Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[epros]

epros в сообщении #1023010 писал(а):

всё равно в итоге находится интегрированием

Однако добавлю, что интегрировать нам ничего не нужно, потому что задача состояла не в нахождении метрики, а в нахождении условий её существования.

[Утундрий]

Увы, но для доказательства существтвания метрики всё-таки придётся её найти. Такова специфика задачи.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1022321 писал(а):

То бишь, интегрировать вообще ничего не нужно.

epros в сообщении #1023010 писал(а):

Решение для метрики всё равно в итоге находится интегрированием,

свидетель продолжает путаться в показаниях

[epros]

Утундрий в сообщении #1023030 писал(а):

Увы, но для доказательства существтвания метрики всё-таки придётся её найти. Такова специфика задачи.

Не согласен. Если верно утверждение: "В каждой точке рассматриваемой области существует такой $g_{ik}$, что $g_{il} R^l_{kmn} + g_{lk} R^l_{imn} = 0$", то метрика существует во всей рассматриваемой области. Задача же нахождения конкретной метрики является чисто технической.

-- Ср июн 03, 2015 14:18:19 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1023032 писал(а):

свидетель продолжает путаться в показаниях

Это Вы путаетесь, потому что не дочитали фразу:

epros в сообщении #1023028 писал(а):

...., потому что задача состояла не в нахождении метрики, а в нахождении условий её существования

[Утундрий]

epros
Существовать-то "такая жэмюнюя", конечно, существует, но оказаться она может такой, что совершенно вас не удовлетворит. Поэтому чисто технические действия лучше всё-таки проделать.

[epros]

Утундрий в сообщении #1023035 писал(а):

но оказаться она может такой, что совершенно вас не удовлетворит

Ну, не знаю у кого какие критерии удовлетворения, а меня для того, чтобы иметь формальное право называть пространство "метризуемым", устроит совершенно любой согласованный со связностью метрический тензор.

-- Ср июн 03, 2015 14:54:55 --

epros в сообщении #1023038 писал(а):

совершенно любой согласованный со связностью метрический тензор.

Тут я, конечно, был неточен: Метрический тензор должен быть по крайней мере ненулевым. А остальное всё можно как-то стерпеть.

[Munin]

epros в сообщении #1023038 писал(а):

Тут я, конечно, был неточен: Метрический тензор должен быть по крайней мере ненулевым. А остальное всё можно как-то стерпеть.

вырожденность, отрицательность...

[epros]

Munin в сообщении #1023079 писал(а):

вырожденность, отрицательность...

И вырожденность, и неположительно-определённость, и даже несимметичность при желании можно пережить. Нулевой тензор исключаю только потому, что с нулевой метрикой формально согласуется любая связность, что делает понятие "метризуемости" пространства бессодержательным.

[Oleg Zubelevich]

еще кое-что
http://mathoverflow.net/questions/54434 ... evi-civita

[Munin]

Спасибо, замечательная ссылка!

[Oleg Zubelevich]

Замечательная ссылка, только вопрос открытым остался. И вопрос на самом деле шире. А что можно сказать о сущесствовании решений системы Фробениуса, когда нет полной интегрируемости?

[Утундрий]

Ну и? Те же самые очевидные аргументы, разве что дополнительно предлагается наплодить уравнений путём ковариантного дифференцирования, в надежде повысить ранг системы.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1026114 писал(а):

Замечательная ссылка, только вопрос открытым остался.

Мне так не показалось. Нужно, чтобы связность была без кручения, и чтобы голономия сохраняла квадратичную форму (в частности, метрический тензор). А кривизну можно определить и без метрики, а уравнение $\langle g,R\rangle=0$ подозрительно напоминает то, что уже было выписано неоднократно в этой теме.

[Oleg Zubelevich]

Разумеется напоминает, а как же. Но проверяемых достаточных условий (существования метрики согласованной со связностью) на ссимволы Крисоффеля нет.

-- Чт июн 11, 2015 19:14:18 --

почему кручение обязательно должно быть равно нулю , я не понял

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #1022212 писал(а):

Оказалось, что полная интегрируемость является слишком сильным требованием, задача тоньше.

Не могли бы Вы пояснить, как Вы понимаете, почему условие полной интегрируемости системы

$$\nabla_k g_{ij}=\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\Gamma_{ik}^lg_{lj}-\Gamma_{jk}^lg_{il}=0\qquad (*)$$

не является необходимым и достаточным условием того, что существует метрика, согласованная со связностью? Ведь начальное условие $g_{ij}(x_0)$ можно задавать произвольно. Потому что если какое-то $g_{ij}$ удовлетворяет уравнению (*), то его можно помножить на постоянную матрицу и оно по-прежнему будет удовлетворять уравнению (*)