Помогите найти кривизну

[T-Mac]

есть идея по поводу нахождения второй производной:
$y''_x= (y'_x)'=(\frac{(F_x(x,y))'}{(F_y(x,y))'})'_x=\frac{(\frac{(F_x(x,y))'}{(F_y(x,y))'})'_x}{(\frac{(F_x(x,y))''}{(F_y(x,y))'})'_y}$
и далее по формуле диференцирования частного....
правильно?

[AKM]

Пока замечу, что Вы потеряли знак минус в $y'$.
Также доложу, посмотрев справочник, что наша цель --- получить формулу

$$ k=\dfrac{ -{F'_y}^2 F''_{xx}+2 {F'_x} {F'_y} F''_{xy} -{F'_x}^2 F''_{yy} }{({F'_x}^2+{F'_y}^2)^{3/2}}$$

Задачка не столько сложная, сколько малость громоздкая.
Как люди получили формулу для $y'_x$? Дифференцированием

$$\dfrac{d F}{d x}=\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial y}y'_x =0 \text{~~(потому что~}F(x,y(x))=0),$$

откуда и находим $y'_x$. Подчеркну, что слева --- полная производная функции $f(x)\equiv F(x,y(x))\equiv 0$, выраженная через частные производные $F'_x,\:F'_y$.
Продолжая в том же духе, т.е. дифференцируя второй раз, можно и вторую производную найти. Если бы у меня на это сейчас хватало бы сил, я бы вышеприведённую формулу ВРЕМЕННО переписал бы так:

$$\underbrace{\dfrac{\partial F}{\partial x}}_{G(x,y)}+\underbrace{\dfrac{\partial F}{\partial y}}_{H(x,y)}}y'_x=0.$$

Потом бы избавился от $G,H$ (типа $G'_x=F''_{xx}$ и проч). Но многие легко обходятся и без этих временных обозначений.

-- Пн ноя 30, 2009 01:18:52 --

Цитата:

есть идея по поводу нахождения второй производной:
$y''_{xx}= (y'_x)'=\left[{\color{red}{}-{}}}\dfrac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}\right]'_x$
и далее по формуле диференцирования частного....
правильно?

тоже правильно, только я Вашу идею малость поправил и укоротил. Та супер-дробь ни к чему. (А $G,H$ и здесь могут помочь.)

-- Пн ноя 30, 2009 01:42:31 --

meduza в сообщении #265266 писал(а):

Примени правило дифференцирования неявной функции $y'_x=\dfrac {F'_x(x,y)} {F'_y(x,y)}$.

Мне кажется, здесь ошибка (упомянутый минус).

[meduza]

AKM в сообщении #266626 писал(а):

Мне кажется, здесь ошибка (упомянутый минус).

Да. Спасибо за поправку.