2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 13:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8428
Oleg Zubelevich в сообщении #1026965 писал(а):
Естественно предположить, что множество решений этой системы (в лучшем случае) одномерно в каждой точке $x$ т.е. общее решение записывается в виде $g_{ij}=\lambda(x)g'_{ij},$ где $g'_{ij}$ -- метрика, найденная из системы (*)
Это ни на чём не основано. К тому же слова "метрика, найденная из системы (*)" не имеют смысла, ибо из данной системы может находиться не единственная метрика.

На самом деле, в случае двумерного пространства задачу можно считать решённой. Необходимое и достаточное условие метризуемости вот: $$\boxed{R^i_{s 0 1}R^s_{j 0 1} = -a^2 \cdot \delta^i_j}$$ (во всей рассматриваемой области, $a$ -- произвольное скалярное поле). Далее найти конкретную согласованную со связностью метрику -- дело техники.

К сожалению, в более чем двумерном случае задача не просто усложняется, а становится на порядок сложнее. То бишь, к проверке $\frac{n (n-1)}{2}$ аналогичных условий она не сводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 15:51 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1026970 писал(а):
е имеют смысла, ибо из данной системы может находиться не единственная метрика.

так там именно это и написано

epros в сообщении #1026970 писал(а):
одимое и достаточное условие метризуемости вот: $$\boxed{R^i_{s 0 1}R^s_{j 0 1} = -a^2 \cdot \delta^i_j}$$

Справа двухвалентный тензор, слева -- непойми что. Весело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
По $s$ суммирование...

А необходимое и достаточное уже раз десять привели, наверное. Но не смотря на это старушки всё падают и падают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 17:26 


10/02/11
6786
еще раз по слогам, для особо продвинутых. вот это: $\{R^i_{jkn}\},\quad i,j,k,n=1,...m$ -- тензор, а это $\{R^i_{j12}\},\quad i,j=1,...m$ -- не тензор

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Oleg Zubelevich в сообщении #1026994 писал(а):
Справа двухвалентный тензор, слева -- непойми что. Весело.

Ну допишите там двумерное $\epsilon_{kl}$ по вкусу, станет понятней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 18:15 


10/02/11
6786
Ну вот и допишите сами, посмотрим, станет понятней или нет. Пока понятно, что левая часть формулы преобразуется при замене координат по одному закону, а правая по другому.


Кроме того,
epros в сообщении #1026970 писал(а):
т: $$\boxed{R^i_{s 0 1}R^s_{j 0 1} = -a^2 \cdot \delta^i_j}$$ (во всей рассматриваемой области, $a$ -- произвольное скалярное поле).


это как понимать? перед $a$ стоит квантор всеобщности? для любого скалярного поля формула верна?

-- Вс июн 14, 2015 18:31:38 --

я еще вот это хочу понять:
epros в сообщении #1022347 писал(а):
Постановка тривиальна, понимать там нечего: Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие $$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$ эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью.
и одновременно

epros в сообщении #1026970 писал(а):
К сожалению, в более чем двумерном случае задача не просто усложняется, а становится на порядок сложнее. То бишь, к проверке $\frac{n (n-1)}{2}$ аналогичных условий она не сводится.


то задача "тривиальна", то "становится на порядок сложнее", каждый раз условия разные, доказательств нет. совсем заврался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Может пора оживить дискуссию упоминанием - зачем вообще такая постановка нужна? Мне вот как-то совсем не улыбается стартовать с гамм и только ими ограничиваться. Короче, накой это всё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение14.06.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Oleg Zubelevich в сообщении #1027059 писал(а):
Ну вот и допишите сами, посмотрим, станет понятней или нет.

    Цитата:
    $$R^i_{skl}R^s_{jmn} = -a^2 \cdot \delta^i_j\varepsilon_{kl}\varepsilon_{mn},\qquad i,j,k,l,m,n,s=0,\ldots,1$$
Теперь ваша душенька довольна?

----------------

В общем, мне в разговоре непонятно одно место. То произносится вслух:
    epros в сообщении #1026541 писал(а):
    Не при любых, а только при некоторых значениях $g_{ij}$.
    epros в сообщении #1026753 писал(а):
    Очевидно, что условие:
    espe в сообщении #1026738 писал(а):
    Если равенство (5*) должно выполняться для произвольного $g_A$
    -- слишком сильное...
то внезапно все вокруг продолжают разговор, как будто этого ключевого замечания не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 00:26 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #1027108 писал(а):
Цитата:

$$R^i_{skl}R^s_{jmn} = -a^2 \cdot \delta^i_j\varepsilon_{kl}\varepsilon_{mn},\qquad i,j,k,l,m,n,s=0,\ldots,1$$ Теперь ваша душенька довольна?

теперь у нас слева тензор, справа псевдотензор так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Ньетъ, нье такх. Дважды эпсилон - истинный тензор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Там два псевдотензора, "псевдо-" в квадрате даёт истинный тензор.

    (Оффтоп)

    Чукчу не обманешь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 01:12 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #1027144 писал(а):
ам два псевдотензора, "псевдо-" в квадрате даёт истинный тензор.

а это смотря какое "псевдо".
в данном случае закон преобразования таков:

Изображение

поэтому ваше "псевдо в квадрате" приведет только к появлению квадрата определителя замены координат. Веса псевдотензоров при тензорном произведении складываются. $\epsilon_{ik}\epsilon_{jn}$ это псевдотензор веса -2

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
69138
Ну добавьте ещё $\operatorname{vol}_n=\sqrt{|g|}$ в нужной степени (я не знаю, в какой, потому что не знаю веса слева...). Я же сказал, "добавить по вкусу".

Вы что, в омлет никогда соли по вкусу не добавляли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 01:49 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #1027158 писал(а):
Ну добавьте ещё $\operatorname{vol}_n=\sqrt{|g|}$ в нужной степени (я не знаю, в какой, потому что не знаю веса слева...). Я же сказал, "добавить по вкусу".

теперь выясняется, что формула зависит от какой-то левой метрики, которую каждый вводит по вкусу

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос вдоль пути на поверхности
Сообщение15.06.2015, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
831
ЦФО, Россия
Внесу свои две копейки в обсуждение... Даже в том частном случае, когда известна одна (согласованная с симметричной связностью) риманова метрика, задача нахождения других согласованных с этой связностью римановых метрик совсем не тривиальна. Решение этой задачи представлено здесь, где найдены необходимые и достаточные условия согласования, а также алгоритм построения метрик. В случае произвольной симметричной связности задача существенно усложняется и поэтому решить ее методами обычного тензорного анализа (который используется в этой ветке) весьма проблематично, имхо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 173 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group