таких функций данный контекст собирается далее жевать.

[Shtorm]

Всё понял, исправлюсь.

[ewert]

Shtorm в сообщении #1037773 писал(а):

тут все участники - против многозначности вещественнозначных функций. Ну или не все против, но понятие многозначности никак не относится к функции заданной неявно. Так?

Так. Потому что это понятие в общем случае практически бесполезно (слишком много и притом никак не контролируемых вариантов).

Полезно оно лишь тогда, когда допускает жёсткую формализацию. Скажем, как оно есть в ТФКП. А в вещественном случае -- практически бесполезно, увы.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037773 писал(а):

Короче, ни в коем случае нельзя использовать понятие многозначности для функции заданной неявно..

Конечно, можно использовать.
Но Вам и мне --- действительно нельзя.
Я это понимаю, и поэтому не использую.
Вы этого не понимаете, и поэтому используете. Орудуете цитатами, не понимая сути. Соответственно находите "сути" и "интриги" там, где их близко не валялос ь.

[Shtorm]

Надо тогда этот вопрос добить до конца здесь и сейчас, чтобы разорвать порочную практику в дальнейшем:
В учебнике читаем определение: функция называется многозначной, если одному и тому же аргументу $x$, соответствует несколько значений $y$. Итак - как с этим быть? Использовать это только для комплексных функций?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

И вот ещё какой технический вопрос возникает: любую ли кривую, заданную уравнением $f(x,y)=0$, можно параметризовать?

Да.
Достаточно пробежаться вдоль неё с секундомером. Для получения регулярной параметризации следует выключать секундомер на перекурах и водопоях.

Но ответ на вопрос, который Вы на самом деле хотели задать (типа чтоб в элементарных функциях) --- нет.

[ewert]

Shtorm в сообщении #1037782 писал(а):

Итак - как с этим быть?

Не читать. Т.е. читать только в том случае, когда за этим следует хоть что-то содержательное.

В курсах вещественного анализа подобных фраз или не встречается, или они уходят в свисток (последнего, правда, не припоминаю).