2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 18  След.
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 10:38 
Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):
$K \to 0$ при $x \to \infty$.

Это условие еще и не являться достаточным, например $y=x^2$. Поэтому для поиска асимптот мало пригодно.

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 10:59 
Аватара пользователя
iifat в сообщении #1036481 писал(а):
бремя доказательства


Вот из чего я исходил:

Если функция имеет асимптоту, то на бесконечности она вырождается в прямую, а кривизна прямой равна нулю. Такой ясный и красивый тезис, согласитесь? Случай осцилляции кривой с возрастающей частотой вдоль своей асимптоты является особым случаем, который является исключением. Для простоты и ясности понимания рассматриваем пока только явные однозначные элементарные функции (хотя возможно переход на другие функции осуществляется просто одним росчерком пера :-) ). Подавляющее большинство функций вообще не имеет асимптот (надеюсь это корректное выражение), и как раз приведённый Вами пример - из таких функций, не имеющих асимптот. И правда, увеличение или неуменьшение кривизны Вы продемонстрировали, равно как и продемонстрировали, что функция асимптоты не имеет и следовательно не относится к рассматриваемым случаям. В связи с этим к Вам вопрос, а почему, собственно, Вы уверены, что Вы правы, а я не прав?

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 11:00 
Аватара пользователя
Shtorm в сообщении #1036475 писал(а):
то есть с падением частоты колебаний, то с учётом падения амплитуды, кривизна будет стремиться к нулю.

Эти функции Вам помогут построить предлагаемый iifat контр-пример:
Oleg Zubelevich в сообщении #1035167 писал(а):
$\Big\{\frac{1}{1+(x+n)^2}\Big\}$

Подсказка: Добавьте $n$ в знаменатель, возьмите только те функции, для которых $n=10^k$ просуммируйте их все (не тупо, конечно), может ещё что. В общем, поиграйтесь самостоятельно -- научитесь, например, делать так, чтобы кривизна у пиков очень быстро росла на минус бесконечности.

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 11:12 
Аватара пользователя
Evgenjy в сообщении #1036532 писал(а):
Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):
$K \to 0$ при $x \to \infty$.

Это условие еще и не являться достаточным, например $y=x^2$. Поэтому для поиска асимптот мало пригодно.


Да, Вы правы!

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 12:00 
Shtorm в сообщении #1036447 писал(а):
ю (в том числе горизонтальную) асимптоту, то кривизна кривой $K \to 0$ при $x \to \infty$. Это

существует последовательность $x_n\to\infty$ по которой кривизна стремится к нулю

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 15:06 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #1036541 писал(а):
Эти функции Вам помогут построить предлагаемый iifat контр-пример:


Я правильно Вас понял, Вы хотели, чтобы я составил конструкцию типа:

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k+x^2}$$

или что-то другое?

-- Пн июл 13, 2015 16:26:03 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1036566 писал(а):
существует последовательность $x_n\to\infty$ по которой кривизна стремится к нулю


Ага. Ну, то есть Otta была права: мы можем использовать данное условие лишь как необходимое. То есть: если явная однозначная элементарная вещественнозначная $f(x)$, где $x\in \mathbb{R}$, имеет наклонную (горизонтальную) асимптоту при $x\to \infty$, и при этом частота осцилляции $f(x)$ вдоль этой асимптоты не возрастает, то кривизна кривой стремится к нулю при $x\to \infty$. Но если у какой-то кривой кривизна стремится к нулю на бесконечности, то то вовсе не обозначает, что данная кривая имеет асимптоту. Так?

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 16:42 
Аватара пользователя
Shtorm в сообщении #1036626 писал(а):
Я правильно Вас понял, Вы хотели, чтобы я составил конструкцию типа:
$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k+x^2}$$

Не представляю, как бы такое могло помочь в Вашем вопросе. Нет, я имел в виду другое. Что-то типа такого:
$$
f(x)=\sum\limits_{n\in \{10^k, k\ge 1\}}\frac{n^{-1}}{1+(x-n)^n}, \quad x\ge 1.
$$
Это только идея. Мне лень обосновывать корректность, но я уверен, что если Вы попытаетесь изобразить парочку первых слагаемых на листочке, то обсуждаемый вопрос прояснится для Вас.

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:22 
Аватара пользователя
grizzly, спасибо за формулу. Только я уточню, суммирование идёт не до бесконечности, а до $10^k$, причём выбираем любое $k$, удовлетворяющее условиям $k\in \mathbb{N}$ и $k\geqslant 1$, правильно я понял? Ну тогда, при каких-то положительных значениях $x>a$ возникает монотонно спадающая часть кривой, которая без всяких осцилляций приближается к нулю. При отрицательных $x$, такой же монотонно спадающий хвост будет возникать. Следовательно, имеем кривизну стремящуюся к нулю. Если же суммирование до бесконечности, тогда по определению Пискунова, это не будет являться элементарной функцией.
Возможно я что-то не понял, тогда смиренно прошу мне подробно разжевать.

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:24 
Если при $x \to \infty$ кривая график функции имеет наклонную (в том числе горизонтальную) асимптоту, то кривизна кривой графика $K \to 0$ при $x \to \infty$.

Если функция график функции имеет асимптоту...

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:29 
Дежа вю, дежа антандю и дежа весю на виселице висю.
post583768.html#p583768

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:36 
Nemiroff в сообщении #1036757 писал(а):
дежа весю
Nemiroff, SVP, --- про весю не могу допереть...

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:40 
Аватара пользователя
Алексей К., спасибо за Ваше участие в теме. Да, я помнил, что Вы меня критиковали за неправильное использование терминов "кривая" и "график функции", но здесь-то в данном конкретном случае, я посчитал, что эти понятия равносильны. Я не прав? Прошу Вас тогда смиренно мне разжевать сие дело. Также я помнил, что Вы критиковали меня за использование термина "функция", вместо "график функции", но я же говорил, что в какой-то книге прочитал, что можно вместо термина "график функции" использовать просто "функция", для простоты повествования. Тоже ошибочное представление?
Nemiroff, да, я помнил об этом сюжете и хотел привести его в теме чуть попозже.

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:44 

(Оффтоп)

Да потому что фейл на фейле. Я отчего-то вообразил, что vivre спрягается с ç. Векю там должно быть. :facepalm:

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 21:49 
Shtorm,

вот взял я функцию выпрыгивания с моего 4-го этажа, $h=12\text{м} - \frac12 gt^2$. Ну и кривую вообразил ($h\to y$, $t\to x$).
Типа --- нельзя ли кривизну сосчитать при $t=1\text{сек}$? Пусть $g$ будет совсем круглым.

-- 13 июл 2015, 22:50:25 --

(Оффтоп)

Nemiroff, спасибо, успокоили.

 
 
 
 Re: Использование кривизны для поиска асимптот
Сообщение13.07.2015, 22:00 
Аватара пользователя
Алексей К., а что не так? Есть понятие средней кривизны, а есть понятие кривизны в точке. В этой теме вроде пока говорили только о кривизне в точке. Берём Вашу функцию, находим производные, подставляем в формулу кривизны в точке и подставляем время равное одной секунде. Что-то не так?

 
 
 [ Сообщений: 259 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 18  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group