Использование кривизны для поиска асимптот

[Otta]

Shtorm в сообщении #1036879 писал(а):

Ну, в Пискунове - это производная от $\arctg(\frac{dy}{dx})$.

Чё ж так долго-то. Считайте длину дуги сразу. Заодно и прояснится и откуда берется, и что с чем складывают - метры с метрами или метры с секундами.

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1036879 писал(а):

Вот тут Вы просто ошибаетесь.

В этом, да, ошибаюсь. Прошу извинить меня за вчерашний тон; занесло -- сам такого не люблю.

Shtorm в сообщении #1036879 писал(а):

Но, как Вы сами и ожидали, эта функция не даёт эффекта опровержения, поскольку примерно после значения аргумента $x=900$ перестаёт осциллировать и плавно спадает к нулю, постепенно выпрямляясь.

А вот здесь Вы ошибаетесь -- я просто переборщил немного, уменьшив частоту колебаний Посмотрите на следующий виток где-то в районе $x=e^{3\pi}$. Всплески, понятно, и дальше будут -- бесконечно, но ещё реже. Уменьшение частоты обеспечивает логарифм под вторым синусом.

Именно у этой функции кривизна будет уменьшаться. Но я хотел дать Вам конструктор таких функций. Вместо первого логарифма под синусом можно попробовать квадратный корень. Вместо $1/x$ взять $1/2^x$. Таким образом Вы можете сколь угодно прореживать первичную волну, сгущая вторичную. Играясь этими параметрами, можно добиться уменьшения частоты в среднем, увеличивая её локально. Ведь Вас это устроило бы?

Shtorm в сообщении #1036879 писал(а):

Но прежде чем что-то допиливать, давайте разберёмся концептуально: какой теоретический аспект говорит нам о том, что должен непременно найтись пример, в котором бы для элементарной функции, частота осцилляций которой не возрастает, и имеющей асимптоту - что кривизна кривой бы не стремилась к нулю на бесконечности?

Очень просто. Среди функций, как правило, действует презумпция -- разрешено всё, что не запрещено. Если удалось построить "хорошую" (а не "дикую") неэлементарную функцию с нужными свойствами руками, вполне естественно ожидать, что среди элементарных такие функции тоже есть. Вот обратное выглядело бы совершенно неестественно.

[grizzly]

Shtorm
Ох, и намудрил я. (Но у меня был в том свой интерес :)
Возьмите кривую, заданную уравнением $f(x)=\frac{(\sin^2 x)^x}x$. В точках $x=\frac \pi 2+2\pi k$ её кривизна стремится к 2 при увеличении $k$.

[Алексей К.]

Я очень любил кривизну. С ней был связан огромный кусок моей жизни. Кривизна выручала меня в "лихие 90-е", когда не было денег на телевизор или нищасный детективчик. Берёшь какую-нибудь кривульку, пытаешься выцарапать из неё натуральное уравнение или ещё что-нибудь --- и не нужен тебе чужой детектив. Только бы не проехать свою станцию в электричке и не укатить куда-нть в Тулу. А с трактрисой окружности и про еду можно было забыть --- столько было в ней открытий чудных!

Я и сейчас люблю кривизну. И меня, видимо, зацепило упоминание её имени всуе, и я влез в тему. В голову не приходило, что это мелкое замечание придётся так раздувать.

Shtorm в сообщении #1036876 писал(а):

он раскроет всю суть по данному вопросу.

Shtorm в сообщении #1036831 писал(а):

Формулы правильные, а размерность не совпадает! Она же должна получиться $\text{м}^{-1}$. Интрига темы!

Конечно, никакой "сути" и "интриги", ничего такого высокопарного в теме нет. ТС в очередной раз допустил безграмотность. На этот раз --- вопиющую. И я не думал, что дело дойдёт до анализа размерностей.
Увидевши выражение типа $1+100\frac{m^2}{s^2}$, любой школьник обязан остановиться и подумать --- что за чушь у меня получилась? В иных случаях, наверное, можно сразу отбросить эти размерности, но только осознанно. Shtorm просто отбросил.

Я попросил сосчитать кривизну графика функции. Неужели не очевидно, что эта кривизна (и РАДИУС кривизны, и раствор циркуля) будет зависеть от того, поместили ли мы график на салфетке в столовой, или на листе ватмана, или на А4? От того, в каком масштабе нарисован график? Вася, рисуя графики, взял 2 клеточки под 1 метр, а Маша не поленилась, склеила несколько листов в один длинный, и взяла честные 2 клеточки под 1 сантиметр. Под секунду Вася взял одну клеточку, а Маша --- две. И получились у них разные графики и совершенно разные "кривизны".

Shtorm, Вы теперь видите, какой ерундой мы всерьёз занимаемся на протяжении нескольких страниц???

Но это ещё не всё, --- меня ведут обедать, допишу, наверное, чуть позже.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1036915 писал(а):

Вася, рисуя графики, взял 2 клеточки под 1 метр, а Маша не поленилась, склеила несколько листов в один длинный, и взяла честные 2 клеточки под 1 сантиметр. Под секунду Вася взял одну клеточку, а Маша --- две. И получились у них разные графики и совершенно разные "кривизны".

Интересно! Когда мы вычисляем кривизну графика функции, которая описывает реальный физический процесс - действительно получается такая неопределённость. А если же находим кривизну кривой, которая описывается уравнением $y=f(x)$, то по стандарту же берём одинаковые масштабы по осям OX и OY и кривизна получается одинаковой, где бы мы кривую не изобразили - на салфетке в столовой или на ватмане с помощью плоттера. Но буду ожидать дальнейшего продолжения Вашей лекции на тему кривизны.

-- Вт июл 14, 2015 15:35:14 --

Otta в сообщении #1036881 писал(а):

Считайте длину дуги сразу. Заодно и прояснится и откуда берется, и что с чем складывают - метры с метрами или метры с секундами.

Имеется ввиду, что $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2}dx$. Тогда

$$K=\frac{d\varphi}{ds}=\frac{d\varphi}{\sqrt{1+(y')^2}dx}=\frac{\frac{d\varphi}{dx}}{\sqrt{1+(y')^2}}$$

И тогда понятно, что в окончательной формуле, для кривой, заданной уравнением $y=f(x)$, вся размерность в знаменателе под корнем уходит. Остаётся смотреть размерность числителя - и поскольку там вторая производная от у по х, то размерность получается $\text{м}^{-1}$. Так? Или где-то в рассуждениях прокол?

-- Вт июл 14, 2015 15:39:10 --

Shtorm в сообщении #1036879 писал(а):

Otta в сообщении #1036878 писал(а):

Shtorm, откуда берется выражение $\sqrt{1+(dy/dx)^2}$ в знаменателе ? Ну это пока ждете.

Ну, в Пискунове - это производная от $\arctg(\frac{dy}{dx})$. ...

Ну, это я тут промашку дал, прошу прощения. Надо было просто раньше лечь спать.

[Алексей К.]

arseniiv в сообщении #1036834 писал(а):

Не определена кривизна, значит.

Ну да, в каком-то смысле кривизна функции не определена.
Ну температуру функции до сих пор никто, кажется, не "определил".
И цвет функции. И её сексуальность. И...
Чем-то напоминает Неуловимого Джо, который был неопределён неуловим, потому что...

Кривизна уместна, ежели мы изучаем свойства кривых. Довольно глупо изучать только то подмножество кривых, которое можно выразить в виде функции $y(x)$, отказываясь тем самым от окружности, эллипса, запрещая себе повернуть параболу на 45 градусов. Ну там, какие-то локальные свойства таким способом можно поустанавливать.

Ежели мы изучаем свойства функций, в частности, их асимптотическое поведения, то довольно глупо поворачивать график $V(T)=\frac{a}{T}$ на 45 градусов, хоть вправо, хоть влево, и довольно глупо привлекать кривизну. Потому что кривизну можно приплести искусственно, через график, и необходимо уточнять --- Вася рисовал график или Маша. Ну да, при нулевой кривизне безразлично --- Вася или Маша, но на кой чёрт тогда вообще упоминать кривизну? Зачем Вы величину $y''$, которая и даёт вожделенный нуль, подменили сложным выражением $\frac{y''}{1+y'^2}$ с весьма сомнительным знаменателем?

Ваша тема должна называется "Использование второй производной для поиска асимптот".

Shtorm в сообщении #1036761 писал(а):

Также я помнил, что Вы критиковали меня за использование термина "функция", вместо "график функции".

Мог ли я критиковать кого-то за использование термина "томат" вместо "сок томата"? Да, наверное мог, почему бы и нет?

Shtorm в сообщении #1036761 писал(а):

в какой-то книге прочитал, что можно вместо термина "график функции" использовать просто "функция", для простоты повествования.

Простоту случившегося повествования я Вам продемонстрировал.

А я как-то прочитал (в трудах ewert'a, здесь, на форуме), что всё надо делать осознанно. Противоречивые рекомендации?

-- 14 июл 2015, 16:44:46 --

Shtorm в сообщении #1036922 писал(а):

то по стандарту же берём одинаковые масштабы по осям OX и OY и кривизна получается одинаковой,

Жаль, конечно, столько писанины написано, а Вы ничего не поняли...

(Оффтоп)

Пися слова, полезно (и как бы естественно) думать о точности словоупотребления. Иначе зачем их вообще писать?
По стандарту или всё же по привычке?
Одинаковые масштабы или одинаковые единичные отрезки?
Разве масштабы для отображения времени и длины (времени и температуры, ...) могут быть одинаковыми?

Скорость автобуса не зависит от того, в каких единицах она подана данному глазу, уху, мозгу.
И она почти всегда интересна, т.е. представляет собой полезное знание.

Кривизна графика функции оказывается зависящей не только от системы единиц, но и множества других, столь же нематематических обстоятельств.
Кривизна графика функции настолько неинтересна, что нельзя тратить столько ресурсов на её обсуждение.

[Shtorm]

grizzly в сообщении #1036887 писал(а):

В этом, да, ошибаюсь. Прошу извинить меня за вчерашний тон; занесло -- сам такого не люблю

Да ладно, чего уж там, с кем не бывает

grizzly в сообщении #1036887 писал(а):

А вот здесь Вы ошибаетесь -- я просто переборщил немного, уменьшив частоту колебаний Посмотрите на следующий виток где-то в районе $x=e^{3\pi}$. Всплески, понятно, и дальше будут -- бесконечно, но ещё реже. Уменьшение частоты обеспечивает логарифм под вторым синусом.
Именно у этой функции кривизна будет уменьшаться.

Да, тут я ошибся. Мне просто терпения не хватило ночью дойти по иксу до значения $12393$, а график там опять вверх пошёл!

grizzly в сообщении #1036887 писал(а):

Но я хотел дать Вам конструктор таких функций. Вместо первого логарифма под синусом можно попробовать квадратный корень. Вместо $1/x$ взять $1/2^x$. Таким образом Вы можете сколь угодно прореживать первичную волну, сгущая вторичную. Играясь этими параметрами, можно добиться уменьшения частоты в среднем, увеличивая её локально. Ведь Вас это устроило бы?

Спасибо. Чувствуется, что Вы мастер в мысленном графическом анализе различных функций. Я таким мастером не являюсь и мне требуется время на осмысление.

grizzly в сообщении #1036887 писал(а):

Очень просто. Среди функций, как правило, действует презумпция -- разрешено всё, что не запрещено. Если удалось построить "хорошую" (а не "дикую") неэлементарную функцию с нужными свойствами руками, вполне естественно ожидать, что среди элементарных такие функции тоже есть. Вот обратное выглядело бы совершенно неестественно.

Мне такая мысль в голову приходила, но я её отбросил как бездоказательную. Возможно тут всё очевидно, но не для меня. Есть ли способ сформулировать эту мысль как теорему и доказать её? Или же можно сослаться на какие-то известные теоремы, аксиомы, свойства?

-- Вт июл 14, 2015 17:34:38 --

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Кривизна уместна, ежели мы изучаем свойства кривых. Довольно глупо изучать только то подмножество кривых, которое можно выразить в виде функции $y(x)$, отказываясь тем самым от окружности, эллипса, запрещая себе повернуть параболу на 45 градусов. Ну там, какие-то локальные свойства таким способом можно поустанавливать.

Просто я решил в этой теме начать с простого. Но как оказалось, даже для явных функций не всё так просто. А что уж там говорить про неявные!

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Ежели мы изучаем свойства функций, в частности, их асимптотическое поведения, то довольно глупо поворачивать график $V(T)=\frac{a}{T}$ на 45 градусов, хоть вправо, хоть влево, и довольно глупо привлекать кривизну. Потому что кривизну можно приплести искусственно, через график, и необходимо уточнять --- Вася рисовал график или Маша. Ну да, при нулевой кривизне безразлично --- Вася или Маша, но на кой чёрт тогда вообще упоминать кривизну? Зачем Вы величину $y''$, которая и даёт вожделенный нуль, подменили сложным выражением $\frac{y''}{1+y'^2}$ с весьма сомнительным знаменателем?
Ваша тема должна называется "Использование второй производной для поиска асимптот".

Вторая производная даёт нам информацию о выпуклости и вогнутости кривой на интервале, но как её привязать к асимптоте? А вот то, что у графиков функций, имеющих асимптоты, кривизна явно уменьшается (кроме осциллирующих) было наглядно и очевидно. Конечно, для наглядности необходимо брать одинаковые единичные отрезки по оси $OX$ и $OY$.

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Shtorm в сообщении #1036761 писал(а):

в какой-то книге прочитал, что можно вместо термина "график функции" использовать просто "функция", для простоты повествования.

Простоту случившегося повествования я Вам продемонстрировал.

Да. Видимо, автор книги так глубоко не анализировал всю эту ситуацию с функциями и графиками, потому так и написал. Или он знал про такие казусы, но в излагаемом материале посчитал это излишним.

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Одинаковые масштабы или одинаковые единичные отрезки?

Да, да...именно единичные отрезки. А я то всегда, когда говорил масштаб, подразумевал сразу и единичные отрезки и соотношение между физическими величинами и их отображением на координатной сетке.

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Кривизна графика функции оказывается зависящей не только от системы единиц, но и множества других, столь же нематематических обстоятельств.

Ну так если берем просто математическую функцию $y=f(x)$, не наделяя её вообще никаким физическим смыслом, и используем одинаковые единичные отрезки для построения её графика, то всё получается однозначно, так?

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Кривизна графика функции настолько неинтересна, что нельзя тратить столько ресурсов на её обсуждение.

Но мне она интересна и Вам в своё время была интересна, а то бы Вы не потратили на неё столько драгоценного времени, и с этим ничего нельзя поделать

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1036966 писал(а):

Мне такая мысль в голову приходила, но я её отбросил как бездоказательную. ... Есть ли способ сформулировать эту мысль как теорему и доказать её?

Сформулировать теорему про "более естественно ожидать" сложно, наверное, а доказать тем более
Но если есть пара противоречивых бездоказательных мыслей, то эффективнее тратить время на ту, что "более естественна".

Бросьте возиться со старыми примерами. Обратите внимание на новый пример в предыдущем моём сообщении. Надеюсь, он всем Вашим запросам удовлетворяет. В нём есть маленький изъян -- производные нужно доопределять нулём в точках ${k\pi}$; если лень, тогда можно добавить в числитель маленький довесок: $f(x)=\dfrac{\big(\frac1x+\sin^2x\big)^{x}}{x}$. Кривизну проверил в Вольфраме -- всюду определена и держится выше 5 в точках $x=\pi/2+k\pi$.

-- 14.07.2015, 16:40 --

PS. Отмечусь также, что мне вопросы, связанные с абстрактными кривыми и функциями, намного интереснее, чем их физические интерпретации и применения. Поэтому я участвую только в этой ветке обсуждения.

[Shtorm]

grizzly в сообщении #1036977 писал(а):

$f(x)=\dfrac{\big(\frac1x+\sin^2x\big)^{x}}{x}$. Кривизну проверил в Вольфраме -- всюду определена и держится выше 5 в точках $x=\pi/2+k\pi$.

Вот!!! Наконец-то это свершилось! Спасибо! Наглядно видно, что кривая имеет асимптоту, а кривизна пиков не убывает. Жаль только, что Вольфрамальфа не может вычислить предел при $x\to +\infty$ этой функции. Слишком сложна она для него. Или я просто не туда вбивал? Но мой Maple также не может взять такой предел. Самому чтоль попробовать через логарифмирование? Хотя вроде и так видно: квадрат синуса колеблется от нуля до единицы, а $\frac{1}{x}$ убывает до нуля, приводим иx сумму к общему знаменателю, отдельно возводим числитель и знаменатель в степень $x$, и затем полученный знаменатель делим на $x$. Значит числитель возводится в степень $x$, а знаменатель в степень $x+1$. Ну это так образно, опуская ряд деталей. Значит предел равен нулю. И почему же математические пакеты не справились?

Ну чтож! Я был к этому готов, (звук фанфар) и теперь переформулируем необходимое условие:

Если явная однозначная элементарная вещественнозначная функция $y=f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, и при этом $f(x)$ не осциллирует вдоль этой асимптоты, то кривизна кривой, заданной уравнением $y=f(x)$ стремится к нулю при $x\to \infty$.
Замечание 1.
Есть случаи, когда $f(x)$ осциллирует вдоль своей асимптоты, но её кривизна стремится к нулю.
Замечание 2.
Если у какой-то кривой кривизна стремится к нулю на бесконечности, то это вовсе не обозначает, что данная кривая имеет асимптоту.

Возможно надо как-то улучшить это необходимое условие. Следует ли в этом условии заменить, например, термин "кривая" на термин "график функции", так как график может иметь точки разрыва второго рода вдоль асимптоты?

grizzly в сообщении #1036977 писал(а):

PS. Отмечусь также, что мне вопросы, связанные с абстрактными кривыми и функциями, намного интереснее, чем их физические интерпретации и применения. Поэтому я участвую только в этой ветке обсуждения.

Да, я это понял после прошедшей ночи, когда и появилась физическая ветка темы. Мне-то самому интересна и абстрактная суть вопроса и физические интерпретации.

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1037007 писал(а):

Жаль только, что Вольфрамальфа не может вычислить предел... Самому чтоль попробовать через логарифмирование?

Не злоупотребляйте Вольфрамом, лучше попробуйте без логарифмирования оценить числитель сверху через $e$ (вспомните замечательный предел) и вкупе с убывающим монотонно к нулю знаменателем воспользоваться каким-нибудь стандартным признаком

Shtorm в сообщении #1037007 писал(а):

...теперь переформулируем необходимое условие:
Если явная однозначная элементарная вещественнозначная функция $y=f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, и при этом $f(x)$ не осциллирует вдоль этой асимптоты, то кривизна кривой, заданной уравнением $y=f(x)$ стремится к нулю при $x\to \infty$.

Если термин "не осциллирует" Вы используется в качестве термина "монотонная", то утверждение становится достаточно очевидным. Если нет, то я не понял, что имеется в виду (честно, это не придирка). Не согласитесь ли Вы, что любая немонотонная на бесконечности функция осциллирует? Если не согласитесь, тогда объясните Ваше понимание на примерах и/или, ещё лучше, определите.

[Shtorm]

grizzly в сообщении #1037021 писал(а):

Если термин "не осциллирует" Вы используется в качестве термина "монотонная", то утверждение становится достаточно очевидным.

Да, Вы правы, надо заменить этот физический термин на математический. Значит так:

Если явная однозначная элементарная вещественнозначная функция $y=f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, и при этом $f(x)$ монотонна вдоль этой асимптоты, то кривизна кривой, заданной уравнением $y=f(x)$ стремится к нулю при $x\to \infty$.
Замечание 1.
Есть случаи, когда $f(x)$ не монотонна вдоль своей асимптоты, но её кривизна стремится к нулю.
Замечание 2.
Если у какой-то кривой кривизна стремится к нулю на бесконечности, то это вовсе не обозначает, что данная кривая имеет асимптоту.

-- Вт июл 14, 2015 20:06:56 --

grizzly в сообщении #1037021 писал(а):

Не согласитесь ли Вы, что любая немонотонная на бесконечности функция осциллирует?

Соглашусь.

Ну, чтож, мне кажется, теперь можно переходить к неявно заданным функциям. То есть сформулировать такой же признак для неявно заданных функций и соответственно заявить, что если данный признак не выполняется, то и асимптот у неявно заданной монотонной функции нет. Пойдёт нечто подобное или не пойдёт?

-- Вт июл 14, 2015 20:09:58 --

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Зачем Вы величину $y''$, которая и даёт вожделенный нуль, подменили сложным выражением $\frac{y''}{1+y'^2}$ с весьма сомнительным знаменателем?

Ваша тема должна называется "Использование второй производной для поиска асимптот".

А, только сейчас сообразил! То есть, можно было бы смотреть стремление к нулю второй производной и был бы тот же самый эффект? Да!

-- Вт июл 14, 2015 20:14:31 --

Отсюда сразу и понятно становится, что знак кривизны зависит от выпуклости или вогнутости кривой и становится понятным, что совершенно справедливо использование знаков "+" и "-" в значениях кривизны.

[grizzly]

Shtorm в сообщении #1037024 писал(а):

Значит так:
Если явная однозначная элементарная вещественнозначная функция $y=f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, и при этом $f(x)$ монотонна вдоль этой асимптоты...

Функции они такие функции... Я подумал ещё немного и теперь убеждён, что это утверждение также ошибочно. Если не смогу предоставить пример, это останется моим убеждением. Тогда будет просто моё слово против Вашего. Но я бы не советовал Вам тратить много сил на доказательство данного утверждения.

[Nemiroff]

grizzly в сообщении #1037021 писал(а):

Если термин "не осциллирует" Вы используется в качестве термина "монотонная", то утверждение становится достаточно очевидным.

М-м-м. Контрпример выдумывать лень. Но если функция имеет горизонтальную асимптоту, бесконечно дифференцируема и монотонна, то предела производной может не существовать. Где-то встречал пример.

[grizzly]

Nemiroff
А насколько сильно это осложняется требованием "элементарности" функции? А то без этого требования я бы рискнул и сам нарисовать. С этим сложнее.

-- 14.07.2015, 20:05 --

И да, я уже успел отказаться от процитированных Вами моих слов:

grizzly в сообщении #1037036 писал(а):

Функции они такие функции... Я подумал ещё немного и теперь убеждён, что это утверждение также ошибочно.

[Nemiroff]

grizzly в сообщении #1037045 писал(а):

А насколько сильно это осложняется требованием "элементарности" функции?

Не знаю.
Вот нашёл пример. http://math.stackexchange.com/questions ... s-0/788842